线性代数试题及答案3

1、、单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求的,线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。A. m+nana12a13an=m,a 21a22a23a211设行列式=n,C. n- mB.-(m+n)020则行列式D. m-2.设矩阵A=则A-1等于（aiia21a12a 22+a13+a23等于（qf1z .%q001003100002113100B00C010D00223001001001001V.3yk2丿7A.32003.丿03.设矩阵1-2B. 6-14C. 2的伴随矩阵,中位

2、于（2）的元素是（ B ）A. -64.设A是方阵，如有矩阵关系式A. A = 0B. B =C 时 A= 0D. -2AB=AC,则必有（C. A =0 时 B=C5. 已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A. 1 B. 26. 设两个向量组A. 有不全为B. 有不全为C. 有不全为D. 有不全为入s aD )D. |A| = 0 时 B=CAT)等于(C )C. 3a 2,， 【入1 ,入2, 入1 ,入2 ,入1 ,入2,2 ,a 1,0的数0的数0的数0的数入1,入D. 4a s和 3 1, 3 2,，入s使入1 a什，入s使入1 （ a 1+ 3 1），入s使入1 （ a 1-

3、 3 1） ，入s和不全为0的数 s=0 禾口卩 1 3 1+ （1 2 3 2+ +7. 设矩阵A的秩为r,则A中（CA.所有r- 1阶子式都不为0 C.至少有一个r阶子式不等于08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组，A. n什n 2是Ax=0的一个解,3 s均线性相关，则(入 2 a 2+ 入 s a s=0 禾口入 1 3 1+ 入 2 3 2+入 s 3 s=0 2+ 3 2)+ + 入 s ( a s+ 3 s) =0 )+ + 入 s ( a s- 3 s) =0 卩s使入1 a 1+入2 a 2+ 入 2 ( a+ 入 2 ( a 2- 3 2)卩1 ,卩2,B.所有D.所有2是

4、其任意_ 11r-1阶子式全为r阶子式都不为2个解，则下列结论错误的是（ A ）是Ax=b的一个解B. n 1+n 222D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解C. n 1-n 2是Ax=0的一个解9. 设n阶方阵A不可逆，则必有（A.秩（A）nB.秩（A）=n - 110. 设A旦A. 如存在数入和向量a使A a =入aB. 如存在数入和非零向量C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a 1, a 2, a 3依次是A的属于入1,入2,入3的特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关） D.方程组Ax=0只有零

5、解 是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（B ），则a是A的属于特征值入的特征向量 a ,使（入E - A） a =0，则入是A的特征值AC.A=011设入0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（A ）A. k w 3 B. k312. 设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（B ）A.| A|2必为1B.|A必为1C.A-1=ATD. A的行（列）向量组是正交单位向量组13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC .则（D ）A. A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14. 下列矩阵中是正定矩阵的为（

6、C ）23（34、勺00 1 1 1 A.B.(C.02-3D.1 2 0请4丿它6丿0 -35 jQ 0 2第二部分非选择题（共72分）、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。15.356=6 .92536彳7 1（12 3.则 A+2 B=16.设A=,B=1 -1丿11-2 4丿1 1 11065、23.设矩阵A =:1-3，已知a = T1082丿是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为12 025.设 A=34 0l12 1丿三、计算题（本大题共17. 设 A =(aj)3 x 3 , |A|=2 , Aj

7、表示|A |中元素 內 的代数余子式(i,j=1,2,3 ),则2 2 2(a11A21+a12A22+a13A23)+(a21A21 +a22A22+a23A 23)+(a31A 21+a32A22+a33A23)=4.18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，贝y a=_辺0_.19. 设A是3x 4矩阵，其秩为3，若n 1，n 2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为n 1+c( n 2- n 1)(或n 2+c( n 2- n 1), c为任意常数20.设A是m x n矩阵，A的秩为r（n），则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的

8、个 数为 n-1.21. 设向量a、3的长度依次为2和3,则向量a + 3与a - 3的内积（a + 3 , a - 3 ） =-522. 设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为-2 -2 22 224.设实二次型f（X1,X2,X3,X4,X5）的秩为4,正惯性指数为3，则其规范形为Z1Z2Z3-Z47小题，每小题6分，共42 分）i 23 t31126.试计算行列式-5132011-532-4-1-43427.设矩阵A = 123 110，求矩阵B使其满足矩阵方程AB =A+2 B.B =-2 4 0 丿.求(1) ABT；(2) |4A3广1、31二0

9、-128.给定向量组a 1=,a 2=,a 3=, a 4=02243;4丿L1试判断a 4是否为a 1,a 2,a 3的线性组合；若是，则求出组合系数。*1-2-10 2 1-2426-629.设矩阵A=2-1023 .3333 4求：(1 )秩(A); (2) A的列向量组的一个最大线性无关组。0 -2 230.设矩阵A= -2 3 4的全部特征值为1 ,和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.4 丿2 2 231. 试用配方法化下列二次型为标准形f(Xi,X2,X3) =Xi 2X2 -3X3 4X1X2 -4X1X3 -4X2X3，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题(本大

10、题共2小题，每小题5分，共10分)32. 设方阵A满足A3=0，试证明E- A可逆，且(E- A)- 1= E+A+A233. 设n 0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，E 1, E 2是其导出组 Ax=0的一个基础解系 试证明(1) n 1= n 0+ E 1, n 2= n 0+ E 2均是Ax=b的解；(2) n 0, n 1, n 2线性无关。答案：一、单项选择题(本大题共 14小题，每小题2分，共28 分)1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D7.C 8.A 9.A 10.B11.A二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)15. 616. 337 17. 418

11、. -0V1-3 7 丿19. n 1+c( n 2-12.B 13.D14.Cn 1)(或 n 2+c( n 2- n 1),c为任意常数20. n- r 21. -22. -23. 124. z2 z2 z2 -Z4三、计算题(本大题共A25.解(1) ABT= 3-17小题,W1每小题6分，共42分)-240 J0112022401120088001131.解 f(Xl， X2， X3)= ( X1+2X2- 2X3)2=(xi+2X2- 2x3) - 2亠2X2 -2X3yi =xiX2 X3,X32 2 2-2X2 +4X2X3- 7X3(X2-X3 )- 5X3 .即：2|x33 故此线性变换满秩。经此变换即得=yi -2y2=y2 y3二y3，因其系数矩阵C= 0oA1可逆,1f（Xi,四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共2332.证 由于（E- A）（ E+A +A）=E- A =E， 所以E- A可逆，且（E - A） -1= E+A+A2 .2 2 2X2，X3)的标准形 yi - 2y2 - 5y3 . 10分)33证 由假设 A n o= b, AE 1=0, A E 2=0.(1) An 1=A ( n o+ E 1) = An o+A E 1 = b,同理 An 2= b,