微积分学课件：3-1微分中值定理

第一节微分中值定理第三章微分中值定理及导数的应用一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理五.函数的单调区间与极值费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理

微分中值定理函数导数的定义为即函数在点

x处的导数等于时,函数的极限值.在点

x处的差商导数与差商

我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大范围”性质.为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,

这些关系式称为“微分学中值定理”.

这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.导数与差商的基本关系式相等！将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P处成为切线,即在点P处与曲线的切线重合.

也就是说,至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.

极值的定义定义

1)函数的极值概念是局部性的2)函数的极值可能有多个3)函数的极大值可能比极小值小4)函数的极值不在端点上取xyo1)函数的最值概念是全局性的2)函数的最大值（最小值）唯一3)函数的最大值大于等于最小值4)函数的最值可在端点上取注意：比较：则有于是（极小值类似可证）费马(Femat)定理设函数f(x)在Ｉ上有定义,并且在点ξＩ取到极值,f(x)在点ξ可导,则f(ξ)=0.证明：一、费马(Femat)定理费马定理的几何解释1)导数不存在的点也可能是函数的极值点.若，称点为函数的驻点.2)极值点只可能在驻点或导数不存在的点取到。条件必要而不充分.即导数为零的点未必是极值点.例:

y=x3，在

x=0点导数为零，但不是极值点。注意：说明：xyo若函数在上连续，上取得最大值、最小值.则必在2.若函数在内取得最值，则此点一定取得极值

1.函数可能在端点取得最值。

最大值最小值点一定包含在区间端点，区间内部的驻点及区间内部导数不存在点之中。说明：结论：解令得当时,不存在.函数在上的最大值为:最小值为:

例：求函数在上的最大、小值.二、罗尔(Rolle)定理例如,物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.几何解释:点击图片任意处播放\暂停证

罗尔定理的三个条件，缺一不可.例如,

罗尔定理指出了点的存在性，但不能确定它的位置。又例,不满足条件(3),罗尔定理结论不成立.不满足条件(1);注意:例证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,在罗尔定理中，则在(a,b)内必有一点罗尔定理为我们证明方程根的存在性提供了一个途径。推论：不符合根的存在定理条件三、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.证法二F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,

由R-定理知:拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理推论拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：例证例证由上式得四、柯西(Cauchy)中值定理注意:四、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数特别有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.例证结论可变形为例

设f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求证：(a<ξ<b)证明令∵a,b同号，故x=0不在(a,b)内;∴(x),g(x)在(a,b)内可微。∴由柯西中值定理例：证：小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.五、函数的单调性与极值定理１、单调性的判别法证应用拉氏定理,得注意：单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.例解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．例：讨论函数y=x-sinx

的单调性。解：∵y=1-cosx0，∴y=x-sinx在(-，+)上单调增加几何上看：单调区间的分界点是使f(x)=0的点.单调区间求法问题:如例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．讨论函数的单调性可以按以下步骤进行：1）确定函数f(x)的定义域；2）求f(x)，找出f(x)=0和f(x)不存在的点，以这些点为分界点，把定义域分成若干区间；3）在各个区间上判别f(x)的符号，以此确定f(x)的单调性。例解单调区间为例解单调区间为注:区间内个别点导数为零或不存在,不影响区间的单调性.例证明当x>0时，证：令∴F(x)在(0,+∞)内单调上升，又F(0)=0，F(x)在x=0处连续，利用单调性证明不等式例证。又∴由介值定理：f(x)在（-，+）上有且仅有一个实根。例证明方程 有且仅有一个实根。证明：令∴f(x)在（-，+）上单调上升。2、函数极值定理1(必要条件)注意:例如,由图所示,函数的极大值为:极小值为:函数的极值在单调区间的分界点处取得.xy的最大值为:最小值为:定理(极值的第一充分条件)(是极值点情形)函数极值的判定(不是极值点情形)求极值的步骤:例解列表讨论极大值极小值图形如下定理(极值的第二充分条件)证同理可证(2).例解图形如下注意:例解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.3、最大值、最小值问题

在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能是用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性；最值的求法。步骤:1.求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大那个就是最大值,哪个小那个就是最小值;

ab几种特殊情况:1.

若在上单调,则在端点处取得最值.2.

若在内只有一个极值点则当为极大(小)值点时,就是最大(小)值.3.在实际问题中,则按实际情况进行判断.当表示该实际问题的函数在所讨论的区间内只有一个可能的极值点(驻点或导数不存在的点)时,则该实际问题一定在该点取得所求的最大值或最小值。半径如何选取，才能使用料最省(即表面积最小)？

例：一个圆柱形罐头，其容积是一个常量V.问底面

表面积S=2r2+2rh解：设罐头的底面半径为r，由题设r2h=V，即代入上式得，则最小值必在r=r0处取得。即当罐头的高与底面直径相等时，用料最省。点击图片任意处播放\暂停例敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点例某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为点击图片任意处播放\暂停例解