第7章向量代数与空间解析几何.

1、第 7 章 向量代数与空间解析几何7.1 向量代数1 学习指导1. 基本要求 理解向量的基本概念。熟练掌握向量的加减、数乘、数量积、向量积运算的几何意义 和坐标运算，掌握混合积及其几何意义。熟练运用向量坐标来判定和表达向量之间的关系及计算等有 关问题。掌握两个向量之间夹角的计算及两个向量平行或垂直的条件。 掌握单位向量及方向余弦的表达式。2 重点与难点重点 向量的概念、向量的坐标、向量的线性运算、向量的数量 积与向量积。难点 向量的向量积及其运算律。3 学习方法 向量代数的主要内容可归类为： 两种表示法 几何表示与坐标表示。 五类运算 加减、数乘、数量积、向量积与混合积运算，其中 数量积与混合

2、积的运算结果是数量，其余的运算结果是向量。 几个关系 两向量的垂直、平行及相交关系，三向量的共面关 系。研究方法是以向量为工具，用代数方法研究几何问题，学习中应 深刻理解向量的基本概念及几何意义，切实掌握用向量研究各种数形 结合问题的方法和技巧。注意向量与数量是两类不同的概念， 学习中切不可将数量中的 一些规律随意用于向量运算，例如数量乘法只有一种而向量乘法却有 多种，其结果可能是数量也可能是向量；数量乘法具有交换律和消去 律，而向量的向量积具有反交换律；两数量可以比较大小而两向量却 没有大小之分；数量乘法可记为 a b a b ab,而向量中的a b是向 量，a b是数量，需要严格区分不可混

3、淆。对涉及向量的向量积和数量积的计算，一般是根据它们的定 义、性质和运算规律来进行，应明确哪个结果是数量，哪个结果是向 量，特别注意利用 a a a ，a a 0，a a b，a b b a，a b b a 等性质简化运算，如果仅涉及向量数量积的运算，则经常使用下面两 种方法： 已知向量的模与夹角时，利用定义 a b |a|bcos(a,b)直接计算。 当不能直接利用定义时，根据所给条件充分利用数量积的有关 运算律间接计算。设a,b,c为非零向量，研究向量间相互关系有如下方法。如需确定a b或a与b共线，贝卩： 讨论是否有a b.讨论是否满足axbxaybyazbz计算a b是否等于零向量如需

4、确定a b,则: 计算a b，看结果是否等于零。 计算a b，若a b c，贝U a c , b c.如需确定a,b,c共面或四点共面，则 讨论是否有a b c. 计算abc，讨论其结果是否等于零。向量的主要应用 求平行四边形的面积 设平行四边形以向量a,b为邻边，则面积s |a . 求三角形的面积10若三角形以a,b为邻边，则其面积s |a b ；20若三角形以Ax-% ， Bx2,y2 , C X3,y3为顶点，则面积1 AB AC2Xi yiX2 y2X3 y3 求平行六面体体积设平面六面体以a,b,c为棱，则其体积v abc ； 求四面体体积设四面体以A、B、C D为顶点，则其体积v

5、1 ABACAD .6 证明平面几何中的有关命题。2. 解题指导1向量的有关概念例1已知两点Mi（42,1）,M2（3,0,2），计算向量M1M2的模、方向余 弦和方向角。分析 向量的模、方向余弦和方向角的计算都要用到向量的坐标 表示，而由两点所确定的向量坐标就是终点坐标与起点坐标之差。解由 M1M2 3 4,0 2 2 1 1, , 2,1，得伙 1）2 （应）2 12 2，1 142xB?yC2zD201 , |b 2，且 a b，若 A B，则经过原点，那么其中各系数的关系是过点P 1,1,1且与直线1y专垂直的平面方程是与平面6x 3y 2z 120平行且到原点的距离为1的平面方程为曲

6、面x2 y2 z2 4与x2 y22x的交线在xOy面上的投影曲线方程为 直线 y壬绕z轴旋转而成的旋转曲面方程为3 262.证明题（28分）： 证明：非零向量a、b共线的充要条件是存在不全为零的实数,，使得a b 0 ；证明：直线2X y 1 与平面x 2y z 1平行； 3x z 20 证明：P 1, 2,3与P 3,6,5关于平面 :x 4y z 140对称；x 2t 1证明：直线3丄 J 与L2： y 3是异面直线。243z t 23解答题（第题9分，其余题7分，共51分）：求过直线丫三及口 土的平面方程；2 1 2 2 1 2求过直线4X y 3z 1 且与平面2x y 5z 2 0

7、垂直的平 x 5y z 2 面方程；x 1 2t确定直线L: y 3 t在平面:x y 2z 2 0的投影直线方z 2 3t程；求两直线L1： x 2y 5 0与y 0的公垂线方程；2y z 4 0x 2z 4 02 2 写出曲面 务y勺0与三坐标面的交线方程；ac 设空间曲线：2f彳4x 4z,将 用母线平行于x轴和zy2 3z2 8x 12乙轴的两个投影柱面的方程表示；求直线L :x 12y 1 z绕z轴旋转而成的旋转曲面方程。自测题7.1答案1.(1); ; 。2. *； 2； 0； x2 y21； x2z2 2y 0y 13. (1)(B)；(D)；(C)；(D)；(D).5.K 1或k 5 ；1 。2 15x 10y 6z 600；聖2Z/JJ25 5 25口；121X y2Z10x3y2z1O22 11 x 2 y 22。z 0自测题7.2答案1.(1) 19 ； 2 ； 6x 3y 2z 70 ； D1 D20 ； x