Excel回归分析结果的详细阐释

1、Excel回归分析结果的详细阐释利用Excel的数据分析进行回归，可以得到一系列的统计参量。下面以连续10年积雪深度和灌溉面积序列(图 1)为例给予详细的说明。图1连续10年的最大积雪深度与灌溉面积(1971 1980)回归结果摘要(Summary Output )如下(图2):图2利用数据分析工具得到的回归结果第一部分：回归统计表这一部分给出了相关系数、测定系数、校正测定系数、标准误差和样本数目如下(表1):表1回归统计表逐行说明如下:Multiple对应的数据是相关系数(correlati on coefficie nt),即 R=。R Square对应的数值为测定系数(determ in

2、 ati on coefficie nt)，或称拟合优度(goodness of fit)，它是相关系数的平方，即有氏=。Adjusted对应的是校正测定系数(adjusted determ in ati on coefficie nt)，计算公式为Ra1 (n 1)(1 R2)2 2式中n为样本数，m为变量数，R为测定系数。对于本例，n =10, m=1, R =,代入上式得10 1 1Ra 1(101)(1。切8944)0.976312标准误差(standard error)对应的即所谓标准误差，计算公式为s -n m 1SSeSSe=代入上式可得这里SSe为剩余平方和，可以从下面的方差分

3、析表中读出，即有s1* 16.10676 1.41892410 1 1最后一行的观测值对应的是样本数目，即有n=10o第二部分，方差分析表表2方差分析表(ANOVA逐列、分行说明如下：第一列df对应的是自由度(degree of freedom ),第一行是回归自由度 dfr，等于变量数目，即 dfr= m第二 行为残差自由度dfe，等于样本数目减去变量数目再减 1即有dfe= n-ml ;第三行为总自由度 dft，等于样本数目 减 1，即有 dft= n-1。对于本例， m=1，n=10，因此，dfr=1 ， dfe=n-m仁8，dft= n-仁9。第二列SS对应的是误差平方和，或称变差。第

4、一行为回归平方和或称回归变差SSr，即有nSSr (? yi)2748.8542i 1它表征的是因变量的预测值对其平均值的总偏差。第二行为剩余平方和(也称残差平方和)或称剩余变差SSe,即有nSSe (yiy?i)2 16.10676i 1它表征的是因变量对其预测值的总偏差，这个数值越大，意味着拟合的效果越差。上述的y的标准误差即由SSe给出。第三行为总平方和或n称总变差 SSt，即有SSr(yiyi)2 764.961i 1它表示的是因变量对其平均值的总偏差。容易验证+=，即有SSr SSe SSt而测定系数就是回归平方和在总平方和中所占的比重，即有SSr 748.85420.978944S

5、St 764.961显然这个数值越大，拟合的效果也就越好F值的计算公式为第四列MS对应的是均方差，它是误差平方和除以相应的自由度得到的商。第一行为回归均方差MSr,即有MSrSSrdfr748.8542748.85421第二行为剩余均方差MSe，即有SSe16.10676MSe2.013345dfe8显然这个数值越小，拟合的效果也就越好。第四列对应的是F值，用于线性关系的判定。对于一元线性回归,式中 R2=, dfe=10-1-1=8，因此R2(1R2)n m 1dfeR21 _R8*0.978944F371.94531 0.978944第五歹U Significanee即模型为假的概率，显然

6、F对应的是在显著性水平下的 Fa临界值，其实等于 P值，即弃真概率。所谓“弃真概率”1-P便是模型为真的概率。可见，P值越小越好。对于本例，F=,故置信度达到以上。表3 ）。第三部分，回归参数表回归参数表包括回归模型的截距、斜率及其有关的检验参数（表3回归参数表第一列Coeffieients对应的模型的回归系数，包括截距a=和斜率b=，由此可以建立回归模型?2.3564 1.8129xi或yi 2.3564 1.8129xii第二列为回归系数的标准误差（用?a或?表示），误差值越小，表明参数的精确度越高。这个参数较少使用，只是在一些特别的场合出现。例如L. Benguigui 等人在 When

7、 and where is a city fractal?一文中将斜率对应的标准误差值作为分形演化的标准，建议采用作为分维判定的统计指标（参见EPB2000）。不常使用标准误差的原因在于：其统计信息已经包含在后述的t检验中。第三列t Stat对应的是统计量t值，用于对模型参数的检验，需要查表才能决定。t值是回归系数与其标准误差的比值，即有ta S，tbb_?b根据表3中的数据容易算出:ta1.289167, tb1.827876遊竺 19.285880.094002对于一元线性回归，t值可用相关系数或测定系数计算，公式如下将R= n=10、m=1代入上式得到0.9894161 0.989416

8、210 1 119.28588对于一元线性回归，F值与t值都与相关系数 R等价，因此，相关系数检验就已包含了这部分信息。但是，对 于多元线性回归，t检验就不可缺省了。第四列P value对应的是参数的 P值（双侧）。当P时，可以认为模型在a =的水平上显著，或者置信度达到95%当 代时，可以认为模型在 a =的水平上显著，或者置信度达到99%当P时，可以认为模型在 a =的水平上显著，或者置信度达到 %对于本例，P=故可认为在 a =的水平上显著，或者置信度达到 % P值检验与t值检验是等价的，但P值不用查表，显然要方便得多。最后几列给出的回归系数以95%为置信区间的上限和下限。可以看出，在a

9、 =的显著水平上，截距的变化上限和下限为和，即有1.85865 a 6.57153斜率的变化极限则为和，即有1.59615 b 2.02969第四部分，残差输出结果这一部分为选择输出内容，如果在“回归”分析选项框中没有选中有关内容，则输出结果不会给出这部分结果。残差输出中包括观测值序号（第一列，用i表示），因变量的预测值（第二列，用y?表示），残差（residuals第三列，用ei表示）以及标准残差（ 表4）。表4残差输出结果预测值是用回归模型?2.3564 1.8129xi计算的结果，式中Xi即原始数据的中的自变量。从 图1可见，X1=,代入上式，得?2.35641.8129x12.3564

10、 1.8129*15.229.91284其余依此类推。残差ei的计算公式为uyiy?i从图1可见，y1=，代入上式，得到6!y1?128.6 29.912841.31284其余依此类推。标准残差即残差的数据标准化结果，借助均值命令average和标准差命令stdev容易验证，残差的算术平均值为0，标准差为。利用求平均值命令standardize（残差的单元格范围，均值，标准差）立即算出 表4中的结果。当然,也可以利用数据标准化公式ZiZiZ Zi zvar(Zi)逐一计算。将残差平方再求和，便得到残差平方和即剩余平方和，即有nn2 2SSe e(yi ?)16.10676i 1i 1利用Exc

11、el的求平方和命令 sumsq容易验证上述结果。图3）。残差点列的分布越是没有以最大积雪深度 Xi为自变量，以残差 e为因变量，作散点图，可得残差图（趋势（没有规则，即越是随机），回归的结果就越是可靠。用最大积雪深度Xi为自变量，用灌溉面积yi及其预测值?i为因变量，作散点图，可得线性拟合图（ 图4）。最大积雪深度x（米）Residual Plot-11015202530最大积雪深度x（米）图3残差图亩于积面溉灌最大积雪深度x（米）Line Fit Plot+灌溉面积y（千亩）预测灌溉面积 y（千亩）最大积雪深度x（米）图4线性拟合图第五部分，概率输出结果在选项输出中，还有一个概率输出（Pro

12、bability Output ）表（表5）。第一列是按等差数列设计的百分比排位，第二列则是原始数据因变量的自下而上排序（即从小到大）一一选中图1中的第三列（C列）数据，用鼠标点击自下而上排序按钮，立即得到表5中的第二列数值。当然，也可以沿着主菜单的“数据（D）t排序（S） ”路径，打开数据排序选项框，进行数据排序。用表5中的数据作散点图，可以得到Excel所谓的正态概率图（图5）。表5概率输出表Normal Probability Plot)50亩千40y申*o3.积面 溉20灌 10III020406080100Sample Perce ntile图5正态概率图【几点说明】第一，多元线性回归与一元线性回归结果相似，只是变量数目m 1