抛物线中有关定点定值问题

1、 抛 物 线 （二） 掇刀石中学 王宏斌 教学目标 1、知识与技能目标： 掌握抛物线中有关焦点弦的重要性质，提高代数推理能力. 2、过程与方法目标： 让学生经历探求结论的全过程，体验从特殊到一般的思维方法，形成认识问题和解决问题的一般思维. 教学重点 从特殊到一般的思维方法；向量法的应用. 教学难点 代数推理 教学方式 启发引导，自主探究. 教学用具 投影仪，多媒体辅助教学 教学过程 一、探究程序： 学生：独立思考小组讨论交流互补形成结论 教师：设置问题启发诱导点拨释疑激励完善 二、探究过程： 2?2yPx（P0）焦点F的一条直线交抛物线于A（x,y）问题1过抛物线、B(x,y)2121yy是

2、否为定值？xx=_. 两点，试问2121问题1的推广： 2xPx?y2aa，（A0）（设过点E，0（）的一条直线与抛物线0P（）相交于1 1 ，B（，）两点，是否为定值?=_. ）xxyyxyy21212212（P0）焦点F的一条直线交抛物线于A问题2过抛物线、B两点，Pxy2?经过点A和抛物线顶点的直线交准线于C点，求证:直线BC平行于抛物线的对称轴. 问题2的逆命题是什么？怎样构造它的逆命题？ 分析：问题2的条件是： （1） AB经过焦点F；（2） AC经过原点O. 结论是：BC/x轴 经过焦点F，且BC/x：若AB轴，则AC经过原点O. 逆命题 1 逆命题2：若AC经过原点O，且BC/x

3、轴，则AB经过焦点F. 问题2的逆命题是否正确？ 逆命题1： 20)y?2px(p? 的焦点为F, 经过F 的直线交抛物线于A、B设抛物线 两点 , 点 C 在抛物线的准线上,且BCx轴, 求证：AC经过原点O.(01年高考题） 法1： p, y) 设A(x , y) , B(x , y) ,则 C(?21221 2y2yyy2p2112 ?,k?k? OAOCp2pxyy?111 22p2 = -pyy又 212y2p2? k= k 即OAOC yp1所以AC经过原点O 法2： 2 p , y)，C(，) , B(x设A(x , y , )?21y212 2pOAOC ）=（则x=（-，y）

4、y，112 22 p yy= -2122yppp1 0?)?yxy?y?( 1112yp2221OAOC 所以/OAOC 与，共起点又OO. 经过原点ACO、C三点共线，即所以A、2yx4?Q问题3过抛物线A、B两点，点，上一点P（01）作直线与抛物线交于AB为何正数，所成的比为，求证：无论是点P关于原点的对称点，设点P分向量. 向量的夹角总为定值与向量QB?QPQA2 =4y，y=kx+1，代入抛物线方程x证明：依题意，可设直线AB的方程为2 -4kx-4=0 得x=- 4 x. x,x设A(x,y),B(x,y),则x是方程的两根22122111?xxx?121? 得即,由点P(0,1)分

5、AB所成的比为0? ?x?12=(0,2) Q(0,-1),从而又Q点是P点关于原点的对称点, QP?) y+(1-+1)=(x-x, y-(x=(x , y+1)- , yQB?QA21212 121?=2 y-y+(1-) )?QB(QP?QA2122xxxx1121 =)?(1?2? 4x4x22xx?4?4?421?2(x?x)x?(2x?)?0 = 21124x4x22 3 0 所成角总为定值故90与 -QBQAQP 、思想方法：从特殊到一般； 1小结提炼 、证明方法：向量法； 2 . 、代数推理（严谨、严密） 3 课后训练题2是CB两点，)相交于A0) 的一条直线与抛物线y、=2px(p0、设过点E(a,0)(a. 经过原点O,求证:ACx=-a上一点,且BCx轴直线2点在抛物, C点作BBC/x轴0)上任取一点B(除去原点),过2、在抛物线y=2px(pF. 经过焦点,求证:AB延长CO交抛物线于A点CO,线的准线上,连结 课后研究题2相交p）作直线与抛物线C（0，在平面直角坐标系中，过定点)0py(px?2xOy B两点。于A、 面积的最小值；的对称点，求ANB关于坐标原点I）