线性代数复习题

1、复习题、填空题1.设A为3阶方阵，B为2阶方阵，A为A的伴随矩阵，|A| =2, |B| =-,4cA*0 1，则C02 B2 -设头矩阵 A (aij ) 3 3 , Aij 为 aij 的代数余子式，且 aij - Aij ( i ,j = 1,2,3) , 3.11 - 0 , 则 A | .3.设向量组2,3线性无关,向量组I - 2- 1，m 3 - 2- 3线性相关， 则常数l, m满足的条件是.4. 设A为4阶方阵，且R(A) =2, A*为A的伴随矩阵，则齐次线性方程组A * x = 0的基础解系所含解向量的个数为 .5. 二次型 f (x1, x2, x3) =3x； 2x；

2、 - tx； - 4玄2 - 2x1x3 - 2x2x3 正定，则 t 的取值 范围是.6. 二次型 f (xx2, x3)- x； -2xf -4x1x2 2x_jX3 2x2x3的规范形为12-n7.设 A =035，则3Aj24_1_8.已知向量组1,23线性无关，若12 *3,1, *3也线性无关，则9 .设B为3阶非零矩阵，满足AB = 0，若R( A)=2，则秩R(B)=1 010.已知矩阵A* = 1231-211，且 A 1 * 22*3的过渡矩阵.5.设A是n阶正定矩阵，1,2,n为n维非零列向量，满足:i A j =0， (i = j, i, j =1,2/ ,n)，试证

3、m,Fn线性无关.a 1a 2 x a 2a3 a 3 x1 2 -17.已知 A=36-3 , (1) 求 R( A) ; (2)求 An.亠-42&求向量组:-i =(1,2, -1,1)T , :- 2 =(0, -4,5, -2)丁 , :- 3=(2,0,t,0)T：4 =(3, -2,t 4, -1)T的秩和一个极大无关组.-2 020，求矩阵B .0 19.设矩阵A, B为3阶矩阵，且满足2A-1B二B- E ,其中E为3阶单位矩阵,1（1）证明A - 2 E可逆；（2）已知A= 101 0 010 .设A为3阶方阵，P为3阶可逆方阵，且 P-1 AP = 0 2 0，若0 0

4、2 一P =（： 1, ： 2,： 3），Q = （1, 123），求 Q AQ .11.设3阶矩阵1,2均为3维行向量，且A =18， B=2，求Pl2鸡，B =iA =12.设线性方程组x1 3x2 2x3 x4 =1 X2 +ax3 - ax4 = -1“ + 2X2 + 3X4 = 3问a为何值时方程组有解？并在有解时，求方程组的通解-113.设矩阵A= 10 00 1满足AB = A-2B，求矩阵B .2 214.对于n阶方阵A，如果存在整数k使Ak =0，则称A为幕零矩阵.设A=0, 试证A不能相似对角化15.设有两组基冷=(0,1,1 卩,2 =(1,0,1 卩芒3 =(1,1,

5、0卩；n 1 =(1,0,02 =(1,1,0 讥3 = 1,1,1 -，求由基1, 2, 3到1, 2, 3的过渡矩阵，并求 二13 25 3在基12, 3下的坐标.四、+ x2 + x3 + 2x4 = 0,1、 已知非齐次线性方程组 X2+3X3+X4, 如果 J(1 -1 1 -1)是方程严 + ax2 + cx3 + x4 = 0.组的一个解，试求方程组的通解.2、设向量组：1 = (-2,1,5)丁，: 2 =(a,2,10)T ： 3 二(-1,1,4)丁1 =(1,b,c)T .试问：当a,b,c满足什么条件时，(1) :可有：1, ：2-3线性表示，且表示式惟一；(2) ：不

6、能由1,2,3线性表示；(3) 可由：m3线性表示，但表示式不惟一？并求出一般的表示.3、设向量组% =(1,1,1,3卩,叫=(-1厂3,5,1 卩,叫=(3,2,7, p + 2卩,：4 =I2,-6,10,p二 4,1,14,10 一，(1) P为何值时，12,3,4线性无关？并在此时将向量- 用123,4线 性表示;(2) p为何值时，：r,2, 3, 4线性相关？并在此时求它的秩和一个极大无关组五、1、 设二次型 f (Xixx) = ax； 2x； -2x2 2bXjX3, b0,其中二次型的矩阵 A 的 特征值之和为1,特征值之积为-12.(1) 求a,b的值；(2) 求一个正交变换 x = Py把二次型f化为标准形.2、 已知实二次型f(Xi，X2，X3tXi2 x； -4XiX2-4x2X3的矩阵A有一个特征值为1. (1)求t; (2)用正交变换将实二次型化为标准形，并求所用的正交变换.2 2 23、 已知实二次型 f 捲丛 X A5X1 5x2 3x3 -2tX1X2