第十六章几何证明选讲.

1、第十六章几何证明选讲高考导航16.1相似三角形的判定及有关性质知识要点.命题展望一. 考试要求1. 复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定 理，并会运用定理；2. 理解直角三角形射影定理，并会运用它计算或证 明；3. 理解圆周角定理.圆的切线的判定定理及性质定 理，并会运用它们进行计算与证明；4. 理解相交弦定理.圆内接四边形的性质定理与判 定定理.切割线定理，并会运用它们进行几何计算与 证明；5. 了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关 系，体会平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是 椭圆（特殊情形是圆）；6. 通过观察平面截圆锥面的情境，体会平面截圆锥 所得的三种曲线一一椭圆，抛物线

2、.双曲线.二. 重难点击本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有 关的若干定理及其运用，并将其运用到立几中.本章难点：对平面截圆柱.圆锥所得的曲线为圆，椭圆.双曲线.抛物线的证明途径与方法，它是 解几立几.平几知识的综合运用，应较好地把握.本章在高考中，有较大的比例，它是工具性知 识，它将渗透到高中代数和几何中的大部分内容， 单独命题估计以选择题，填空题的形式出现，但有 可能将其渗透到综合大题中，由于它是新加内容， 且它能考查学生灵活运用所学知识的能力，综合考 查力度大，我们应引起足够重视.本章是高中新课标 中选修的内容，是平几知识不断完善的核心内容理解相似三角形的判定和性质，直角三角形中的射

3、 影定理，并会熟练运用它们.1. 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直 线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线 段也相等.推论T经过三角形一边中点与另一边平行的直线 必平分第三边.推论2经过梯形一腰中点，且与底边平行的直线 平分另一腰.2. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直 线，所得的对应线段成比例.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两 边的延长线）所得的对应线段成比例.3. 般相似三角形的判定方法（1）定义（略）；（2 ）预备定理（略）；（3）判定定理1:两角对应相等，两三角形相似;（4 ）判定定理2:两边对应成比例且夹角相等，两 三角形相似；（5）判定定理3：三

4、边对应成比例，两三解形相似4. 直角三角形相似的判定方法（1）两直角三角形有一锐角对应相等，则它们相 似；（2 ）两直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例，则它们相似.5. 相似三角形的性质（1 ）相似三角形对应高的比.对应中线的比和对应 角平分线的比以及对应周长的比都等于相似 .（2）相似三角形面积的比，外接圆（内切圆）直 径的比.外接圆（内切圆）面积的比 .周长的比都等 于相似比的平方.6. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高 是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分 别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.课前热身1.如图，在厶ABC中，DE/BC不成立的是（C)ADAEDBA

5、DA.-B.ABACECAEDEAEBCABC.-D.BCECDEAD则下列比例式C解析：据平行成等比例段定理和相似三角形知识可知：DE 些，故选C.BC EC两条.2,如图，Rt ABC 中，/ C=90 , CD 是斜边 AB 上的高，/ B=15 ,则厶ACD与厶CDB的内切圆典例精析直径之比为(B)A.1： 2. 3B. 2, 3:1C.1: 2.3C. 2.3:1题型一证明比例线段(或等积式)例1 已知如图，在 ABC中，AB=AC , AD是中线，P是AD上一点，过 C作CF/BA，延长BP交AC于E，交CF于F. 求证：BP2=PE - PF 解析连结PCF解析：易证ACDCDB

6、，据性质厶ACD与厶/ AB=AC , AD是BC边上的中线CDB的内切圆直径之比等于 AC与CB之比，而,ACltan15(2. 3): 1 故选 B.CB3在 Rt ABC 中， AC=5 , BC=8，贝U解析CDA与/ C=90 , CD为斜边上的高, SA CDA=S CDB 等于S CDAS CDBCDB同咼，(B)AD/ ABC= / ACB , AD是BC的垂直平分线 / P 在 AD 上 PB=PC/ PBC= / PCB/ ABP= / ACP/ AB/CFABP= / F/ ACP= / F又/ CPE=Z FPCBD又 AC2AC2CB2S CDAS CDBAD AB,

7、B 2AD BBD BAC2CB2ADBD25644.如图，在 ABC中，ADBD BBDCB2,G为AD的中点,3解析:过 G 作 GN/AC , 交BC于点N.与BE交于点G,则 BG:GE=3:1/ AG=GD，二 DN=NC= CD2BD 2，设 BDCD 32k,则CD 3k, CPE FPC CP:FP=EP:CP CP2=PE - PF BP2=PE - PF点拨 观察图形可发现要证明的等积式中的四条线段在一条直线上，需要转化，因为AB=AC，所以等腰三角形三线合一，AD是中垂线，P在AD上故有 PC=PB，将PB用PC代换，故只要证 CP2=PE - DE 即可.题型二探求几何

8、结论例2 如图，梯形ABCD中，点E.F分别在AB.CD 上，EF/AD，假设EF作上下平行移动.(1 )若 AE 1 求证：3EF=BC+2AD ;EB 2弋(2 )若 AE 2 , EF 与 BC.ADfEB 37之间又有何关系？说明理由；BC(3)请你探究一般结论，即若 AE m,那么你可以EB nGN / AC DNNC从而 BG : NC 3k3k23k23k3:125.在 ABC中，AB AC,过 AC上一点 D,作直 线DE ,交其他边于E,所得的三角形与原三角形相 似，这样的直线可作 3 或 4 条 .解析：当 DE落在AB上时，满足 ED/BC或/ ADE= / B,使厶AD

9、E ABC ,此时有两条； 当 点E落在BC上时，要看BC与AC的关系而定， 若BC=AC，只能作一条；若 BC丰AC,也可以作AE1AE1戸c(1 ),又 EG/BHEB2EB3EGAE1BHAB3得到什么结论.解析 过点A作AH/CD交EF.BC分别于点 GH即 3EG=BH , EG+GF=EG+AD=EF ,112从而 EF= ( BC-HC ) +AD EF= BC+ AD333AEEBm AEn AB，又 EG/BHm nEG AE 即 egBH ABBHEG GF EG AD EF-(BC AD) AD m nEFBC课堂演练为顶点的三角形相似，则这样的P点共有BB.2D.4/

10、PAD与厶PBC相似,令 AP=x，贝U PB=7-xx-或-2732.如图, DBA ABC s的条件是ADBD即 3EF=2BC+3AD(2) EF 与 BC、AD 的关系式为 5EF=2BC+3AD , 理由和(1)类似。AD即(m n)EF mBC nAD为一般结论 点拨在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助 线之一；探求几何结论可从按特殊到一般的思路去 获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪 题型三解决综合问题例3 如图，在梯形 ABCD中，AD/BC , AC丄BD , 垂足为E，Z ABC=45。，过E作AD.BC的垂线交AD于F，交BC于G，过E作AD的平行线交 AB 于H.求证

11、 FG1.在直角梯形 ABCD 中，AB=7，AD=2，BC=3，如 果AB上的点P使得以P.A.D为顶点的三角形和P.B.C=AF DF+BG CG+AH BH解析 EF(C)A. 1C.3解析 故有两种情况 竺竺：竺更=AF FD，EGAD BC AD PBx2解得x= I4或1或6 故选C=BG CGFG= (EF+EG ) 2=EF2+2EF EG+EG2 =AF FD+BG CG+2FE EG / ABC=45 2 ( EF+EG) 2= (AH+BH 而 EF=AH sin45 =AhVEG=BH sin45 = BH22EF2=AH2，2EG2=BH 2 2EF EG=AH BH

12、 FG2=AF FD+BG CG+AH BH点拨 将几何图形作全面的剖析，找准线段之间的 关系，合理地进行等量代换，是解决此类题的关键数学门诊例 如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm，BC=6cm， 点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移 动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的 速度移动，如果点 P.Q同时出发，用t (s)表示移 动的时间(0wtw 6)，当t为何值时，以点 Q.A.P错解在矩形ABCD中当 QA AP 时，qap s ABC AB BC 空，解得t D是厶ABC 一边BC上的一点,(D)B、些BC1.21265当 t 1.2s时 QAP s ABC正解

13、在矩形ABCD中当QA 竺时，qap s ABC，则空 AB BC126解得t 1.2当 t 1.2s时， QAP s ABC当2A JAP时，QAPs ABC,则乞-2t BC AB126解得t 3当 t 3s时，QAP s ABC1相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知 识的重要组成部分，是工具知识同时它的内容渗透 了等价转化，从一般到特殊，分类讨论等重要的数 学思想与方法，在学习时应以它们为指导 2. “平行出相似”.“平行成比例”，故此章中平行 辅助线是常做的辅助线之一，遇难时常想此类辅助线C. AB 2=CD BC D.AB 2=BD BC解析 要使 ABC DBA，而/ B为公

14、共角，故3.在厶ABC中/ C=90 ,CD丄AB于D，若AC BD=2:3，则AD:BD=1:3.解析AC2ACBDBD3，3由射影定理AC2ADAB4-BD :2 2AD-AFBD99AD 29ADBD4BD 20即9AD29AD40BDBD解得:AD1BD3只需满足_AB BC即AB2 BD BC即可故选D BD AB4如图，梯形 ABCD的参角线交于点 0,有以下四个结论： 厶 AOB COD 厶 AOD AOB doc : aod=DC:ABDE CF EF BD课外练习BSAOD= SBOC,其中始终正确的有(3)个解析 / DC/AB , AOB COD正确；无依据 SDOC:

15、S AOD=OC:OA，又 AOBCOD , OC:OA=DC:AB - Sa doc : Sa aod = DC:AB 正确 ABD与厶ABC等底等高 Sa ABD = SA ABC SA ABD -SAABO = S ABC -SA ABO 即：SaaOD = Sa BOC正确，共 3个5如图，在 ABC 中，AB=24 , AC=18 , D 为 AC 上一点，AD=12，在AB上取一点 E,使A.D.E三点组成的三角形与 ABC相似，求AE.解析 要使 ADE与厶ABC相似，A它们有公共角A，则必须只须/ A.的两夹边对应成比例故有两种情况：，D(1) 过D点作DE/BC交AB于点E,

16、则厶 ADE ABCBC(2) 作/ ADE = / B,则 AE DABC竺理即空竺AB AC 2418AE 9故满足条件的 AE=16或9 6如图，在厶ABC中，AB=AC , D.E分别为 AB.BC上的点，连结DE并延长交AC的延长线于F.求证:DE CF=EF BD解析 过D作DG/AC交BC于G/ BGD= / ACB又 AB=AC，/ B= / ACB/ B= / BGD , BD=DG 在厶DEG和厶FEC中， / DEG= / FEC DEG FEC 2B 竺,DECFEF CFF于F,已知AD=2 ,BC=4，贝U EF为(C)A.3B.6AAkDe8D.-E.O F38/

17、0解析/ EO/BC7BC EOA0，又 OF/BCBCAC OFD0 而 AD/BC , . AO DO EO=OFBCDBAC DB易证得OE OF OB ODAD BCDB 11 22ADBC2 2 48EFADBC EFAD BC2 43故选C2已知CF是厶ABC的边AB上的高,FP 丄 BC，垂足为F, FQ丄AC ,垂足为Q,则下列关系正确的是(A)A. / CQP= / BB. / CQP= / AC.Z CPQ= / AD. / PFB= / A解析据射影定理知:CF2=CP - CB ,2CF2=CQ - CA CP CB=CQ -CA即CPCQ 且/ QCP= / BCAC

18、ACB一 选择题1如图，梯形 ABCD中，AD/BC，对角线 AC.BD 相交于0,过点0作EF/AD，交AB于E,交CD CPQCABCQP= / B故选A3如图，平行四边形 ABCD中，点G是BC延长线 上一点，AG与BD交于点E,与DC交于点F,则 图中相似三角形共有(D)A.3对B.4对C.5对D.6对解析据相似三角形的判定知 AED GEB , DFEBAEb ABD CDB , ADF GCF GCFsA gab , GAB AFD 故选D4一个三角架的三边长分别为 20cm.50cm.60cm ,现 在要做一个与其相似的三角架，而只有长30cm.50cm的两根木条，要求以其中一根

19、为其中一 边，在另一根上截两段(允许有余料)作为另外两 边，则不同截法有(B)A.1种 B.2种 C.3种 D.4种解析 (1 )当50cm长的木条作为其中一边时，它 不能作为最短边和次短边，当作为最长的边时，根据两个三角形相似，设另两边之和为xcm，则 CAB , DE CD DE ABJD15AB AC，AC 488.两个相似三角形的一对对应边的长分别为 35cm.14cm，它们的面积相差 588cm2，则这两个三 角形面积分别为 112cm2.700cm2.解析设小的三角形的面积为 xcm2,则大的三角形的面积为(x+588) cm2,依题意得x 588(-)2 ,145050 x ，此

20、时x30,不合题意.6060 20 50(2)当30cm长的木条作为其中一边时若作为最长的边，设另两边之和为xcm，则由三解得 x=112 cm2, x+588=700cm2.三.解答题9.如图，已知一 ABCD , 01, O2, O3 上三点，且 BO 1=。1。2=。2。3= O3D ,为对角线BD 连结角形相似有3020 xx=35 50，合.50205060若作为次长的边，同样有30503020x?5060延长交BC于E,连结EO3,并延长交ADAD:FD.解析 I 一 ABCD , DF/BE , AAO1,于F,x=48cm v 50cm，合.若作为最短边，有30203020x5

21、060/ x=165cmv 50cm，不合.故选B二填空题5.已知abcz0,并且那么直线y=px+p 一定通过二.三象限.解析 由题意知 a+b=cp, b+c=ap, a+c=bp,三式相 加得 2 (a+b+c) =p(a+b+b). 当a+b+c=0时，p=-1，图象过二.三.四象限. 当a+b+c丰0时，p=2，图象过一.二.三象限. 综上所述，图象要过二.三象限.DFDO 31BEBEO3B3,BEBO!-,BE3ADO, DDFDFDFBE1AD3， 1AD3DF1AD9i.如图:已知ABC ,10 DCE ,丄AD ,31E ,/ ADBFCEO2OFEG是三个全等 的等腰三角

22、形，底边 BC. CE.EG在同一条直线上，6.如图，在四边形 ABCD中，点E是AB上一点,EC/AD , DE/BC ,S CDE= _3.解析由EC/AD , 故厶 BCE EDA ,且 AB= , 3 , BC=1.连结 BF，分别交 AC.DC.DE 于 BC:DE=1:、.3，而 CDE与厶BCE 的面积比等于底之比 BC : DE，故 Sbce= . 3 .7.在 ABC , AB=3 , AC=4 , BC=5 ,现将它折叠，使点折痕长是I5.8B与点C重合，则BAECP.Q.R.(1)求证： BFGFEG,并求BF的长；(2 )观察图形，请你提出一个与点 P有关的结论， 并证

23、明你的结论.解析(1) GF AB , 3, GE 1, GB 3BC 3GE 12-3GF 33GE FGFG GB又 BFGs FEG解析 易知 BAC为RtA，且/ A=90，折痕线DE是线段BC的垂直平分线，故 Rt CDE s故RtBF EF ,1BG GFBF BG 3(3)结论：BC2= CP - CA又BCPACB ,BCP sACBBCPCCP ACBC2ACBC 11.如图,/ BAC=90 ,AD 丄 BC ,DE丄AB, DF丄AC,垂足分别为D.E.F,求证：AB 3CF = AC 3 -BE.证明：由(1)可得： PBC FEG A解析/ BAC = 90 , AD

24、 丄 BC,DC而此时正方形边长为1511BD BD2 = BE AB 即 BE =AB4设 DE = X，贝U AE = X3/ AE+EF+FB = 5,且 DE = EF= X44X+X+ X = 533(2)当正方形的两个顶点在 AC上时，(如图) / C = 90必有一个顶点和 C点重合D在AC上，E在AB上，F在BC上设正方形的边长为 X则 CF= EF= X, BF = 3-X/ EF/AC,BEFBACCD CD2 = CF AC，即 CF=AC由十得：BE BD2 AC BD 2 AC()CF AB CD CD ABEFBFACBCx3 x12 X =437/ AB2 BC

25、BD 即BDABBCAC2 CD BC 即CDACBC2BD AB -CD AC将代入得 AB3 BF = AC3 BE12.已知： ABC 中，/ C= 90 , AC = 4, BC = 3, 正方形的四个顶点分别在 ABC的三条边上，求正 方形的边长解析(1)当正方形的两个顶点落在斜边 AB上 时，(如图)，在 ABC 中，T AC = 4, BC = 3,此时正方形的边长为!.7(3)当正方形的两个顶点在 BC上时，情况同(2),E12DE AEBC ACC AB = 5/ AED = Z C= 90/ DAE =Z BAC ADE ABCDEBCAE AC 4B.40 D.100 O

26、C )C为圆内接四边形，ADABCD16.2直线与圆的位置关系与圆锥曲线的性质知识要点1. 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.2. 圆心角定理：圆心角的度效等于 它所对弧的度数，推论1与推论2.3. 弦切角定理：弦切角等于 它所夹的弧所对的 圆 周角.4圆内接四边形的性质定理1:圆内接四边形的对角互补.定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.5圆内接四边形的判定定理：若一个四边形的 对角互补，则这个四边形 的四个顶点共圆.推论：若四边形的一个外角等于它的内角的对丄，则这个四边形的四个顶点共圆.6切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点 的半径.推论1:经过圆心且

27、垂直于切线的直线必经过_切占八、-推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过_圆心.7切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直建是圆的切线.8与圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成也两条线段长的积相等. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是 这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切至的夹角推而广之：从球外一点向球引的两条切线长 相等，球心和这一点的连线平分两条切线的夹角9. 平行射影

28、正射影：给定一个平面X ,从一点A作平面a的 垂线，垂足为点 A /,称点 A /为点 A 在平面上的 正射影，一个图形上各点在平面a上的正射影 所组成的图形，称为这个图形在平面a上的正射影.平行射影：设直线与平面a相交（如图）称直线I的方向为投影方向，A过点A作平行于I的直线（称 为投影线）必交a于一点 A /,称 点A/为A沿的方向.在平面a上的 平行射影，一个图形上各点 a上的 平行射影 所组成的图形，叫做这个图形的 平行射10. 平面与圆柱.圆锥面的截线 定理1:圆柱形物体的斜截口是椭圆.定理2:在空间中，取直线I为轴，直线I /与I相 交于0点，夹角为a, I /围绕I旋转得到以0为

29、 顶点，I/为母线的圆锥面，任取平面 ，若它与轴I的交角为（当与I平行时，记 =0）,则(1)a，平面与圆锥的交线为椭圆；(2)=a，平面与圆锥的交线为抛物线；(3)Va,平面与圆锥的交线为双曲线.课前热身1. 如图，四边形ABCD为O 0的内接四边形，/ CBA =140,则/ AOC 等于（A. 20C.80解析 I：/ CBA = 140又 A.B.C.D四点共圆，/ CDA = 40 / AOC = 802. 如图，已知四边形 为圆的直径，直线 MN切圆于B, DC的延长线交解析连结BD/ MN 为O 0 的切线，/ ABM =Z ADB/ cos/ ABM =, / ABM = 30

30、,2 / ADB = 30/ AB 是O O 的直径，/ ABD = 90,/ A = 90/ ADB = 60四边形ABCD为圆内接四边形，/ BCG = / A tan/ BCG = tanA = tan60= . 3 3如图，AD为厶ABC的角平分线，O O过点A , 且和BC切于点D，和AB.AC分别交于点 E.F,若BD = AE , BE = 3, CF = 2，贝U AF 的长为（C）2、5A. -222,5B. -3C. 1、5D3 3 .5D.-2解析连结DE.DF/ BC 切O O 于 D / BDE = / BAD =/ EFD又 AD平分/ BAC / BAD =/ C

31、AD，又T/ FED = / CAD / BDE = / FED EF/BC又 BD是O O切线 BD题型一切线的判定和性质的运用例1 如图，已知：AB是O O的直径，DE切O O 于C,并且 AD丄DE , BE丄DE求证：(1) CD = CE;(2)以C为圆心，以CD为半径的O C和AB 相切.解析(1)连结OC/ DE 切O O 于 C, OC 丄 OEt AD 丄 DE , BE 丄 DE AD/CO/BETO为AB中点 CD = CE(2 )过C作CF丄AB，垂足为F，过A作AG丄 OC,垂足为Gt AD 丄 DE , OCX DE, AG 丄 OC四边形AGCD是矩形 AG =

32、CDt OA = OC， / OGA =/ OFC = 90 又/ AOG =/ COF,.A AOG COF AG = CF,. CF= CD又CF丄AB于F,.O C与AB相切点拨切线的判定须满足两个条件：(1)过半径 的外端，(2 )与半径垂直而切线的性质用得最多的 是半径与切线的垂直关系，应认真领悟.题型二运用比例线段证明线段相等例2如图，已知AB是O O的直径，C为O O上 一点，CD丄AB于D，以C为圆心，CD为半径作 = BD BA，又 AE = BD解得 AE = BD = O C交O O于E.F，连结EF交CD于M，求证：CM =MD解析双向延长 CD分别交O O. OC 于

33、 Q.P,上仝，又 T EF/BC2AE AFBE CF AF = 1-54. 如图，O O 的弦 AB 丄 CD 于 E, EB = 3, EA = 4,EC = 2，则O O的直径长为65解析作OF丄AB于F,OG丄CD于G,连结OAt CE DE = AE BE DE =1 437 OF= GE - 82 AF3-2 2 2在 Rt AOF 中,OA = . AF2 OF2.65直径为.655. 已知AD.BE.CF分别是 ABC三边的高，H是垂 心，AD的延长线交 ABC的外接圆于 G,贝U DH 与HG的关系为A1DH HG2解析连结BG ,/ CBG = / GAC而/ CBE =

34、/ GAC / CBG =/ EBC，又 HG 丄 BD HBG为等腰三角形1 D为HG的中点即DH HG2典例精析t AB是O 0的直径，CD 丄 AB ,|e弋 - CD = DQt CD = PC,. PC= DQ A根据相交弦定理得：CM MQ = EM MF = MD mPqI CM ( MD+DQ )= MD ( MC+PC ) CM MD+CM DQ = MD MC+MD PC CM DQ = MD PC又 DQ = PC点拨本题利用相交弦定理得到等积式，然后通 过等量代换，最后证明了线段相等，这为我们提供 了证明线段相等的又一方法.题型三探求几何结论例3 如图，AB.CD是两个

35、等圆的直径， AB/CD， AD.BC与两圆相切，作两圆的公切线 EF,切点分 别为F1.F2，交BA.DC的延长线于 E.F，交AD于G ,交BC于G2,设EF与BC.CD的交角分别为a(1) G2F1+G2F2与AD有何关系？(2) AD的长与G1G2的长有什么关系?(3) G2F1与G2E有什么关系？解析由切线长定理有G2Fl= G2B , G2F2= G2C,- G2F1+G2F2= G2B+ G2C= BC = AD又T G1G2= G1 F2+ F2G2,由切线长定理知G1F2= G1D , F2G2= G2C, -G1G2 = G1D+ G 2C 连结F1O1, F2O2，易证

36、EF101BA FF2O2 EO1 = F02又 O1A = 02C EA = FC可证得 FCG2BA EAG1- G1A = G2C G1G2 = G1D+ G1A = AD 在 Rt G2EB 中G2BG2Fg2eg2e- G2F1= G2ECOS a又Ta =90 - G2F1= G2ECOS a= G2Esin故有以下结论：(1) G2F1+ G2F2=AD ；0BF1CGO(2) G1G2= AD ;(3)空L = cosa= sinG2E点拨理清关系，找出线段与线段，线段与角的 关系，以上三个结论亦是椭圆，双曲线，抛物线几 何性质的理论依据，应仔细体会 数学门诊例O 01和o 0

37、2内切于点A ,0 01的半径为3, o 02的半径为2,点部是O 01上的径一点(与点 A 不重合)，直线PA交O 02于点C, PB与O 02相切PB于点B，求一一的值PC错解连结 0.P, 02C，由题意知, 点共线，02C= O2A ,/ A = Z ACO2, 01A = 01P/ A = Z AP1, / ACO 2=Z APO1,/A为公共角 PO1ACO2A ,01.02, APA OP02CCA又t pb2= pc PBAC ,PC错因分析上述解法中，错在运用切割线定理时， 出现了问题，即 PB2= PC AC.正解连结O1P, 02C，由题意知，01.02, A三 点共线，

38、02C= O2A , / A = Z ACO 2, O1A = O1P / A = Z APO1, / ACO 2=Z APO 1,/ A 为公共角. PO1ACO2A , PA= CA = 01P= 02C= 3: 2又 PB2= PC PA,. 一一 =、. 3PC总结提高1. 直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系 本章在初中平几的基础上加以深化，使平几知识趋 于完善，同时为解几，立几提供了多个理论依据；课堂演练2. 圆中的角如圆周角，圆心角，弦切角及其性质为 证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合 问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有 较透彻的理解.1如图，O A中，B.

39、C.D是O A 上的三点，/ DAC=mZ CAB (m0) 则/ DBC : Z BDC =( A) A.mB.2mmC.D.4m2 ABE为直角三角形 AC 丄 BD AE = 4, BE = 3, CE= 3 DE = 41-Saabo =7 4 142Sabcd = 1 7 310.52DBCDACmBDCCAB2.已知点P是半径为2的O 0外一点，PA是O 0的解析vZ DAC = 2Z DBC , Z CAB = 2Z BDC切线，切点为A，且PA = 2,在O O内作出长为2 . 2的弦AB，连结PB,贝U PB的长为(D)A.2C.2 或 2、2B. 2 . 5D.2 或 2

40、、5解析考虑符合条件的弦PBAB有两种不同的位置且两种不同位置关系下的线段PB也不同，易解出PB = 2 或 PB = 2 一5 .3.如图，点P是O O的直径BA延长线上一点，PC 与O O相切于点C, CD丄AB ,垂足为D ,连结AC , BC , 0C,那么下列结论PC2= PA -PB,PC -OC =OP - CD， 0A2 = OD - OP, OA ( CP CD) =AP - CD其中正确的结论的序号 - S 四边形 ABCD = 24.55.如图，在等腰三角形 ABC中，AB = AC , D是 AC的中点，DE平分Z ADB交AB于E,过A.D.E 的圆交 BD于N，求证

41、：BN = 2AE.解析连结EN四边形AEND是圆内接四边形A Z BNE =Z A又vZ ABD =Z ABD BNE BAD BN ABEN ADv AB = AC , AC = 2AD AB = 2ADDBC BN =2EN又vZ ADE =Z NDE解析(1)由切割线定性;(2) 推射影定理；(3) 相似三角形对应边成比 例及等量代换；OC OP(4)A OCDOCP，可得，再由 0PCD CP AE EN , AE = EN BN = 2AE6.四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC = AB.证明：如图，在 AB上取点M,使MB = BC,

42、连结OD.OC.MD 和 MC.11vZ CMB = (180 Z B) = - Z CDA =Z CDO22v C.D.M.O四点共圆=OA+AP，代换后整理即得4.如图，已知四边形 ABCD是O O的内接四边形， 且 AB = CD = 5, AC = 7, BE = 3，则四边形 ABCD Z AMD =Z OCD = - Z DCB = - (180 -Z A)2 2的面积为24.5.解析vZ ABD =Z ACDZ AED =Z CEDAB = CD AEB DEC BE = CE/ BE = 3, CE = 3/ AC = 7,. AE = 4OCD Z AMD =Z ADM ,

43、AM = AD AB = AM+MB = AD+BCB在厶 ABE 中，AB = 5, AE = 4, BE = 3,3.如图，AB.AC与O O相切于点B.C ,/ A = 50,点P是圆上异于点B.C的一动点，则或50(1)当点P在优弧上运动时，/BPC = 65A.(0,60 )13B.(12,00)60、60、 /C.(0,)D.(0,)U (12,1313公共点，贝U r的范围为( )石，要使0 C与AB无交点，则rE OM =-,2DM=2中，./ AOP = 60 又/ DOA = 60 COD = 60 在 Rt DOM在 Rt PDM中,PD = DM2 DM23 2 v 5

44、 2(2)2 (J 7课外练习一 选择题1在 ABC中，/ A = 70,O O截厶ABC的三边 所得的弦长相等，则/ BOC的度数为(D)A.140 B.135 C. 130 D.125 解析过O点分别向三边作垂线，由于截三边所得弦长相等，故弦心距相等，故BO.CO分别为/ABC. / ACB的平分线.A，/ A = 70,/ ABC+ / ACB = 110O ./ OBC+ / OCB = 55 ,/ BOC = 125 B-2.等腰A ABC内接于半径为10cm的圆内，其底边BC的长为16cm，则Sabc为(D )A.32cm 2B.128 cm2C.32 cm2或 8 cm2D.32

45、 cm2或 128 cm22解析当厶ABC为锐角三角形时， Saab 128 cm, 当厶ABC为钝角三角形时，BC边上的高为4cm,故1 2SA ABC - X 16 X 4 = 32cm,也可用正弦定理解决2/ BPC=()A.65 B.115 C.65 或 115D.130解析连结OB.OC ,/ AB.AC为切线 OB 丄 AB , OC 丄 AC ,/ BOC = 130 (2)当点P在劣弧上运动时，/ BPC = 115 4在 Rt ABC 中，/ C = 90, AC = 5, BC = 12, 以C为圆心，r为半径作圆，若O C与线段AB无解析作CDL AB ,据三角形面积相等，易求出CD AC BCAB二.填