小学奥数染色与操作问题教师版

1、第十一讲： 染色与操作问题一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.二、操作问题实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。模块一、染色问题【例 1】六年级一班全班

2、有35 名同学，共分成5 排，每排 7 人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座如果要让这35 名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗 ?为什么？【解析】划一个 5 7 的方格表，其中每一个方格表示一个座位将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格而实际图中有 17 个黑格 18 个白格，个数不等，故不能办到【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1) 如果 P 点在岸上，那么 A 点是在岸上还是在水中？(2) 某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋 . 如果他从 A 点出

3、发走到某点 B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么 B 点是在岸上还是在水中？为什么？【解析】 （ 1）已知 P 点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A 点在水中 .（ 2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于 A 点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数. 既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么 B 点必定在岸上.【巩固】某班有 45 名同学按9 行 5 列坐好老师想让每位同学都坐到他的邻座( 前后左右 ) 上去，问这能否办到 ?【解析】 将 5 9 长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同

4、学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格而实际图中有23 个黑格 22 个白格，个数不等，故不能办到【例 2】右图是某一套房子的平面图，共12 个房间，每相邻两房间都有门相通请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【解析】 如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5 个白格， 7 个黑格因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始但路线上1 白 1 黑 1 白 1 黑直到5 白5 黑后还余 2 黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍【巩固】有一次车展共6 6=36 个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示参

5、观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【解析】 如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多是 18 个，故不可能做到不重复走遍每个展室1 个，而实际上白格、黑格都【例3】在一个正方形的果园里，种有63 棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（ 1）. 守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏( 不许斜走 ) ，最后又回到小屋，行吗？如果有80 棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【解析】 下图 (1) 中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇

6、数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63 棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋. 图 (2)小屋出发 , 当走到 80 棵树应是黑色,而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.不行 , 从【例4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马.众所周知，马是走“日”字的.请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？【解析】 马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？为方便研究规律，如下图所示，先在棋盘各交点处相间标上和，图中共有22 个和 23 个 .因为马走“日”字，每步只能从跳到，或由跳到，所以马从某点跳到同色的点（指或），要跳偶数步；跳到不同色的

7、点，要跳奇数步。现在马在点，要跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有23+22=45（个）点，不可能做到不重复地走遍所有的点后回到出发点.如果马的出发点不是在点上而是在点上，那么这只马能不能不重复地走遍这半张棋盘上的每个点，最后回到出发点上呢？按照上面的分析，显然也是不可能的.但是如果放弃 “回到出发点”的要求，那么情况就不一样了.从某点出发，跳遍半张棋盘上除起点以外的其它44 点，要跳44步， 44 是偶数，所以起点和终点应是同色的点（指或）.因为 44 步跳过的点与点各22个，所以起点必是，终点也是.也就说是，当不要求回到出发点时，只要从出发，就可以不重复地走遍半张棋盘上的所有点.【例5】

8、右图是由14 个大小相同的方格组成的图形.试问能不能剪裁成7 个由相邻两方格组成的长方形？【解析】将这 14 个小方格黑白相间染色（见右下图） ，有 8 个黑格， 6 个白格 . 相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成 7 个小长方形，那么 14 个格应当是黑、白各 7 个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7 个由相邻两个方格组成的长方形.【巩固】右图是由40 个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20 个相同的长方形？【解析】 将 40 个小正方形想剪裁成20 个相同的长方形，就是将图形分割成20 个 1 2 的长方形，将其黑白相间染色后，发现有21 黑， 19 白，黑白格数不等，而12 的小

9、矩形一次覆盖黑白格各一个 .【巩固】 下面的三个图形都是从4 4 的正方形纸片上剪去两个1 1的小方格后得到的 . 问：能否把它们分别剪成12 的七个小矩形.【解析】 如右上图，（ 1）能，黑白格数相等； （ 2）（ 3）不能，黑白格数不等，而12 的小矩形一次覆盖黑白格各一个.【例 6】用 11 个和 5 个能否盖住8 8 的大正方形 ?【解析】 如右图，对8 8 正方形黑白相问染色后，发现必然盖住2 白 2 黑， 5 个则盖住10 白 10黑则盖住了3 白 1 黑或 3 黑 1 白，从奇偶性考虑，都是奇数而这种形状共11 个，奇数个奇数相加仍为奇数，故这种形状盖住的黑格和白格都是奇数，加另

10、一种形状的10 白 10 黑，两种形状共盖住奇数个白格奇数个黑格但实际染色后共32 个白格 32 个黑格，故不可能按题目要求盖住 注：本题中每个盖 3 白 1 黑或 3 黑 1 白，11 个这种形状盖住的不一定是33 白11 黑或 33 黑 11 白，因为可能一部分盖 3 白 1 黑，另一部分盖 3 黑 1 白 .这是一个容易犯错的地方 .【巩固】能否用 9 个所示的卡片拼成一个6 6 的棋盘？【解析】 不能 . 将 6 6 的棋盘黑白相间染色（见右图） ，有 18 个黑格 . 每张卡片盖住的黑格数不是1 就是3， 9张卡片盖住的黑格数之和是奇数，不可能盖住18 个黑格 .【巩固】9 个1 4

11、 的长方形不能拼成一个6 6 的正方形，请你说明理由！【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能说明问题. 我们对 66 正方形用四种颜色染色，因为要用14 来覆盖为了方便起见，这里用1、 2、 3、 4 分别代表四种颜色也为了使每个1 4 长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如右图这样，可以发现无论将14 长方形放于何处，盖住的必然是 1、2、3、4 各一个要不重叠地拼出 6 6，需 9 个 1 4 长方形，则必然盖住 1、 2、3、 4 各 9 个但实际上图中一共是 9 个 l 、 10 个 2、 9 个 3、 8 个 4，因而不可能用 9 个 1 4 长方形拼出 6 6 正

12、方形【巩固】用若干个2 2 和 3 3 的小正方形不能拼成一个11 11 的大正方形，请你说明理由！【解析】 如右图所示， 将 2 2 或 33 的小正方形沿格线摆在右图的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格，而阴影方格共有77 个，是奇数，所以只用2 2 和 3 3 的小正方形，不可能拼成11 11 的大正方形 .【例 7】对于表（ 1），每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同） ，变为表（ 2）？为什么？【解析】 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2 倍，因此总和的奇偶性没

13、有改变。原来九个数的总和为1+2+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4 矛盾。所以不可能变成右上表.模块二、操作问题【例 8】右图是一个圆盘，中心轴固定在黑板上. 开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0. 然后转动圆盘，每次可以转动90的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上. 问：经过若干次后， 黑板上的四个数是否可能都是 999？【解析】 不可能 .因为每次加上的数之和是12 3 4=10，所以黑板上的四个数之和永远是10 的整数倍 .999 4=3996，不是 10 的倍数，所以黑板上的四

14、个数不可都是999.【例 9】有 7 个苹果要平均分给12 个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5 份应该怎样分？【解析】 显然每人应该分7 4 + 3 1 + 112121234于是，拿4 个苹果，每个苹果3 等分；拿3 个苹果，每个苹果4 等分 【例 10】 有一位老人，他有三个儿子和十七匹马. 他在临终前对他的儿子们说：“我已经写好了遗嘱，我把马留给你们，你们一定要按我的要求去分. ”老人去世后，三兄弟看到了遗嘱. 遗嘱上写着：“我把十七匹马全都留给我的三个儿子. 长子得 1 ，次子得 1 ，给幼子 1 . 不许流血， 不许杀马 .239你们必须遵从父亲的遗愿！”请你帮助他们分分马吧！【解

15、析】 这三个兄弟迷惑不解，尽管他们在学校里学习成绩都不错，可是他们还是不会用17 除以 2、用17 除以 3、用 17 除以 9，又不让马流血. 于是他们就去请教当地一位公认的智者. 这位智者看了遗嘱以后说：“我借给你们一匹马，去按你们父亲的遗愿分吧！”老人原有17 匹马，加上智者借给的一匹，一共18 匹 . 于是三兄弟按照18 匹马的 1 、 1 和 1 ，分别得到了九匹、六匹和两239匹 .9+6+2=17 （匹） . 还剩下一匹，是智者借给的那匹，还给智者.【巩固】甲、乙、丙、丁分29 头羊 . 甲、乙、丙、丁分别得1 , 1 , 1 , 1 ，应如何分？2 5 6 10【解析】 借一头

16、羊，甲、乙、丙、丁依次分得15， 6， 5，3 头羊，再将借得1 头羊还回去 .【例 11】 8 个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码）?【解析】 讲解此题前，教师可先问学生：“ 3 个金币，有1 个假的比较轻，你称1 次能把它找出来么？”将8 个金币分成： 3+3+2，3 组，把 3 和 3 进行称量，如果重量相同，称剩下的2 个金币即可找到假币；如果重量不同，将比较重的3 个金币拿出，用天平称量2 个，剩下1 个，天平不平衡易得答案，若此时天平平衡则剩下的那个是假的.【巩固】9 个金币中，有一个比真金币轻的假金币，你能用天平称两次就找出来吗（天平无砝码

17、）?【解析】 第一次在左右两托盘各放置3 个： ( 一 ) 如果不平衡，那么较轻的一侧的3 个中有一个是假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的一个是假的；( 二 ) 如果平衡，剩下的三个中必有一个为假的从中任取两个分别放在两托盘内：如果不平衡，较低的一侧的那个是假的；如果平衡，剩下的那个是假的这类称量找假币的问题，一定要会分类，并尽量是每一类对应天平称量时的不同状态( 轻，重，平 ) ，所以分成3 堆是很常见的分法【例 12】 据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁.这两个人有一只容量10 斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的

18、罐和一只空的葫芦，罐可装7 斤油，葫芦可装3 斤油 .要把这 10 斤油平分， 每人 5 斤 . 但是谁也没有带秤， 只能拿手头的三个容器倒来倒去 .应该怎样分呢？【解析】 韩信给两人说了一句话：“葫芦归篓，篓归罐”，两人按此分油，果然把油分成了两半. 具体做法如下表：韩信的话指明了倒油的方向，始终按从篓向罐中倒，从罐向葫芦中倒，从葫芦向篓中倒的方向操作 .按照相反的方向倒，即“葫芦归罐，罐归篓”怎样?我们试试 .看来也行，只是多倒了一次 . 要注意的是：保持一定的方向很重要 . 如果在倒油的过程中，出现从甲倒向乙，又从乙倒回甲 ( 这两步不一定挨着 ) ，那么这两步相互抵消，肯定可以简化掉，

19、所以最佳的倒油方法是始终按一个方向倒.【巩固】大桶能装5 千克油，小桶能装4 千克油，你能用这两只桶量出6 千克油吗 ?怎么量？【解析】 先将 5 千克的桶倒满油；再用大桶将小桶倒满，大桶中还有5-4=1( 千克 )油；然后将小桶倒空，将大桶中1 千克倒到小桶中；最后注满大桶，连小桶中共是5+1=6( 千克 )这道题要学会借助于大桶小桶容积的差量出想获得的中间量(1 千克 )【巩固】有一个小朋友叫小满，他学会了韩信分油的方法，心里很是得意. 一天，他遇到了两位农妇.位农妇有两个各装满了10 升奶的罐子，还有一个5 升和一个4 升的小桶，她们请求小满就用这些容器将罐子中的奶给两个小桶中各倒入2

20、升奶 .小满按照韩信分油的方法，略加变通，就将奶分好了！你说说具体的做法！【解析】 答案如表所示两【例 13】 有大，中，小3 个瓶子，最多分别可以装入水1000 克， 700 克和 300 克 .现在大瓶中装满水，希望通过水在3 个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100 克水的刻度线，问最少要倒几次水【解析】 通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100 ，是计算步数最少的得到100 的方法而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是：1大瓶往中瓶中倒满水2中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400 克水3小瓶中水倒回大瓶4中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只

21、剩下100 克水，标记5小瓶中水倒回大瓶6中瓶中 100 水倒入小瓶，标记所以最少要倒6 次水本题关键是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然无法再往小瓶中倒水的【例14】 老师在黑板上画了9 个点，要求同学们用一笔画出一条通过这9 个点的折线( 只许拐三个弯儿 ) 你能办到吗?【解析】 大家开始尝试多次之后可能会得出“不可能”的结论，但是大家不要忽略一点，题中并没要求所有折线只能限定在这9 个点的范围之内我们把折线的范围冲破本题9 个点所限定的正方形，那么问题就容易解决了，如上右图。【例 15】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量1. 只称量一次，如何判断哪个

22、罐子的药被污染了？【解析】 第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10 个药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染.【例 16】 如右图所示，将1 12 顺次排成一圈 .如果报出一个数a（在 1 12 之间），那么就从数a 的位置顺时针走a 个数的位置 .例如 a=3，就从 3 的位置顺时针走3 个数的位置到达6 的位置；a=11，就从 11 的位置顺时针走11 个数的位置到达10 的位置 .问： a 是多少时，可以走到7 的位置？【解析】 不存在 . 当 1 a 6 时，从 a 的位置顺时针走a 个数的位置，应到达2a 的位置；当7 a12 时，

23、从 a 的位置顺时针走a 个数的位置，应到达2a-12 的位置 . 由上面的分析知，不论a 是什么数，结果总是走到偶数的位置，不会走到7 的位置 .【例 17】 对于任意一个自然数n ，当 n 为奇数时，加上121；当 n 为偶数时，除以2，这算一次操作现在对 231 连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？【解析】 同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到这个过程还可以继续下去，虽然一直没有得到100，但也不能肯定得不到100.当然，连续操作下去会发现，数字一旦重复出现后，这一过程就进入循环，这时就可以肯定不会出现100.因为这一过程很长，所以这不是好方法 .因为 2

24、31 和 121 都是 11 的倍数， 2 不是 11 的倍数，所以在操作过程中产生的数也应当是11 的倍数 . 100 不是 11 的倍数，所以不可能出现. 操作问题不要一味地去“操作 ”，而要找到解决问题的窍门.课后练习练习 1.一只电动老鼠从左下图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了81 次弯，乙说它共转了82 次弯。如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？【解析】 甲 . 如右下图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少格点就转了多少次弯。 如左下图所示， 老鼠从黑点出发， 到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确.练习 2.如图（ 1），对相邻的两格内的数同时加上1 或同时减去1 叫做一次操作.经过若干次操作后由1变成图 2，则图 2 中 A 处的数是多少？【解析】 按 图中要求操作，图3 中阴影方格的数字之和与空白方格的数字之和的差不变. 所以A=（ 1+