第七节从Rn到Rm的线性变换.

1、4.7从疋到/r的线性变换M -1 1)T1、2 04丿花丿U丿T T TA x b(42T T TA u 0表明用A左乘可将x变为b,而将u变为0向量.基于这个观点，解矩阵方程Ax二b等价于求川中 的所有向量X,其在A左乘的作用下变换为用中的 向量b从zr到/r的变换(transformation) t：疋f代 是某种法则，其对川中的每个向量，指定Q中的一11初与之对应.川称为T的定义域(domain),肥称为T的陪域(codomain)对川中的x,肥中的称为x (在T作用下的) 的像，所有像的集合祢为T的值域(range)矩阵变换若A是一个加X,7矩阵，定义矩阵变换T（x） = Ax, V

2、xe Hn易知，T的定义域为疋，陪域为肥，而T的值域 是A的列向量的所有线性组合，即A的列空间.b =Uri -3、例 4.7.1 A= 35 II -17考虑矩阵变换t.r求川中的X,其在T下的像为,r在卩下的橡为的X是否唯一？ P 判断C是否在近的值域内(1)確定u在，下的橡r（M）； pfl3)厂花_3旳、35卜3xj 十 5x21-1 7 丿1_旳十7乂2,（2）（3）（4）例 4.7.2-4=010 ,变换x Ax将疋中的点投影到迥七平面上, 0.Z例 7,3 A =003、J,由T(x) = zlx定义的用到炉的变换丁称为剪切变换可以证明7将图1中的正方形变换为平行四边形(证明(s

3、hear transfonnation )留乍练习)，证明的关键是T将线段变换为线段，而正方形的顶点变换为平行四边形的顶点.例如.顶点心:;的像为r(w)=的像由矩阵乘法的性质，易知矩阵变换”一心满足：A(w 4-v) = Au Av. A(cu) = cAu. Vn, v c Rn.c e R.定义4.7.1若变换T满足以下性质，称为线性变换:(1) 对T的定义域中的任意向量11,一T(M 4- V ) = T(M ) 4- T (V ),(2) 对T的定义域中的任意向量u和任意实数c,T(cu) = cT(u).定义表明线性变换保持向量的加法和数乘运算 矩阵变换一定是线性变换.性质4.7设

4、丁是线性变换*(1) 保持零向量：T(0) = 0 ； 2(2) 保持负向量：T-u) = -7(w) I a(3) 保持线性组合，pT(czi 4- dr) = cTu) + dT(v) , 2-地，2坷+ +勺p) = CiT(绚)+ + Cp7(“p),(4)保持线性相关性：若旳心，冷线性相关，则线 性相关*例4.7.4两个特殊的线性变换：恒等变换，零变换例4.7.5平移变换不是线性变换例4.7.6旋转变换是线性变换向量空间上的线性变换一定是矩阵变换若从疋到用的线5、3、性变换7使得F() =_7I T(e2)=8、丿、.0.例 47.7E?=求“中任意向量工在2下4橡定理屯7J设F是0

5、到0的线性变换，则存在唯一的矩阵一4,使得丿7(x) = 4r.0x G事实上，是汝5矩阵，其第/列为向量巩勺)，勺是”酚剿渥荒第/列.即M =*).例4,7：.8求川上的拉伸变T(a-)3x的标准矩阵解S = 3e】 = g. gT：；因此丁的标准矩阵为八；点1例479例4.7.5中的旋转变换心的标准矩阵为一4= mesin (p cos 卩定义472变换T：R”i/r称为映上的，如果肥中每个b是肥中至少一个x的像.易知，T是映上的当且仅当T(x)=b对于任意的吐 有解.定义4.7.3变换T:RRm称为的，如果肥中每个b是卅中至多一个x的像.易知，T是一一的当且仅当T(x)=b对于任意的此尺 有唯一解或无解.例4.7.10线性变换 八Qi用的标准矩阵)-4 8 rA= 0 2 -l 30 005T是映上的吗？是的吗？定理4.7.2线性变换T是的当且仅 当T(x)=O仅有零解.定理4.7.3令t是线性变换的标准矩阵.(1) T是映上的当且仅当A的列空间为肥.(2)