北京理工大学随机信号分析实验报告

1、 本科实验报告 实验名称： 随机信号分析实验 课程名称：-1随机信号分析 实验时间： 任课教师： 1.5 实验地点： 实验教师： 实验类型： 原理验证 综合设计 自主创新 学生姓名：1.51 ：级 班号学/0.5 1 号： 组 院： 学 0.50 同组搭档： 业： 专 -0.5 0 绩： 成 实验一 随机序列的产生及数字特征估计 一、实验目的 1、学习和掌握随机数的产生方法。 2、实现随机序列的数字特征估计。 二、实验原理 1、随机数的产生 随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。 在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机

2、数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。 (0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在0，1区间上的均匀分布，即 U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： y?1,yky(modN) 1nn?0x?y/N nn?x为产生的(0，1)均匀分布随机数。序列 n下面给出了上式的3组常用参数：

3、 71010?5?7N?10?,k ；1、，周期81631105?3,?2N?2?,k 、（周期；IBM 随机数发生器）2953110?2?,?72?1,kN? 周期；、3（ran0） 由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。均匀分布随机变量，为F (x)，而R (0,1) 定理 1.1 若随机变量X 具有连续分布函数X 则有?1(FR)X? x由这一定理可知，分布函数为F (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变X换得到。 中产生随机序列的函数MATLAB 、2（1）(0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand 用法：x = rand(m,n) 功能：产生mn

4、 的均匀分布随机数矩阵。 （2）正态分布的随机序列 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生mn 的标准正态分布随机数矩阵。 2),?N(?分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。 如果要产生服从（3）其他分布的随机序列 MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。 MATLAB 中产生随机数的一些函数 3、随机序列的数字特征估计 对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估

5、计为 利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。 （1）均值函数 函数：mean 用法：m = mean(x) 。x(n)为样本序列x 的均值，其中X (n)功能：返回按上面第一式估计（2）方差函数 函数：var 用法：sigma2 = var(x) 功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x 为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。 （3）互相关函数 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,opition) c = xcorr(x,opition) 功能：xcorr(x,y)计算 X (n)与Y(n

6、)的互相关，xcorr(x)计算 X (n)的自相关。 option 选项可以设定为： biased 有偏估计，即 unbiased 无偏估计，即按上面第三式估计。 coeff m = 0 时的相关函数值归一化为1。 none 不做归一化处理。 三、实验内容 1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。 线性同余法的公式如下： y?1,yky(modN) 10nn?x?y/N nn实验代码： Num=input(Num=); N=231; k=216+3; Y=zeros(1,num); X=zeros(1,num); Y

7、(1)=1; i=2:numforY(i)=mod(k*Y(i-1),N); end X=Y/N; a=0; b=1; m0=(a+b)/2; sigma0=(b-a)2/12; m=mean(X); sigma=var(X); delta_m=abs(m-m0); delta_sigma=abs(sigma-sigma0); plot(X,k); xlabel(n); ylabel(X(n); delta_m delta_sigma axis tight 实验结果： delta_sigma=0.0011 delta_=0.0110 Num=1000 、A 0.90.80.70.6)n0.5(

8、X0.40.30.20.11000800900400500600700100200300n B、Num=5000 delta_m =2.6620e-04 delta_sigma =0.0020 0.90.80.70.6)n0.5(X0.40.30.20.1500100015002000250030003500400045005000n 实验结果分析：样本值越大，实际值越接近理论值，误差越小。 ? 的指数分布的分布函数为、参数为2?x? e1?Fx利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个，测试其方差和相关函数。 实验代码： R=rand(1,1000); lambda=0.5;

9、 X=-log(1-R)/lambda; DX=var(X); Rm,m=xcorr(X); subplot(211); plot(X,k);xlabel(n);ylabel(X(n);axis tight; subplot(212); plot(m,Rm,k);xlabel(m);ylabel(R(m);axis tight; 实验结果： 15 10)n(X51002003004005006007008009001000n 60004000)m(R2000-800-600-400-2000200400600800m DX =4.1201 实验结果分析： 方差的理论值应为1/(0.52)=4，

10、实际值为4.1201，与其基本一致，有一定偏差。 估计该序列的均值、，个样本）1000（分布的高斯随机数N(1,4)产生一组、3方差和相关函数。 产生高斯分布的随机数可使用函数normrnd， 实验代码： X=normrnd(1,2,1,1000); Mx=mean(X);Dx=var(X); Rm,m=xcorr(X); subplot(211); plot(X,k);xlabel(n);ylabel(X(n);axis tight; subplot(212); plot(m,Rm,k);xlabel(m);ylabel(R(m);axis tight; Mx Dx 实验结果： 5)n(X0

11、-51002003004005006007008009001000n 40003000)m(2000R10000-800-600-400-2000200400600800m Mx =0.9937 Dx = 3.8938 实验结果分析： 理论上，均值为1，方差为4。实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。在误差允许范围内，理论值和实验值基本相同。 四、实验心得体会 的matlab用于随机序列的产生和数字特征的估计，同样是用本次随机信号分析实验，平台实现。通过这次实验，学习和掌握随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用matlab产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。本次实验

12、的难点在于用线性同余法产生随机序列，在实际编程中需要用到一个FOR循环，起初并不熟悉其语法特征，经过反复的修改，运行成功。 实验二 随机过程的模拟与数字特征 一、实验目的 1、学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。 2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 二、实验原理 1、正态分布白噪声序列的产生 MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。 函数：randn 用法：x = randn(m,n) 功能：产生mn 的标准正态分布随机数矩阵。 2?),N(分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果如果要产生服

13、从2),?XN(?。 N(0,1)，则2、相关函数估计 MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。 函数：xcorr 用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,opition) c = xcorr(x,opition) 功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。 option 选项可以设定为： biased 有偏估计。 unbiased 无偏估计。 coeff m=0 时的相关函数值归一化为1。 不做归一化处理。none 3、功率谱估计 MATLAB 函数periodogr

14、am 实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram 用法：Pxx,w = periodogram(x) Pxx,w = periodogram(x,window) Pxx,w = periodogram(x,window,nfft) Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(.) 功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx 为输出的功率谱估计值； f 为频率向量； w 为归一化的频率向量； window 代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，下图列出了产生常用

15、窗函数的MATLAB函数。 nfft设定FFT算法的长度； fs表示采样频率； 三、实验内容 1、按如下模型产生一组随机序列 (n)?1)?0.8x(nx(n)?其中是均值为1，方差为 4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相(n)?关函数和功率谱。 实验代码： y0=randn(1,500); %产生一长度为500的随机序列 y=1+2*y0; x(1)=y(1); n=500; for i=2:1:n x(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n) end subplot(311); plot(x); );x(n)title(sub

16、plot(312); c=xcorr(x); %用xcorr函数求x(n)的自相关函数 plot(c); title(R(n); p=periodogram(x); %用periodogram函数求功率谱密度 subplot(313); plot(p); title(S(w); 实验结果： x(n)20 0-200501001502002503003504004505004R(n)x 102 1001002003004005006007008009001000S(w)2000 10000050100150200250300 上图中分别为长度为500的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。

17、2、设信号为 f?0.05,f?0.12，其中为正态分布白噪声序列，试在 N =256和)w(n21N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。 实验代码： （1）、N=256时 N=256;w=randn(1,N); %用randn函数产生一个长度为256的正态分布白噪声序列 n=1:1:N; f1=0.05; f2=0.12; x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n); %产生题目所给信号 R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数 p=periodogram(x); %求x的功率谱 subplo

18、t(311); plot(x);title(x(n); subplot(312); plot(R);title(R(n); subplot(313); plot(p);title(S(w); 实验结果： x(n)5 0-5050100150200250300R(n)1000 0-10000100200300400500600S(w)100 500020406080100120140 上图中分别为长度为256的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。 （2）、N=1024时 将上述第一行代码改为N=1024；即可。 实验结果：x(n)10 0-10020040060080010001200R(

19、n)5000 0-500005001000150020002500S(w)400 20000100200300400500600 上图中分别为长度为1024的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。可明显看出，功率谱集中在两个频率分量处。 四、实验心得体会 这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度。用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了学习过程。通过本次实验，学习了利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。 实验三 随机过程通过线性系统的分析 一、实验目的 1、理解和分析白噪声通

20、过线性系统后输出的特性。 2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。 二、实验原理 1、白噪声通过线性系统 设连续线性系统的传递函数为H( )或H(s)，输入白噪声的功率谱密度为SX( )=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为 2 (S)=|H()| （3.1） Y 输出自相关函数为 2 H()| R ()= （3.2） Y 输出相关系数为 ）3.3 （ 输出相关时间为 = （3.4） 0输出平均功率为 2 EH(=)| （3.5） 上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H()|决定，不再是常数。 2、等效噪声带宽

21、 在实际中， 常常用一个理想系统等效代替实际系统的H()，因此引入了等效噪声带宽 的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。 实际系统的等效噪声带宽为 2 H(=)| （3.6） 或 = （3.7） 3、线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统 若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。 （2）随机过程的正态化 随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统

22、，输出近似服从正态分布。 三、实验内容 1、仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。（假设采样频率为10kHz） 实验代码： Fs=10000; %抽样频率为10kHz x=randn(1000,1); %产生随机序列，模拟高斯白噪声 figure(1); subplot(3,1,1); plot(x);grid on; xlabel(t); subplot(3,1,2); x_corr=xcorr(x,unbiased); %计算高斯白噪声的自相关函数 plot(x_corr);grid o

23、n; subplot(3,1,3); Pxx,w=periodogram(x); %计算功率谱密度 x_Px=Pxx;plot(x_Px);grid on; figure(2); subplot(2,1,1); 高斯白噪声一维概率密度函数%x_pdf,x1=ksdensity(x); plot(x1,x_pdf);grid on; subplot(2,1,2); f=(0:999)/1000*Fs; X=fft(x); mag=abs(X); %随机序列的频谱 plot(f(1:1000/2),mag(1:1000/2); grid on; xlabel(f / Hz); figure(3);

24、 subplot(3,1,1); b,a=ellip(10,0.5,50,3000,4000*2/Fs); H,w=freqz(b,a); %带通滤波器 plot(w*Fs/(2*pi),abs(H);grid on; xlabel(f / Hz); ylabel( H(w); subplot(3,1,2); y=filter(b,a,x); y_pdf,y1=ksdensity(y); %滤波后的概率密度函数 plot(y1,y_pdf);grid on; y_corr=xcorr(y,unbiased); %滤波后自相关函数 subplot(3,1,3); plot(y_corr);gri

25、d on; figure(4); Y=fft(y); magY=abs(Y); %随机序列滤波后频谱 subplot(2,1,1); plot(f(1:1000/2),magY(1:1000/2);grid on; xlabel(f / Hz); subplot(2,1,2); nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(y_corr);Pyy,fy=periodogram(y_corr,window,nfft,Fs); %滤波后高斯白噪声功率谱 y_Py=Pyy(index+1);

26、plot(ky,y_Py);grid on; 实验结果： 高斯白噪声序列5 0-501002003005006007004008009001000t数函白噪声自相关斯高2 0-20200400600800100012001400160018002000高斯白噪声功率谱密度2 106005004003002001000高斯白噪声一维概率密度函数0.4 0.30.20.10-5-4-3-2-1012345模拟高斯白噪声序列频谱80 60402000500100015002000250030003500400045005000f / Hz带通滤波器1 )w0.5(H00500100025003000

27、350015002000400045005000f / Hz数函维波后一概率密度滤带通1 0.50-1.5-1-0.500.511.52限带高斯白噪声自相关函数0.2 0-0.20200400600800100012001400160018002000 电路，分析输出的统计特性。RC 、设白噪声通过下图所示的2 （1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。 （2）采用MATLAB 模拟正态分布白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输 出噪声的概率密度。 （3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声 的概率密

28、度。 （4）改变RC 电路的参数（电路的RC 值），重做（2）和（3），与之前的结果进行比较。 （1）、由图中所示电路，根据电路分析的相关知识，可推导出 NS(w)? 输出功率谱密度为： 222R?22wC?N? Re?RC 相关函数为： 4RC?RC 相关时间为： ?B 等效噪声带宽为： 2RC（2）、实验代码： R=100; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b); %RC电路的冲击响应 x=randn(1,1000); %产生正态分布的白噪声 y=conv(x,h); fy y1=ksdensity(y) %求输出噪声的概率密度 subpl

29、ot(3,1,1); plot(x);title(x(n); subplot(3,1,2); plot(y); title(y(n); subplot(3,1,3); plot(fy); title(fy); 实验结果： x(n)5 0-501002003004005006007008009001000y(n)2 0-2050010001500fy4 200102030405060708090100 （3）、实验代码： R=100; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b); x=rand(1,1000); %均匀分布的白噪声 y=conv(x,h

30、); fy y1=ksdensity(y); subplot(3,1,1); plot(x);title(x(n); subplot(3,1,2); plot(y); title(y(n); subplot(3,1,3); plot(fy); title(fy); 实验结果： x(n)1 0.5001002003004005006007008009001000y(n)1 0.50050010001500fy4 200102030405060708090100 （4）、a、改变R、C值为：R=200，C=0.01; 实验结果： 正态分布x(n)5 0-5010020030040050060070

31、08009001000y(n)2 0-2050010001500fy4 200102030405060708090100 均匀分布x(n)1 0.5001002003004005006007008009001000y(n)1 0.50050010001500fy4 201009080706050403020100b、改变R、C的值为：R=10，C=0.01; 实验结果： 正态分布 x(n)5 0-501002003004005006007008009001000y(n)1 0-1050010001500fy10 500102030405060708090100 均匀分布x(n)1 0.5001

32、002003004005006007008009001000y(n)1 0.50050010001500fy5 00102030405060708090100 实验结果分析： 显然，系统相关时间与系统带宽成反比。 从输入及输出波形可以看出，正态随机过程通过一个线性系统后，输出仍为正态分布。而对于任意分布的白噪声，通过一个线性系统后，输出也服从正态分布。 四、实验心得体会 本次实验是关于随机信号通过线性系统的，可以看出，白噪声通过线性系统后，输出服从正态分布，从实践上验证了课本的理论，通过本次实验，理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性，并且学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程

33、的正态化问题。 实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试 一、实验目的 1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。 二、实验原理 1.窄带随机过程的莱斯表达式 任何一个实平稳窄带随机过程X (t)都可以表示为 上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程下图所示。 2.窄带随机过程包络与相位的概率密度 包络的概率密度为，服从瑞利分布。 相位的概率密度为，呈均匀分布。 3.窄带随机过程包络平方的概率密度 包络平方的概率密度为0，为指数概率密度函数。 三、实验内容 产生一满MATLAB用基于随机过

34、程的莱斯表达式，按上图所示结构框图，、1足条件的窄带随机过程。 实验代码： n=1:1:1000; h=exp(-n); c1=randn(1,1000); a=conv(c1,h); c2=randn(1,1000); %产生两个正态分布的高斯白噪声 b=conv(c2,h); %通过低通滤波器 fc=10000; x=zeros(1,1000); for i=1:1000 %卷积结果相加，得到窄带随机过程 x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); end plot(x); title(窄带随机过程); 实验结果： 窄带随机过程2 -0.5-

35、1-1.510009006007008005003001000200400 2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 实验结果：窄带随机过程1.5 10.50-0.5-1-1.501002003004005006007008009001000窄带随机过程 -1.5-210009008007006005004003002001000窄带随机过程1.5 10.50-0.5-1-1.501002003004005006007008009001000 3、编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并给出解释。 实验代码： n=1:1:1000; h=exp(-n); c1=randn(1,