上海交大研究生矩阵理论答案

1、下载可编辑习题一1（ 1）因知cosnx sin nxcosx sin xcos(n1)x sin( n1)xsin nx cosnx=sin(n1)x cos(n，故由归纳法sin x cosx1)xAncosnx sin nx。sin nx cosnx（ 2）直接计算得 A4E ，故设 n 4k r (r0,1,2,3) ， 则 AnA4 k Ar( 1)k Ar ，即只需算出 A2, A3 即可 。0 10 1（3）记 J=，则，10an Cn1an 1 C n2 an 2CnnnanC n1 an 1C nn 1aAnJ )nCniai J nian(aE。i 0Cn1an 1an2

2、设A P1a1(a则由2得P1,0),AE02a1时,11111221 不可能。0101021时, 1010120知i1所以所求矩阵为而 由 a 00002222PBi P 1 ，其中 P 为任意满秩矩阵，而.专业 .整理 .下载可编辑B110, B210, B31001010。1注： A2E 无实解 ， AnE 的讨论雷同 。3 设 A 为已给矩阵 ，由条件对任意n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n2 个未知数时线性方程AX XA=0有 n2 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵，通过直接检验即发现A 为纯量矩阵 。 anan 1a1 0A4分别对（ A B

3、）和作行（列）初等变换即可。C*B*A*，从而当 A 或 B 为可逆阵时有5先证 A 或 B 是初等到阵时有 AB*ABB*A* 。考虑到初等变换A 对 B 的 n1阶子行列式的影响及A*A 1即可得前面提到的结果 。下设 PAQEr0：0，（ 这里 P， Q 满秩）， 则由前讨论只需证下式成立即可0Er0*Er0*BB*，0000（ 1）rn-1时，因秩小于 n-1的 n阶方阵的 n-1阶子式全为 0，结论显然 ；Bn1*0 0Er*Bn 2（ 2）r=n-1Er 0，B*0，但时，00 100000 Bnnb11b12b1 nb11b12b1nEr0b21b22b2nb21b22b2n，故

4、00bn1bn2bnn0 00.专业 .整理 .下载可编辑*0Bn1Bn 2*Er 0BB* Er0000。0Bnn06 由 r ( A)r ( A )及 AX0( AX ) AX0 ，即 AX0 与 A AX0 同解 ，此即所求证 。7 设其逆为aij，则当 I 固定时由可逆阵的定义得n 个方程ai 1ai 2w j1 1ai 3 w j 1 2ain w j 1n 1ij ， j1,2, n ，其中 ij为 Kronecker符号 。 对这里的第 l 个方程乘以 w j 1 n l然后全加起来得nw j 1 n 1 aijw j 1n i，即得 aij1 w j 1 n 1 i。n注：同一

5、方程式的全部本原根之和为0，且 wm 也是本原根 （可能其满足的方程次数小于n ）。习题二1 因 x 1x 1x ，所以 V 中零元素为 1 ， x 的负元素为1 ，再证结合律 、交换律和x分配律 。2 归纳法 ：设W1W2Ws 1 V ，则下面三者之一必成立：（1） W1W2Ws 1Ws ；（2） W1W2Ws 1Ws 。（3） 存在W1 W2Ws 1 Ws 及Ws (W1W2Ws 1) 。如果是 （ 1）（ 2 ）则归纳成立 ，如果是 （ 3）则选 s 个不同的数 k1, k2 , ks ，则必有某一个 kiW1W2Ws 。3 U 是满足方程tr(A)=0解向量空间 ，其维数为 n21，故

6、其补空间为一维的，可由任一.专业 .整理 .下载可编辑迹非 0 的矩阵生成 。4 易证线性封闭。又设V 中元素为fan xn 1an 1 xn 2a1 ，则 U 是满足方程anan 1a10 的子空间 。 故 U 的维数为n-1 ，其补空间为一维的，故任取一系数非 0 且不满足此方程式的元即可生成此补空间。5 记 U=u1,u2 ,u3 ， Ww1, w2 ，把 U,W 放在一起成 4 行 5 列的矩阵 ，其 Hermite 标准形为1 4 5120 1 11539，0001300000故 UW 的基为3w1w2 ， U 的基为3w1w2 ， u1 ； W 的基为3w1 w2 ， w1 ；U

7、W的基为3w1w2 ， u1 ， w1 。6 U W(x, y, z, w)xyzw011 11xyzw，r1 12 ，011故 dim UW2,dim UWdim Udim Wdim U W4；UW的基为方程组的解向量0,1,1,-1和 1,1, 1,1 。j 17 （ 1 ）由 x j( x 1) ja X i知 x j可表示为 ( x1)i 线性组合 ，由基定义知其为一组ii 0基。nnjj（ 2）由ai xii(x 1 1) jiCkj ak 。bi x 1 及 x jC ij x 1 得 bji 0i 0i 0k 0.专业 .整理 .下载可编辑注：当 k1）有重根不能对角化，故幂 0

8、 阵的 Jordan 标准形不能对角化，那它自己当然也不能对角化。8设PAP 1J A为A的Jordan标准形及，0*000 *0JAdig1, 2 , ndigiM ，*0易算出 M n0 ， ( P 1 MP) no ，而AP 1J A PP 1digiPP 1MPDN 。9 特征值为 1,i ,i ，可对角化后计算。10 记 V 的基为 e1ex , e2 xex, e3 x2ex , e4e2x则1100T e1, e2 ,e3,e4e1,e2 , e3,e40120e1, e2 ,e3, e4 A ，00100002100001003E A 可初等变换为0-1，故初等因子为2,1 ；

9、以下略 。000003-1.专业 .整理 .下载可编辑11 设 A 的标准形的 Jordan 块为 J1 , J2 ,Jr ，则rmA xmJ,mJ , ,mJ, f A xfJ，而 mJxf x ， 故 f AmA 时对12ri 1iiJ i应于每个特征值的Jordan 块仅有一个 。习题六1（ 1）（ 2）略（3）直接计算有，AXX , AXXA* AXA* X , A* AXA* XxA* X , XA* x由内积的性质得AXX0XA*X0。2 设AU * dig1,2 ,nU ，（ U为酉矩阵），故A*U * dig 1 ,2,nU ，所以AA*U * dig| 1 |2,|2 |2,

10、|n |2U ，3（ 1）由 AU * dig1, 2 , n U 及 A*U * dig1, 2 , n U 即得，（2）由第 2 题得；（ 3 ） AmU * dig1m, 2m, nmU ，故由mi 知 i 必为 1 或 0i.专业 .整理 .下载可编辑4（ 1）（ 2）略（ 3 ） U * dig13 ,23, ,n3 UU * dig12,22, ,n2U ，由322i 故 A2Aiii（ 4） EAkU * dig1k ,2k , , nkU， 又i为实数，故i 为1，所以A2U * dig 1,1,1 UE5 为 AB 的特征值 ，对应特征向量为X，则 AX*AX*X*A*X ；

11、B AXX*由 A，B 正定及 A*正定和 AX0（A 满秩）知AX BAX0X*AX1 b12 b13b1n2b23b2n6 由绍尔定理存在酉阵U 使得U*AU，bn1,n故|1 |2*U * A*AU*| 2|2|b12 |2*，故| n |2n 1*| bini i( A)2trA* A7 设AU T dig1, 2 ,nU ，U 为正交阵 ，令Y UX，则n| X T AX | |i yi2 | max | i | YT YCX T X ，其中 Cmax | i |i 1.专业 .整理 .下载可编辑8设 AV * PV (V为酉阵 ),则VAV *P ，而AB 正规VABV * 正规P

12、VBV * 正规并且 ABBAPVBV *VBV * P ，故不妨设1E1B11B12B1rA2 E2, BB21B22B2r，r ErBr1Br 2Brr其中 i互不相同 ，则由 AB=BA 知Bij0 （当 ij 时），即 B digB,B, ,Brr；1122易证 Bii为正规阵 ，故存在酉阵 U1,U 2,U r 使得dig (U 1* ,U 2* ,U r* )Bdig U 1 ,U 2 ,U r为对角阵 ，令 Udig U1 ,U 2 , ,U r ，则U * ABU 为对角阵 ，故 AB 为正规阵 。9 略10 A*AP*0P BP* P P*BE ，故B*Q *0 QB* P

13、B*B Q*Q*P*PE,BP0,P B0,BBQ Q 由E此即可算出 。11 特征多项式相同特征值及其重数都相同两个矩阵与同一对角阵相似。12 计算出 fA12ax b ，特征值为1,2, 2，故1 所对应的特征向量为旋转轴，旋转角由 cosRe2,sinIm 2 决定 。.专业 .整理 .下载可编辑13 特征值为1，求出特征向量即可。14对XV ，TX ,TXTXTxTTX2YYT Xx 2YYT XX T2XYYTX2YYT XX T X 2X TYYT X 2X TYYTX 4X TYYTYYT XX T X注意到上式已用到 YYT |Y |21。15 两者均为正规阵，故求出特征向量并

14、标准化即可。习题七1 略；2。略3（ 1）由T *TE 得（ 2）由*A*A 得TA TA4 见习题六第6 题的证明 ，注意被酉阵乘后不改变这两种范数。5略；.专业 .整理 .下载可编辑6不一定 ，反例略 ；7 由 lim An Anlim An lim An 得；nnn8 可简单计算出最小多项式为12xk2在 A 的谱上的，且函数 f x2k2k 0x数值为 f 12, f 1 2 ，故 fx与多项式 2x 在 A 的谱上的数值相同，所以 f(A)=2A9.易计算出其特征值为0 ， 0.2，故 Am0 。10 mA22 1，后略；11 mA1222 ,后略；12 特征多项式为或或P或 P或 P123312，故寻找二次多项式 P使得12i e i t1e 1t , P 1te 1 , p2e 2t1e 1t