《高等数学》(一)(2)补充例题及练习题解析

1、第八章空间解析几何与向量代数（6 学时）8.1向量及其线性运算一、补充例题例 1已知向量 a (3,5,1) ， b(2,2,3) ， c( 4,1, 3) ，求 2a3b 4c 。例 2在 yOz 面上，求与三点 A(3,1,2)、 B(4, 2,2) 和 C(0,5,1)等距离的点。例 3已知两点 A(2,3,1) 和 B(1,2,0)，求与 AB 方向相同的单位向量 e 。例 4已知两点 A(1,1,2) 和 B(0,1,3) ，计算向量 AB 的模、方向余弦和方向角。例 5一向量的终点在点B( 2, 1,7) ，它在 x 轴、 y 轴和 z 轴上的投影依次为 4 ，4 和 7 。求这向

2、量的起点 A 的坐标。二、练习p12 13习题 8-14， 5， 15，178.2向量的数量积与向量积一、补充例题例 1已知 aij ， bi k ，求 a b ， cos (a, b ) 及 Pr jb a 。例 2已知四点 A(2,2,1) 、 B(0,1,2) 、 C (1,1,1) 、 D (3,3,2) ，求 Pr j CD AB ， cos( AB, CD ) 。例 3记 a(3,1,0) ， b(1,2,1) ，求 a b 。例 4已知ABC 的三个顶点为A(3,0,2) ， B(5,3,1) ， C (0, 1,3) ，（ 1）求垂直于这个三角形所在平面的单位向量； （ 2）求

3、ABC 的面积。解 （1）因为 aAB AC 垂直于向量 AB 与 AC ，所以 a 是一个垂直于三角形ABC 所在平面的向量。而 AB ( 2,3,1)， AC( 3, 1,1) ，所以ijkaABAC231 2ij 7k 。311a22127236 ， ea1 (2,1,7) 。36所以垂直于三角形ABC 所在平面的单位向量为31 ( 2,1,7) 。61（ 2）因为ABC 的面积 S 是以 AB ， AC 为邻边的平行四边形面积的一半，所以S1AB AC1 a12 2127236 。2222二、练习p22 习题 8-21， 3， 6， 108.3曲面及其方程一、补充例题例 1将 xOz坐

4、标面上的双曲线x2z2a1分别绕 z 轴和 x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方2c 2程。二、练习p31习题 8-35， 6， 78.4空间曲线及其方程一、补充例题例 1 下列方程组各表示怎样的曲线？（ 1） x22，x24 y，z x22x2y2z236，y，（4）y1 （ 2）（ 3）；z 4 x2y2；z23x23 y2.2x 3z 6z 1答案 ：（ 1）平行于 y 轴的平面与母线平行于z 轴的圆柱面的交线（图8-44）；（ 2） z1平面上的抛物线； （ 3） z 2平面上的圆；（ 4） z33 平面上的两个圆。例 2 求由曲面 S1 ：x 2y22z0 与曲面 S2 ：x2y

5、22x 0 以及 xOy 平面所围成的立体在xOy 面上的投影。解 曲面 S1 是旋转抛物面，曲面S2是母线平行于z 轴方向的圆柱面，它们的交线C 的方程为x2y 22z0。x2y 22x0曲线 C 在 xOy 面上的投影曲线是一个圆，其方程为x2y 22x 0z0，立体在 xOy 面上的投影就是曲线C 在 xOy 面上的投影曲线所围平面区域，用不等式表示为x2y 22x 0，即 (x 1)2y 21。2二、练习p37习题 8-43， 48.5平面及其方程一、补充例题例 1一平面过点M 0 (3, 2,1) 且与 M 0 到 M 1 ( 2,1,4) 的连线垂直，求其方程。例 2求过三点 M

6、1 (0, 1,3) ， M 2 (1,1, 2) ， M 3 (1,2, 2) 的平面方程。例 3 求通过 y 轴和点 (1, 2,1) 的平面的方程。分析： 平面方程为 Ax Cz 0 。例 4求过点 M 1 (1,0,2) 和 M 2 (1,2,2) ，且与以向量 a(1,1,1) 为法向量的平面垂直的平面方程。例 5求平面 x y4z 2 和 x 2 y2z 0 的夹角。例 6求过点 M 1 (1,2,1) 、 M 2 (2,3,1) 且和平面 xy z10 垂直的平面方程。二、练习p42 43习题 8-5 1， 6， 88.6空间直线及其方程一、补充例题例 1用对称式方程和参数方程表

7、示直线：x2yz203xy2z4（ 1）0解先找出这直线上的一点(x0 , y0 , z0 ) 。例如，可以取x01 ，代入方程组（1），得2 yz1y2z1解之得 y01， z01，即 ( 1,1,1) 是这直线上的一点。下面再找出这直线的方向向量s 。由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1 (1, 2,1) ，ijkn 2 (3,1, 2) 都垂直，所以可取s n1 n 2 121 3 i 5 j7k ，312因此，所给直线的对称式方程为x 1y1 z 1 ，357x3t1令上式为 t ，又得已知直线的参数方程为y5t1。z7t13例 2x 4 y2z0平行，求该直线的方程。一直线过点

8、M (5,0, 2) 且与直线3yz12x0例 3已知直线过一点 M0 (1,2,0) ，且与平面 2 xy3z 1 0 垂直，求此直线的对称式方程和参数方程。解所求直线与已知平面垂直，平面的法向量可以取为直线的方向向量s (2,1,3) ，由对称式方程（ 2），得所求直线的对称式为x 1y2z 。213x 1y 2zx12t令t ，得所给直线的参数方程为y2t 。213z3t补充 ：平面束的方程 。设直线 L 由方程组A1 x B1 y C1z D10A2 x B2 y C2 z D20所确定，其中系数A1、 B1、 C1 与 A2、 B2、 C2 不成比例。下面建立三元一次方程：A1 x

9、B1 y C1 z D1( A2 x B2 y C2 z D 2 ) 0 ，其中为任意常数。 因为 A1、 B1、 C1 与 A2、 B2、 C 2 不成比例， 所以对于任何一个值，方程 的系数：A1A2、 B1B2、C1C2 不全为零，从而方程 表示一个平面，若一点在直线L 上，则点的坐标必同时满足方程 和 ，因而也满足方程 ，故方程 表示通过直线L 的平面，且对应于不同的值，方程 表示通过直线L 的不同的平面。 反之，通过直线 L 的任何平面 （除平面 外）都包含在方程 所表示的一族平面内。通过定直线的所有平面的全体称为平面束 ，而方程 就作为通过直线 L 的平面束的方程 （实际上，方程

10、表示缺少平面 的平面束）。指出 ：若要使平面束包含已知的两个平面，可以取平面束方程为1 ( A1 x B1 y C1 z D1 )2 ( A2 x B2 y C 2 z D 2 ) 0 。例 4求直线 L：2xy z10： x2 yz 0 上的投影直线的方程。x yz1在平面0分析写出直线 L 的平面束方程，由这平面与已知平面垂直14投影平面为 3xy z 103x y z 1 0投影直线为2 yz 0。x4求过直线 L1：2 x y z 20,2y 1z 3例 53x 2 y 2z 1且与直线 L2： x平行的平面方程。0,323分析 ：由过直线 L1 的平面束与直线 L2平行，可求出平面束

11、方程中的参数5 ，代入平面束方程，即可得所求平面方程为 17 x 9 y 11z 30 。二、练习p49 50习题 8-61， 2， 4， 7，11，15第九章多元函数微分法及其应用（10学时）9.1多元函数的基本概念一、补充例题例 1求下列函数的定义域：（ 1） zarcsin xarcsin y ；（ 2） z4x 2y 2x 21。23y21答案 ：（ 1） ( x, y)2x2,3y3 ；（ 2） ( x, y) 1x2y 24 。例 2求下列极限：（ 1）limtan xy ；（ 2）limln( xey ) ；（ 3） lim( x, y ) (0 ,2)x(x , y)(1,0

12、)x2y2( x, y )( 0,0)解（ 1）limtan xylimtan xyylimtan xylim y1 22 ；( x, y)(0 ,2)x( x, y )(0 ,2)xyxy0xyy2ln( xey)limln( xe y )ln 2（ 2）lim( x, y)(1,0)ln 2 ；x2y2x2y21( x, y )(1,0)lim( x, y )(1,0)（ 3）limxy11limxy111。xyxy11)2( x, y)(0 ,0)( x, y)( 0, 0) xy(二、练习p63习题 9-15， 6（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）xy11 。xy9.2偏导数一、

13、补充例题例 1设 zxsin( xy)ex 2 y ，求z， z和 zx 1 。xyxy 0例 2设 zxy （ x0 ， x1 ），求z ，z 。xy例 3设 zarctan y ，求z 和 z 。xxy5例 4求函数 z xy x 2sin y 的所有二阶偏导数。例 5设 u ( xy) z ，试求3u。x y z二、练习p69习题 9-21（ 1）（2）（ 3）（ 5）（ 6）（ 7）， 4， 6，8 9.3全 微 分一、补充例题例 1设 z lnx2y 4 ，求 dz 。例 2求函数 uf (x, y, z)( x ) z 在点 ( 2,1,2) 的全微分。y例 3求函数 ux 2si

14、n yarctan z 的全微分。2y二、练习p75 76习题 9-31， 2， 3 9.4多元复合函数的求导法则一、补充例题例 1设 zln( x 2y 2 ) ， xt1， yt (t1)，求 dz 。tdt解设 ux2y 2，则dzdzu dxdzu dy1y2 2x(111y2 2 y(2tdtdux dtduy dtx 2t 2 )x 21)1 212(t1)(11 )112(t 2t )(2t1) 。(t(t2t )2tt 2(t2(t2t)2)tt例 2设 zeucosv ， uxy ， v2xy ，求z ， z 。xy例 3设 zf (x,v)x2 evx3cos v ，而 v

15、x 2y2 ，求z 。x解zffv2xev3x2( x2evsin v)2 x3x22x 2y22x sin(x22) 。xxvx2x(1 x)ey例 4设 zf ( y , x2y, y sin x) ，求z ，z 。xxy二、练习p82 83习题 9-41， 2， 3， 4，5， 869.5隐函数的求导公式一、补充例题例 1求由方程 x yy x （ xy ）所确定的隐函数的导数dy 。dx例 2设 x2 y ezz ，求 z ， z 和2 z 。xyxy解先求 z 和 z 。xy（方法一） 公式法 。令 F xyzx2 yezz，则 Fx2xy， F yx2， Fzez1，( , )所以

16、zFx2xy， zF yx2。xFzez1yFzez1（方法二） 直接法 。直接对方程x2 yezz 的两端分别对x 和 y 求导，得2xy ezzz ， x 2ezzz ，xxyy解得z2xy，zx2。xezyez11注意对方程两端求导时，要把z 看作 x 和 y 的函数。（方法三） 微分法 。对方程 x 2 yezz 的两端求微分，有2xydxx 2dyezdzdz ，整理，得dz2xydxx2dy ，ez1ez1所以z2xy，zx 2。xez1yez1最后，计算二阶混合偏导数。由z2xy 对 y 求偏导数，得xez12 z2x(ez1)2xyezz2x(ez1)22x3 yezy。x y

17、(ez1) 2(ez1)3例 3设 2x 2xy 2z26 ，求z ，2 z 。xxy解令 F ( x, y, z)2x2xy 2z26 ，因为7Fx4x y 2 ， Fy2xy ， Fz2z ，所以z4xy 2y24xx2z2z，z2xyxy ，y2zz2y2z( y24x)z2xy2 z22 yz( y4x)z2 yz2xy34x 2 yyx y4z22z22z3。例 4设函数 yy(x) ， zxyz0所确定，求 dy 和 dz 。z( x) 由方程组y 2z2x 21dxdx解（方法一） 直接法 。注意到 y 和 z 都是 x 的一元函数，方程组两端对自变量x 求导，得1dydz0dy

18、dz1dxdxdxdxdz，即，2x2 ydy2z0ydydzxdxdxdxzdx这样通过求解关于dy ， dz 的线性方程组，可求得dy 和 dz 的表达式。dxdxdxdx因为系数行列式J11zy 0 ，由克拉默法则，得yz1111dyx zx z ， dzyxy x 。dx11zydx11zyyzyz也可以用消元法求解线性方程组，得出dy 和 dz 的表达式。dxdx（方法二） 微分法 。方程两端微分，得dxdy dz0，即dydzdx，ydyzdzxdx2xdx 2 ydy 2zdz 0解得 dyxz dx ， dzyx dx 。于是zyzydyxz ， dzyx 。dxzydxzy（

19、方法三） 公式法 。设 F (x, y, z)xyz ，(,)x2y2z21，则Gxy zFxFyFz 1 ， G x2x ， G y2 y ， Gz2z 。8由公式（ 4），得F yFxdzG yGxdxFyFzG yGz二、练习dydx1 12y 2x1 12y 2zFxFz11GxGz2x2zxz ，FyFz11zyGyGz2 y2zy x 。z yp89习题 9-51， 2， 3， 4， 10（1）（ 4）9.6多元函数微分学的几何应用一、补充例题例 1求螺旋线 x2 cost ， y2sin t ， z2t上对应于 t的点处的切线与法平面方程。4解当 t时， x2 cos2 ， y

20、2sin2 ， z24，因为444x2sin t ， y2 cost ， z2 ，所以x2 ， yt2 ， zt2 。t4442x2 y2z于是，可得螺旋线在对应于t的点处的切线方程为4，即4222x2y2z24，111螺旋线在该点处的法平面方程为2 (x2 )2 ( y2)2( z2)0 ，4即4x4 y4z20 。例 2求曲线y16x 21：12x上对应于 x的点处的切线与法平面方程。z22解因为 y1 4 ， z3 ， y16 ， z12 ，所以曲线在对应于 x1111的点处的切x2xxx22221xy4z3 ，线方程为2116129曲线在对应于 x1的点处的法平面方程为116( y4)

21、 12( z 3) 0 ，2x2即2x 32 y24z2010 。例3 求曲线x2y 2z23x0 在点 (1,1,1) 处的切线及法平面方程。2x3 y5z40解（方法一） 公式法 ：直接利用公式（9）及（ 10）来解。（方法二） 直接法 ：依照推导公式的方法来做。dy2zdz3 2x，2 ydx将所给方程的两边对x 求导并移项，得dx3 dy5 dz2，dxdx32x2z由此得dy251510 x4z ，dy9 ，2 y2 z(1,1,1)dx10 y 6zdx16352 y32xdz324 y96x ，dz1 ，2 y2z(1,1,1)dx10 y6zdx1635从而 T(1,9,1 )

22、 ，故所求切线方程为x1y 1z1 ，16161911616即x1y1z1 ，1691法平面方程为(x1)9( y1)1 ( z 1)0 ，1616即16 x 9yz240 。例 4求椭球面 x2y 2z21在点 M 0 (1,2,3) 处的切平面及法线方程。31227解设 F (x, y, z)x 2y2z21 ，则31227n( Fx , Fy , Fz )( 2 x, 1 y,2 z) ， n (1,2, 3)(2,1,2)，3627339所以在点 M 0 (1,2,3) 处椭球面的切平面方程为2126 x 3y 2z 18 0 ，( x 1)( y 2)( z 3) 0 ，即339法线

23、方程为10x 1 y 2 z 3 ，即x1 y 2 z 3 。2 / 31/ 32 / 9632例 5求抛物面 z1x2y 2 在点 M 0 (1,1, 1) 处的切平面及法线方程。解设 z f (x, y)1x2y 2 ，则 n ( f x , f y , 1)(2x, 2y,1) ， n (1,1, 1)( 2, 2, 1)，所以在点 M 0 (1,1, 1) 处的切平面方程为2(x 1) 2( y 1) ( z 1) 0 ，即2x 2 y z 3 0 ，法线方程为x 1 y 1 z 1 ，即x1 y 1 z 1 。221221二、练习p100习题 9-63，5， 6， 7，89.7方向导数与梯度一、补充例题例 1求函数zx2y2在点P(1,2)处沿从点P(1,2)到点 Q(