截长补短专题

1、截长补短法人教八年级上册课本中， 在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质， 这一性质在许多问题里都有着广泛的应用 . 而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗. 请看几例 .例 1.已知，如图 1-1 ，在四边形 ABCD中，BC AB，AD=DC，BD平分 ABC.求证： BAD+BCD=180.分析：因为平角等于 180，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角， 图中缺少全等的三角形， 因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现 .AD证明：过点D作 DE垂直 BA 的延长线于点E，作 DF BC

2、于点 F，如图BC图 1-11-2 BD平分 ABC， DE=DF，在 Rt ADE与 Rt CDF中，DEDFADCDEAD Rt ADE Rt CDF(HL), DAE= DCF.又 BAD+ DAE=180， BAD+DCF=180，B即 BAD+ BCD=180例 2.如图 2-1 ，AD BC，点 E在线段 AB上， ADE= CDE， DCE= ECB.求证： CD=AD+BC.分析：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取 CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的 .证明：在CD上截取 CF=BC

3、，如图 2-2图A1-2EADFCDC在 FCE与 BCE中，CFCBB4图 2-13FFCEBCECECE FCE BCE（ SAS） , 2=1.又 AD BC， ADC+BCD=180， DCE+ CDE=90， 2+ 3=90， 1+4=90， 3= 4.在 FDE与 ADE中，E 21CB 图 2-2FDEADEDEDE34 FDE ADE（ ASA）， DF=DA， CD=DF+CF， CD=AD+BC.例 3.已知，如图 3-1 ， 1= 2，P 为 BN上一点，且 PD BC于点 D， AB+BC=2BD. 求证： BAP+BCP=180.分析：与例 1 相类似，证两个角的和是

4、AN180，可把它们移到一P起，让它们是邻补角，即证明 BCP= EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作 PE垂直 BA的延长线于点E，如图 3-212BDC图 3-1 1= 2，且 PD BC， PE=PD，在 Rt BPE与 Rt BPD中，PEPDBPBP Rt BPE Rt BPD(HL), BE=BD. AB+BC=2BD， AB+BD+DC=BD+BE， AB+DC=BE即 DC=BE-AB=AE.在 Rt APE与 Rt CPD中,PEPDEAN PPEAPDCAEDC Rt APE Rt CPD(SAS), PAE= PCD又 BAP+ PAE=18

5、0 , BAP+ BCP=180例 4.已知：如图 4-1 ，在 ABC中， C 2 B， 1 2.求证： AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长 AC至 E 使 CE=CD，或在 AB 上截取 AF=AC.证明：方法一（补短法）延长 AC到 E，使 DC=CE，则 CDE CED，如图 4-2 ACB 2 E， ACB 2 B， B E，在 ABD与 AED中 ,12BDC图 3-2A1 2BADC1 2图 4-11 2BEADAD ABD AED（ AAS） , AB=AE.又 AE=AC+CE=AC+DC， AB=AC+DC.方法二（截长法）在 AB上截取 AF=AC，如图 4-3在 AFD与 ACD中 ,AFAC1 2 AD ADBDC图 4-2EA12F AFD ACD（ SAS） , DF=DC， AFD ACD.又 ACB 2B， FDB B， FD=FB.BDC图 4-3 AB=AF+FB=AC+FD， AB=