第三讲三角恒等变换.

1、第三讲三角恒等变换 三角函数公式 两角和与差的三角函数关系 cos sin sin( )=sin cos cos( )=cos cos sin sin 、tan tan tan( ), 1 tan tan 积化和差公式 1 -) sin cos =sin( + )+sin( 2 1 cos sin =sin( + )-sin( -) 2 1 cos cos =一 cos( + )+cos( -) 2 1 sin sin =-cos( + )-cos( -) 2 和差化积公式 倍角公式 sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin =2cos2-1=1-2sin2 tan2 2ta

2、 n 1 tan2 半角公式 -,cos 1 sin 2 J1 cos 2 1 cos | / 2 1 tan 2 1 cos 1 cos sin 帖 cos sin 1 cos sin +sin =2si n cos 2 2 sin -sin = 2cos 2 sin 2 cos +cos = 2cos 2 cos 2 cos -cos =-2sin 2 sin 2 tan + cot 1 2 sin cos si n2 tan -cot =-2cot2 1+cos = 2 cos2 2 1-cos =2sin2 2 2 1 sin =( Sin 一 COS) 2 2 升幂公式 1+cos

3、= 2 cos2 一 2 1-cos =2s in2 2 2 1 sin =( sin cos ) 2 2 2 2 1=sin + cos sin =2s in cos 2 2 降幂公式 1 cos2 2 1 cos2 2 + cos2=1 cos =丄 si n2 2 sin2 cos2 sin2 sin 三倍角公式： sin33sin 4sin3 ； cos34cos33cos 三角恒等变换 三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件, 灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下： 与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系, 差异，

4、使问题获解，对角的变形如： (1) 角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角 运用角的变换，沟通条件与结论中角的 2是 的二倍；4是2 的二倍； 是一的二倍；一是一的二倍；3是 224 二倍；- 是的二倍； 2 是 的二倍。 3 6 2 4 15 45o 30o o 60 45o30o 45 :问：sin - 2 12 的 2 cos 12 ( )：(一)； 424 2()()()();等等 44 (2) 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余 弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。 (3) 常数代换：在三角函数运算，求

5、值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例 如常数“1”的代换变形有： 1 sin2cos2sec2tan2 tan cot sin 90tan45 (4) 幕的变换：降幕是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幕处 理的方法。常用降幕公式有： ； 。降幕并非绝对， 有时需要升幕，如对无理式 J cos 常用升幕化为有理式，常用升幕公式 有：； (5) 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 1 tan1 tan 如：；: 1 tan1 tan ta n tan :1 tan tan ta n tan :1 tan tan 2ta n :

6、1 tan2 ? tan 20 o tan 40o 3 tan 20o tan 40 o sin cos asin bcos = (其中tan ； 1 cos ； 1 cos (6) 三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幕”四方面入手； 基本规则是：切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理 化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。 如：sin 50o(1. 3tan10)； tan cot 2 4 cos cos cos 9 9 9 3 5 cos cos cos 7 7 7 2 4 6 cos -cos cos - 7 7 7 一、选择题， 1. sin

7、105ocos105)的值为 ；推广： ；推广: 练习 1 1 A. B. 4 4 2 1 2. 函数 f(x) cos x -的周期为 2 A. B. 4 2 3. 已知 tan( ) 2 ,tan() 54 1 13 A. B. 6 22 4. 化简 1 cos2 ，其结果是 tan cot 2 2 1 一 1 A. sin 2 B. sin 2 2 2 5. 2 sin 8 V22cos8 等于 ( ) D. 4 4 ( ) C. 2 D. 1 ，则tan()等于 44 ( ) 3 13 C. D 22 18 ( ) C. 2sin D. 2sin 2 ( ) A.2sin 4 4cos

8、 4 B. 2sin 4 4cos4 C. 2sin4 D.4cos 4 2sin 4 6. sin 3 cos 的值为 12 12 A.0 B. .2 C.2 D2 7. 已知 为第三象限角， sin 24 贝9 tan ( ) 25 2 A. 4 4 3 3 B. C. D. 3 3 4 4 8. 若sin 1 . ,si n 1，则 tan为 ( ) 2 3 tan A.5 B. 1 C.6 D. 1 6 9. 已知锐角 、 满足sin J ,cos 3 10 则 等于( ) 5 10 3 A. 一 B.或 3 c._ D.2k - 3 k Z 4 4 4 4 4 10 下列函数 f(x

9、)与g(x)中，不能表示冋一函数的是 ( ) B是周期函数，但不是偶函数 A. f(x) sin 2x g(x) 2si n xcosx B. f(x) cos2x g(x) 2 2 i cos x sin x C. f (x) 2 2cos x 1 g(x) 1 2sin2 X D. f(x) tan 2x g(x) 2ta n x 1ta n2 x 11、函数 f x log 2 cos x 是( ) A.偶函数，但不是周期函数 C.偶函数，也是周期函数 二、填空题， D.不是周期函数，也不是偶函数 1. 已知cos =i，且 2,2 ，则 cos()= 3 2. 已矢卩sin cos 3. tan 20o ta n40o 3 则sin 3 cos 3 tan 20 tan 40o 的值是 VABC 中，si nA 35厂 4. ，cos B，贝y cosC = 513 三、解答题 1、化简计算 cos20 cos40 cos80 2.化简: 1 cossin 1 cossin 1 cossin 1 cossin 2 3.求函数 f(x) 2cos x 3sin x在 5.已知 2tan A 3tan B，求证: t