线性规划常见题型大全

1、绝密启用前2014-2015学年度 ? 学校 8 月月考卷试卷副标题考试范围： xxx ；考试时间：100 分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）x01 已知实数x，y 满足y0，则 z4x y 的最大值为 ()xy2A、10B、8C、2D、0【答案】 B【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2 ，0) 点时， z 4x y 取得最大值为8精品文库y20Ax2考点：线性规划 .xy02 若不等式组2xy2a

2、的取值范围是，表示的平面区域是一个三角形区域，则y 0x y a（）A. a4C. 1 a44B. 0 a 13D. 0 a 1或 a33【答案】 Dxy02xy2【解析】 根据画出平面区域 （如图 1 所示），由于直线 xya 斜率为1，y0纵截距为 a ，xy0自直线 x y a 经过原点起，向上平移，当0 a12xy2时，y表示的平面区域0xyaxy0是一个三角形区域（如图2 所示）；当 14时，2xy2ay表示的平面区域是一30xyaxy0个四边形区域（如图 3所示），当 a42xy2时，y表示的平面区域是一个三角形30xya区域（如图1 所示），故选 D.欢迎下载2精品文库图 1图

3、2图 3考点：平面区域与简单线性规划.xy203 已知变量 x,y 满足约束条件x1则 y 的取值范围是 ()xy7x0A9 6B (96)C (36)D (3,655【答案】 A【解析】试题分析：画出可行域，y, 可知可可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率x行域的边界交点为临界点（22），（ 1,6）则可知x 56.5, 9k y 的范围是9考点：线性规划，斜率.4 （5 分）（2011 ?广东）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给定若M（x， y）为 D 上的动点，点A 的坐标为，则 z=?的最大值为（）欢迎下载3精品文库A.3B.4C.3D.4【答案】 B【解析】试题分析

4、：首先做出可行域，将z= ?的坐标代入变为z=，即 y= x+z，此方程表示斜率是的直线，当直线与可行域有公共点且在y 轴上截距最大时， z 有最大值解：首先做出可行域，如图所示：z= ?=，即 y= x+z做出 l0 ：y= x，将此直线平行移动，当直线y= x+z 经过点 B 时，直线在 y 轴上截距最大时， z 有最大值因为 B（，2），所以 z 的最大值为 4故选 B点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示，考查数形结合思想解题xy2 05 已知不等式组x2 0表示的平面区域的面积等于3 ，则 a 的值为（）axy2 0A1（B） 52C（D） 122欢迎下载4精品文库【答案】 D【解析

5、】试题分析：由题意，要使不等式组表示平面区域存在，需要a1，不等式组表示的区域如下图中的阴影部分，面积 S1(2a 2) 2 3 ，解得 a12，故选 D.2考点： 1.线性规划求参数的取值.6 设 x， y 满足约束条件，若 z=的最小值为，则 a 的值为（）A 1B 2C 3D 4【答案】 A【解析】=1+而表示点 (x， y)与点 ( 1， 1) 连线的斜率欢迎下载5精品文库由图知 a0 ，否则无可行域，且点( 1 ， 1) 与点 (3a ， 0) 的连线斜率最小，即=a=17 已知实数( x3)2( y 2)21y的最小值为（）x ， y 满足条件y 10，则 zx 2xA32B22C

6、 3D 443【答案】 C【解析】试题分析：如下图可行区域为上图中的靠近x 轴一侧的半圆， 目标函数 zyy0 ，所表示在可行x 2x2区域取一点到点（2,0 ）连线的斜率的最小值，可知过点（2,0 ）作半圆的切线，切线的斜率 zy的最小值，设切线方程为y=k （ x-2 ），则 A到切线的距离为1，故x2k2k31k 2.14欢迎下载6精品文库考点： 1.线性规划；2.直线与圆的位置关系 .8 若在区间 0， 2中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于1的概率是 ()2（A） 9（B） 3（C） 15（D） 151641632【答案】 C【解析】试题分析：设这两个数为：x, y ，则0x2

7、.若两数中较大的数大于1 ，则还应满0y22x1112 ），作出以上不等式组表示的区域，由几何概型（只需排除足： x或 y22y12115的概率公式得p 144.选 C.16考点： 1、几何概型；2 、不等式组表示的区域.欢迎下载7精品文库第 II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）xy39 若实数 x ， y 满足线性约束条件1y，则 z2x y 的最大值为 _x2 x2【答案】 5 .【解析】x y3试题分析：作出不等式组1y表示的平面区域，即可行域，则可知直线x2 x2xy 3 0 与直线 y1 x 的交点 M (2,1) ，作直线 l ： 2x

8、 y0 ，平移直线 l ，可知2当 x2 ， y 1 时， zmax 2 215.考点：线性规划.2x3y110,10 已知变量x, y 满足约束条件x4 y80,若目标函数zxay a0 的最xy20,大值为 1，则 a.【答案】 3【解析】试题分析：约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（ 4,1 ）点是取得最大值，所以 14a 1，所以 a3 .欢迎下载8精品文库考点：线性规划.xy2011 设z=kx+y ，其中实数x， y 满足x2 y40 若 z 的最大值为12 ，则实数2xy40k=【答案】 2【解析】作出可行域 (如图 )，其中 A(4 ， 4) ，B(0 ， 2) ，C(

9、2 ， 0)过原点作出直线 kx+y=0k=0 时， y=0 ，目标函数 z=y 在点 A 处取得最大值4，与题意不符 011k 0时，直线 kx+y=0 即 y= kx 经过一、 三象限， 平移直线 y=k即22 kx 可知，目标函数z=kx+y在点 A 处取得最大值，即，此时 k=2与1k 0 不符 ;2 k 1 即 k 1 时，直线 kx+y=0 即 y= kx 经过一、三象限，平移直线y= kx 可22知，目标函数z=kx+y 在点 B 处取得最大值，即zmax 0 2 2，此式不成立欢迎下载9精品文库 k0 时，直线kx+y=0 即 y= kx 经过二、四象限，平移直线y= kx 可

10、知，目标函数z=kx+y 在点 A 处取得最大值，即 zmax4k412 ，此时 k=2 与 k0 相符，所以 k=20x312 点 M ( x, y) 是不等式组y3表示的平面区域内的一动点，且不等式x3y2xym0 总成立，则m 的取值范围是 _.【答案】 m3【解析】试题分析： 将不等式化为 my2x ，只需求出 y2x 的最大值即可， 令 zy2x ，0x3就是满足不等式y3的最大值， 由简单的线性规划问题解法， 可知在0,3处 zx3 y取最大值 3 ，则 m 取值范围是 m3.考点：简单的线性规划和转化思想.yx13 设变量x，y 满足: x3y 4, z | x 3y |的最大值

11、为 .则x2【答案】 8【解析】试题分析：这是如图可行域，目标函数zx 3 y2,x 3y 0的距离的2倍，很显然表示可行域内的点到直线2欢迎下载10精品文库点 A到直线的距离最大，点 A2，2 ,将其代入点到直线的距离公式得到zmax23222 8考点： 1.线性规划； 2.点到直线的距离公式.xy60，14 已知实数 x，y 满足x y03a 9，最小值为 3a， 若 zax y 的最大值为x3，3 ，则实数a 的取值范围为 _【答案】 1， 1【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，则 z 在点 A 处取得最大值， 在点 C 处取得最小值 又 kBC 1 ，kAB 1，1 a1 ，即 1a

12、 1.xy,15 设实数 x, y 满足y102x, 向量 a( 2 xy, m) ， b(1,1) 若 a / b ，则实数x1,m 的最大值为【答案】 6 ；【解析】试题分析： 因为 a / /b ，所以 2xym0my2x ,故根据线性规划的知识画出可行域如图 ,则目标函数在点（1， 8 ）处取得最大值6.考点：向量平行线性规划欢迎下载11精品文库3xy0OA OP16 已知点 A(3, 3) ， 为坐标原点， 点P( x, y)满足x 3 y20,则OZy0|OA|的最大值是【答案】3【解析】试题分析：作出 可 行 域 如 图 ， 则 OA OP |OP | cos AOP , |OA

13、 |又AOP是 OA,OP的夹角, 目标函数 ZOA OP表示 OP在OA上的投影，|OA|过 P作OA的垂线 PH ，垂足为H，当 P 在 可 行 域 内 移 动 到 直 线 3xy0 和 直 线 x3y 2 0的 交 点 B(1，3)时 ，OP 在 OA 上的投影 OH最大，此 时 |OP | |OB |2，AOPAOB，6欢迎下载12精品文库OA OP 的 最 大 值 为 | OB | cos AOB2cos3,故答案为3Z|OA|6考点：简单线性规划的应用，平面向量的数量积，平面向量的投影.17 若实数 x 、 y 满足 x2y22 xy ,则 xy 的最大值是 _.【答案】 4【解析

14、】试题分析：将x2y22 x y变形为 (x1)2( y 1)22 ，表示圆心为(1,1)，半径为 2 的圆。令 zxy ，即 xy z0。由图像分析可知圆心到直线 xyz 01 1z2zz 4 ，所以 xy 的最大值是 4。距离 d122，解得 0122考点： 1 线性规划、数形结合思想；2 点到线的距离；x4 y3 018 已知 O 为坐标原点， A(2 ，1) ， P( x ， y) 满足3x5 y25 ，则 OPcosAOPx10的最大值等于.【答案】 1255【解析】OP OA2x yy ,如图：做出可行域试题分析： OP cos AOP，设 z 2xOA5欢迎下载13精品文库当目标

15、函数平移到C 点取得最大值，x 4 y 3 0解得x5,C 5，2,代入目标3x 5 y 25 0y2函数 zmax 2 52 12， OPcosAOP 的最大值为 125 .5考点： 1.向量的数量积的坐标表示；2.线性规划 .yx，x2 y4，19 已知实数x， y 满足y 2，222,( r 0)( x 1)( y 1) r则 r 的最小值为 _【答案】2yx，【解析】作出约束条件x2 y4，表示的可行域，如图中的三角形，y 2，三角形内 (包括边 )到圆心的最短距离即为r 的值，所以 r 的最小值为圆心到直线y x 的欢迎下载14精品文库距离，所以 r 的最小值为2 .0x120 已知

16、 P(x，y)满足x则点 Q( x y， y)构成的图形的面积为 _0y 2【答案】 20uv1【解析】令x y u， y v，则点 Q(u， v)满足，在 uOv 平面内画出点0u2Q(u，v)所构成的平面区域如图，易得其面积为2.xy 3，21 已知实数x ， y 满足约束条件y 3，则 z5x2y2 的最大值为【答案】x 3，12【解析】试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形ABC ,( A(0,3), B(3,0), C(3,3) 及其内部 ,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中 x2y2可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求 x

17、2y2 的最小值，即坐标原点到直线x y 3 的距离的平方，为 5 (3) 21.22考点：线性规划求最值22 曲线 y sin x 在点 M( ，0) 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D（包含三x角形内部与边界）若点P(x ，y)是区域 D 内的任意一点，则x4y的最大值为【答案】 4【解析】试题分析：ysin x ， yx cos x sin x， y |xcossin1，xx22欢迎下载15精品文库所 以 曲 线 ys i nx 在 点 M,0 处 的 切 线 方 程 为 ： y1 x， 即 ：xxy0，它与两坐标轴所围成的三角形区域如下图所示：令 z x 4y ，将其变形为 y1

18、xz，当 z 变化时， 它表示一组斜率为1，在 y444轴上的截距为z 的平行直线，并且该截距越在， z 就越大，由图可知，当直线经过 A 0,14时，截距最大，所以 zmax 04 1 4 ，故答案为： 4.考点： 1、导数的几何意义；2、求导公式；3 、线必规划 .xy3 023 已 知 实 数 x ， y满 足 x 2 y， 则 zx 1225 0y 的 最 小 值0y是.【答案】 2【解析】试题分析：线性不等式组表示的可行域如图：欢迎下载16精品文库x y 3 0A(3,0)x 2 y 5 0B(5,0) ，x y 3 0C(1,2)y0，0x 2 y5 0。yzx 122 表示点 M

19、 (1,0)MA2, MC1，y与可行域内的点间的距离的平方。点 M (1,0) 到直线 x y3 0 的距离为 d1032 ，因为 dMCMA ，1212所以 zmind 22 。考点：线性规划。xy，3x ， y 满足约束条件 y，2224 已知实数则 z5 xy 的最大值为3x，31【答案】【解析】试题分析：解线性规划问题，不仅要正确确定可行域，本题是直角三角形ABC ,( A(0,3), B(3,0), C(3,3) 及其内部 ,而且要挖出目标函数的几何意义，本题中x2y2可理解为坐标原点到可行域中点的距离的平方.要求目标函数最大值，就是求x2y2 的最小值，即坐标原点到直线x y 3

20、 的距离的平方，为 5 (3) 21.22考点：线性规划求最值xa,25 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为4 ，则实数 ay2x的值是.欢迎下载17精品文库【答案】 2【解析】试题分析：y2x 等价于xy2x，即直线xy20 的下方和直线xy20 的 上 方 ， 而 与直 线 xa 围 成 三 角 形 区 域 ，当 a2 时 ， 不 等 式 组xa,表示的平面区域的面积为4 .y2x考点：不等式中的线性规划问题.yx0( 1) x( 1) y 的最大值为 _.26 已知实数 x, y 满足 xy2 0则 zx0, y042yx+y+2=0x-y=0BOxA【答案】 16【解析

21、】yx0试题分析：如图实数x, y 满足 xy2 0 满足的可行域是三角形OAB 的阴影部分 .x0, y0由 z (1 ) x ( 1) y 可化为 z ( 1)2 xy .所以求 z 的最大值即求出 m2x y 的最小值 .目422标函数 m2x y ，如图所示 .过点 B 即为 m 所求的最小值 .因为 B（ -2,0 ）所以 m=-4.所以 zmax(1) 416.故填 16.2考点： 1.线性规划问题 .2. 指数函数的运算.欢迎下载18精品文库评卷人得分三、解答题（题型注释）27 已知 x， y 满足约束条件x4 y33x5 y25 ，试求解下列问题x1(1)z x2y2 的最大值和最小值；y(2)z 的最大值和最小值；x2(3)z |3x 4y 3|的最大值和最小值【答案】（ 1） zmax 5 ， zmin 1.（ 2） zmax 1 ，zmin 1（ 3） zmax 14 ， zmin 5.24【解析】 (1)z x2y2 表示的几何意义是区域中的点(x， y)到原点 (0， 0) 的距离，则zmax 5 ， zmin 1.2(2)z y表示区