第六节定积分的几何应用.

1、第六节 定积分的几何应用内容分布图示面积表为定积分的步骤定积分的微元法直角坐标情形例1 例 2例3例4参数方程情形例5极坐标情形 例 6例7例8 圆锥圆柱旋转体旋转体的体积例9例 10 例11例12例 13平行截面面积为已知的立体的体积 例14例15内容小结 课堂练习习题 5-6 返回内容要点：一、 微元法 定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表 示为定积分的形式 .可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量 U (总量 )表示为定积分的方法 微 元法 ，这个方法的主要步骤如下：(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x 为积分变量，并确定

2、它的变化区间a,b，任取a,b的一个区间微元x,x dx，求出相应于这个区间微元上部分量 U的近似值，即求出所求总量U的微元dU f (x)dx ；(2) 由微元写出积分 根据 dUf(x)dx 写出表示总量 U 的定积分微元法在几何学、物理学、经济学、节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：bbdU f (x)dxaa社会学等应用领域中具有广泛的应用， 本节和下一(1)所求总量U关于区间a,b应具有可加性，即如果把区间a,b分成许多部分区间,则 U 相应地分成许多部分量 , 而 U 等于所有部分量 身所决定的 ;U 之和 . 这一要求是由定积分概念本

3、(2) 使 用 微 元 法 的 关 键 是 正 确 给 出 部 分 量U 的近似表达式 f(x)dx ， 即使得f(x)dx dUU . 在通常情况下， 要检验 Uf (x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意 dU f(x)dx 的合理性 .:、平面图形的面积(1) 直角坐标系下平面图形的面积(2) 极坐标系下平面图形的面积1 2曲边扇形的面积微元dA r( )2d1 2所求曲边扇形的面积 A ( )2d2旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体这条直线称为旋转轴.旋转体的体积微元dV f(x)2dx,b2所求旋转体的体积V f (x)2dx

4、.a四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算体积微元 dV A(x)dx,b所求立体的体积 V A(x)dx.a例题选讲：直角坐标系下平面图形的面积例1 (讲义例1)求由y2 x和y x2所围成的图形的面积2例2 (讲义例2)求由抛物线y 1 x与直线y 1 x所围成的面积例3 (讲义例3)求由y2 2x和y x 4所围成的图形的面积例4计算由曲线y x3 6x和y x2所围成的图形的面积2 2例5 (讲义例4)求椭圆笃 笃 1所围成的面积a b例6 (讲义例5)求双纽线 2 a2 cos2所

5、围平面图形的面积.例7 (讲义例6)求心形线r a(1 cos )所围平面图形的面积(a 0).2 2 22例8求出务芯1和二 1的图形的公共部分的面积(其中 a b 0).a2 b2b2 a2例9 (讲义例7)连接坐标原点 0及点P(h, r)的直线、直线x h及x轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r,高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积2例10 （讲义例8）计算由椭圆笃a2体的体积.例11求星行线x2/3 y2/32/3a （a 0）绕x轴旋构成旋转体的体积例12计算由连续曲线X（y）、直线y c、y d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体的体积例13 （讲义例9）求由曲线y x2y 2 x2所围成的图形分别绕 x轴和y轴旋转而2与1围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转椭球b2成的旋转体的体积例14 （讲义例10）一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-6-18）,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.例15求以半径为R的圆为底、平行且等于的圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.极坐标系下平面图形的面积课堂练习331求正弦曲线y sinxx 0三和直