计算坐标与坐标方位角的基本公式

1、计算坐标与坐标方位角的基本公式 控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐 标，控制点的坐标是根据边长及方位角计算出来的。下面介 绍计算坐标与坐标方位角的基本公式，这些公式是矿山测量 工中最基本最常用的公式。 一、坐标正算和坐标反算公式 1坐标正算 根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角、 边长 计算待定点的坐标，这种计算在测量中称为坐标正算。 如图55所示，已知A点的坐标为xa、, A到B的边 长和坐标方位角分别为Sab和AB，则待定点B的坐标为 xB xAxAB yB y Ay AB 51) 式中 x AB 、 y AB 坐标增量 由图 55 可知 SAB sin AB SAB

2、 cos AB （52） 式中SAB 水平边长； AB坐标方位角。 将式（ 5-2 ）代入式（ 5-1 ），则有 x B x A SAB cos AB yB y A SAB sin AB (5 3) 当A点的坐标Xa、yA和边长Sab及其坐标方位角 ab为已知 时，就可以用上述公式计算出待定点B的坐标。式（5 2） 是计算坐标增量的基本公式，式（5 3）是计算坐标的基本 公式，称为坐标正算公式。 从图5 5可以看出Xab是边长Sab在x轴上的投影长度， yAB是边长Sab在y轴上的投影长度，边长是有向线段，是在 实地由A量到B得到的正值。而公式中的坐标方位角可以从 0到360变化，根据三角函数

3、定义， 坐标方位角的正弦值 和余弦值就有正负两种 情况，其正负符号取决于坐标方位角所在的象限，如图56 所示。从式（52）知，由于三角函数值的正负决定了坐标 增量的正负，其符号归纳成表5 3。 $0十 A XI mx 图55坐标计算 6坐标增量符号 表5 3 坐标增量符号表 坐标方所在象限 位角 090 90 180 180 270 坐标增量的正 负号 / x / y + + + + n m IV 例1已知 A点坐标 xA=100.00m, yA =300.10m;边长 sAB=i00m方位角 AB =330。求B点的坐标Xb、 Yb。 解：根据公式（ 53）有 Xb xa sAB cos A

4、B 100 100 cos330 186.1m Yb yA sAB sin AB 300.1 100 sin330 249.6 m 2、坐标反算 由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角 和边长，这种计算称为坐标反算。 由式（5 1）有 XAB XB XA Yab Yb Ya （5 4） 该式说明坐标增量就是两点的坐标之差。在图5 5中xab 表示由A点到达B点的纵坐标之差称纵坐标增量；yab表示 由A点到B点的横坐标之差称横坐标增量。坐标增量也有正 负两种情况，它们决定于起点和终点坐标值的大小。 在图5 5中如果A点到B点的坐标已知，需要计算AB边 的坐标方位角AB和边长时Sab ,

5、 则有 tan ab Yb Ya yAB XbXa Xab (5 5) SAByAB Sab; cos AB sin AB XAB Sab 2 2 XAByAB 公式（5 5）称为坐标反算公式 应当指出，使用公式（5 5）中第一式计算的角是象限角 R应根据/ x、/ y的正 负号，确定所在象限，再将象限角换算为方位角。因此公式 （5 5）中的第一式还可表示为: Rabarcta n 鉴yA XbXa arcta n Xab 例 2.已知 XA=300m, yA=500m,XB=500m, yB=300m,求 A、B 二点连线的坐标方位角ab和边长Sab。 解：由公式（5-5 ）有 Rab ar

6、cta n 灶丄 XbXa 300 500 arcta narcta n( 1) 500 300 因为Xab为正、Yab为负，直线AB位于第四象限。所以 Rab NW 45 根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得： ab 36045315 AB边长为： Sab . (Xb Xa)2 (Yb Ya)2. (500 300)2 (300 500)2 282.8m 坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的 公式，应用十分广泛。 在测量计算时，由于公式中各元素的数字较多，测量规范 对数字取位及计算成果作了规定。例如图根控制点要求边长 计算取至毫米；角度计算取至秒；坐标计算取至厘米。 二、坐标

7、方位角的推算公式 由公式（5-2 ）知，计算坐标增量需要边长和该边的坐标 方位角两个要素，其中边长是 在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的，坐标方位 角则是根据已知坐标方位角和水平角推算出来的。下面介绍 坐标方位角的推算公式。 如图5-7所示，箭头所指的方向为“前进”方向，位于前 进方向左侧的观测角称为左观测角，简称左角；位于前进方 向右侧的角称为右观测角，简称右角。 1.观测左角时的坐标方位角计算公式 在图5 7与58中，已知AB边的方位角为 Ab，左为 左观测角，需要求得 BC边的方位角bc。左是外业观测得到 的水平角，从图上可以看出已知方位角ab与左观测角左之 和有两种情况：即大于

8、 180或小于180。图5 7中为大 于180的情况，图5 8中为小于180。的情况。 图57坐标方位角推算图58坐标方位 角推算 从图5 7可知，BC边的坐标方位角为 BC AB 左 180 从图5 8可知，BC边的坐标方位角为 BCAB 左 180 综上所述两式则有 前后左180 （5 6） 式（5-6 ）是按照边的前进方向，根据后一条边的已知 方位角计算前一条边方位角的基本公式。公式说明：导线前 一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标方位角加上左观 测角，其和大于180时应减去180，小于180。时应加上 180 。 2.观测右角时的坐标方位角计算公式 从图5-7 或图5-8可以看出 360 将该式代入式（5- 6）,得 前（后右180 ）360 当方位角大于 360时，应减去 360 ,方向不变。所以上 式变为 前 后 右180 (5 7) 上式说明：导线中，前一条边的坐标方位角等于后一条边 的坐标方位角减去右观测角， 其差大于180时应减去180 ，小于180时应加上180 。 使用式（5-6）与（5-7）时，还应注意相应两条边的前进方 向必须一致，计算结果大于360 时，则应减去 360 ，方 向不变。 例3图5-9为一条支导线，已知A点的坐标方位角 BA AM 、 MN o 图5 9支导线