操作型问题选[下学期]北师大版

1、操作型问题选【考点透视】纵观近年来全国各省市的中考试题，操作型问题已日渐成为中考热点之一. 它体现了新课程标准强调学生主动参与，勤于动手，乐于探究，经历学习过程的新理念操作型问题能让学生经历观察，操作，实验，猜想，验证的探究过程不仅能考查学生的空间观念，对图形的认识，图形的变换，图形的设计，图形的直觉判断能力，而且还能考查学生的分析综合， 抽象概括逻辑推理的能力，是学生展示个体思维发散创新的好平台操作型问题一般包括作图问题，分割组合图形问题，图形的折叠问题和图形移动等问题解决这类问题， 要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、 翻折变换和旋转变换 .

2、注意运用分类讨论、类比猜想、 验证归纳等数学思想方法， 灵活地解决问题在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力 .【典型例题】M例如图 9-1 ，在正方形网络上有一个ABC.（）作 ABC关于直线 MN的对称图形A（不写作法）；（）若网络上的最小正方形的边长为1，B求 ABC的面积 .（ 2003 年浙江绍兴市中考试题）C分析： (1) 观察图形 , 先作出点 A、 B、 C 关于直线 MN的对称点 A1 、B1、 C1，连结 A1B1、B1C1、 C1A1 得 A1B1C1N(2) ABC等于点、所在边的矩形面积图 9-1与三个直角三角形面积和的差 .解：（ 1

3、）作图（略） .（ 2）此三角形面积为： ABC 2 3 2（ 1 1 2） 1 1 3=6 2 3 = 52222说明：本题利用轴对称性质来作图 . 常见的作图题依据着轴对称、中心对称及点的轨迹的性质来作图 .例 2 某地板厂要制作正六边形形状的地板砖，为了适应市场多样化需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6 等分，请你帮助他们设计等分图案（至少设计两种）.（ 2003 年甘肃省中考试题）分析：由题意得：本例属于等分分割图形问题，正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形 . 设计图案的关键：以正六边形的 6 个顶点和正六边形的中心为顶点分割设计成 6 等分图案 .解：（答案不惟一，在下

4、图9-2 中任选两种） .图 9-2说明：本例属于等分分割图形问题，与此例类似的如将平行四边形、 矩形、正方形分割成 4 等分等 . 这类问题解决，只有抓住被分割图形的中心及图形的顶点后，发挥个人的想象力，才能创造性地设计出图案 .例 3 如图 9-3 ，把一个等腰直角三角形ABC沿斜边上的高CD（裁剪线）剪一刀，从这个三角形中裁下一部分，与剩下部分能拼成一个平行四边形ABCD（见示意图a） .(以下探究过程中有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明.)探究一：（1）想一想判断四边形A BCD是平行四边形的依据是；（2）做一做按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（a）位置或形状不同的平行四边形，并

5、在图（ b）中画出示意图.AADDA BC(a)C(b)探究二：在直角三角形ABC中，请你找出其他的裁剪线，图9-3形 .ABBC(c)把分割成的两部分拼出不同类型的特殊四边（1）试一试你能拼得不同类型的特殊四边形有，它们的裁剪线分别是；（ 2）画一画请在图（ c）中画出一个你拼得的特殊四边形示意图.（ 2003 年浙江省丽水市中考试题）分析：探究二：本例属于分割图形后，再重新组合图形问题. 由于裁剪线的不定性，使组合图形变得更加多姿多彩. 重新组拼图形的关键是找出不同类型的特殊四边形：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形再用实验和类比的方法来寻找答案.解：探究一：AA/等） .（1） CD

6、A B（或 A D BC=(2)( 只要画出图 9-4 （ 1），（2）之一的DA D示意图 ).CBCB(2)探究二：平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形.D 三角形 ABC的中图位9-4线（或一条三角形的(1)中位线）（注：若写出直角梯形，并指出这条裁剪线是“把一条直角边分成 2 ：1 的两段，且平行于另一条直角边（或斜边）的线段” ，才算正确 . ）AAAADDDDDBCBACBC (1)(3)(2)A2 kAADCDAkBBCCC k D 2 k B(4)D(5)(6)图 9-5(2) 只要画出图 9-5 中（ 1） （ 6）之一的示意图 .说明：本例探究二中，由于裁剪线的不定性，给重

7、新组合图形留下较大的创新空间. 解答此类问题，常用的方法有实验法、分析法、类比法、联想法和验证法. 想一想：探究一中，能否拼成菱形？请说明理由 .例 4 阅读下面短文：如图9-6 （ 1）所示， ABC是直角三角形， C=900，现在 ABC补成矩形，使 ABC的两个顶点为矩形一边的两端点，第三个顶点落在矩形这一边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形 AEFB（如图 9-6 （ 2）所示） .AADEBCCBF图 9-6（ 1）图 9-6（ 2）解答问题：（ 1）设图 9-6 （ 2）所示矩形 ACBD和矩形 AEFB的面积分别为 S1、 S2，则 S1 S2（填“”、“ =

8、”、“”）（ 2）如图 9-6（ 3）所示， ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个 ，利用图9-6 （ 3）把画出来 .AABCBC9-6（ 3）图 9-6（4）（ 3）如图 9-6 （4）所示， ABC是锐角三角形三边满足BC AC AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图9-6 （ 4）把它出来 .（ 4）在（ 3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？（ 2002 年陕西省中考试题）分析：（ 2）只能以 AB 为一边，作一个矩形； （ 3）可以锐角 ABC的三边作三个矩形；（4）由（ 1）类推（ 3）中的三个矩形

9、的面积相等，设其面积为S，用 S 与 a、 b、 c 三边分别表示三个矩形的周长L 、 L 、 L ，用作差法类比三个矩形的周长的大小.123解：（ 1） S1=S2；（ 2）一个（如图9-6 （ 5）；（ 3）三个（如图9-6 （ 6）；AEDAQFBCCB图 9-6 （5）G 图 9-6（6）(4) 以 AB 为边的矩形周长最小. 设矩形 BCED、 ACHQ、 ABGFH的周长分别为L1、 L2、 L3，BC=a,AC=b,AB=c. 易知这三个矩形的面积相等. 令其面积为 S，则有，L1= 2S +2a，L2= 2S +2b，abL3= 2S +2c. L1 L 2= 2S +2a (

10、 2S +2b)=2(a b) ab S .而 abS， a b， L1 L 2cabab 0，即 L1 L 2，同理 L2 L 3.以 AB 为边的矩形周长最小 .说明：本例要求在熟悉按要求补图、组合图形的基础上，分析、归纳、类比一此量的变化 . 另外通过解答可以发现本例有三个规律：一是所画矩形个数的规律（一个、二个、三个）. 二是符合要求的矩形的面积的规律（各图中矩形面积均为原三角形面积的2 倍等）.三是矩形周长的规律（以短边为矩形一边的矩形周长最短）.例 5 已知两个等圆 O1 和 O2 相交 A、 B 两点， O1 经过 O2，点 C 是 AO2B 上任一点（不与 A、 O2、 B 重

11、合），连结 BC并延长交 O2 于 D，连结 AC、 AD.(1) 图 9-7 （ 1）供操作测量用， （测量时使用刻度尺和圆规）将图9-7 （1）按题中叙述补充完整，并观察或度量AC、CD、AD三条线段的长短，通过观察和度量，说出三条线段的长度之间存在怎样关系？(2) 猜想结论（求证部分） ，并证明你的猜想，在补充完整图9-7 （ 1）中进行证明 .(3) 如图 9-7 （ 2），若 C点是 BO2 的中点， AC与 O1O2 相交于点E. 连接 O1C、 O2C，2求证 CE= O1O2 E O2 .ADAO1O2O1 EO2CCBB(1)图 9-7(2)（ 2002 四川眉山市中考试题）

12、分析：（ 1）画图测量，易得AC=CD=AD.（ 2）欲证 ACD为正三角形，可利用圆周角定理及其推论证明ACD每一个内角都等于021221260 即可.（ 3）欲证 CE= OOE O.只需证： OOC CO2E.AD解：（ 1）补充完整图形如图9-7 （ 3），三条线段 AC、 CD、 AD相等 .O1O2（ 2）结论： ACD是正三角形 .C证明：连结 AO1、 AO2、BO2、 O1O2.B O1、 O2 是等圆，且 O1 过 O2 点，图 9-7（ 3） A O2= O1O2=A O1. AO O00=60 , AOB=120 .212 D=1 AOB=1000120 =60 . A

13、CB= AOB=120 ,22220 ACD=60. ACD是正三角形 .212020（ 3）（如图 9-7 （ 2） C是 BO的中点 , C O O=30 . ACO=30 . C O1O2= ACO2 O1O2C= CO2E O1O2C CO2E. O1O2= CO2 .O2CEO22 O1O2=O1C， O1O2 C = O1CO2= CEO2 CO2=CE. CE= O1O2 E O2.说明：本例是一道以相交两圆为背景，集操作、测量、猜想、证明于一体探究性问题,着重考查动手操作变换图形和推理论证的能力. 本例以留空回填命题的思路，解答时应顺向 逐层进行 .例 6 取一张矩形的纸进行折

14、叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形 ABCD对折，折痕为 MN，如图 9-8 （ 1）；第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN上，折痕为 AE，点 B 在 MN上的对应点为 B，得 Rt A B E，如图 9-8 （ 2）；第三步：沿E B线折叠得折痕EF，如图 9-8 （ 3）.利用展开图9-8 （ 4）探究：（1）AEF是什么三角形？证明你的结论.（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由.BCECECABECBMNFNB NMNDB DADADFFA（2）（ 3）（ 1）（4）图 9-8（ 2003 年山西省中考试题）分析：（ 1）经过操作测量易判定 AEF 是

15、正三角形 . 再运用平行线等分线段定理、直角三角形的性质来证明 AEF是正三角形；(2) 不一定 . 运用由特殊到一般的思路来解答：若矩形恰好能折出等边三角形，先找出矩形长 a 与宽 b 的关系，再按 b 3a、 322a b a 的情形分类讨论.EBC解：（ 1） AEF是正三角形 .MPB N3证法一：（如图右图）由平行线等分线段定理知：PE=PA，1A2DB P 是 Rt A B E 斜边上的中线，F PA=P B， 1=3.又 PN/AD，000 2= 3. 而 BAF=2 1+2=90 ， 1= 2=30 . 在 Rt A B E， 1+ AEF=90，00 AEF=60， EAF=

16、1+ 2=60 ， AEF是正三角形 .证法二： ABE与 A B E 完全重合， ABE A B E， BAE= 1.由平行线等分线段定理知EB =BF.又 A B E=900， AB E A B F，0AE=AF. 1= 2= 1 BAD=30. AEF是正三角形 .3（ 2）不一定 .由上推证可知当矩形的长恰好等于AEF的边 AF 时，即矩形的宽：长 AB：AF=sin60 0= 3 ：2 时正好能折出 .如果设矩形的长为a，宽为 b , 可知当 b 3 a 时，按此法一定能折出等2边三角形；当3ab a 时，按此法无法折出完整的等边三角形.2说明： 折叠图形问题， 着重考察动手操作和分

17、析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表述的数学素养等 .折叠图形的常见类型：对角线折叠问题； 角平分线折叠问题； 轴对称折叠问题；两点重合折叠问题等. 想一想本例属于哪种折叠问题？例 7 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点 A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上， OA=10，OC=6.（ 1）如图 9-9（ 1），在 OA上选取一点 G，将 COG沿 CG翻折，使点 O落在 BC边上，记为 E，求折痕 CG所在直线的解析式 .(2) 如图 9-9（2），在 OC上选取一点 D，将 AOD沿 AD翻折，使点 O落在 BC边上，记为 E . 求折痕 AD所在直线的解析式

18、.再作 E F/AB ，交 AD于点F，若抛物线y= 12x +h 过点 F，求此抛物线的解析式，12并判断它与直线AD的交点的个数 .（3）如图 9-9 （ 3），一般地，在OC、OA上选取适当的点 D、 G，使纸片沿 D G翻折后，点 O落在 BC边上，记为 E . 请你猜想：折痕 D G所在直线与中的抛物线会有什么关系？用（ 1）中的情形验证你的猜想 .yyCEBCEBDFOGAxOAx图 9-9（ 1）图 9-9（2）（ 2003 年江苏省苏州市中考试题）分析：（1）由折法易知：G（ 6， 0）、 C（ 0，6） .求得折痕CG的解析式为y=x+6；（2）由勾股定理易求得D E = 1

19、0 ，则折痕AD的3解析式为： y= 1 x+ 10 ；33由题意设F（ 2， yF ），点 F 在 AD上， F 的坐标为（yCEBDOG Ax图 9-9（ 3）2， 8），求出抛物线为y= 1 x2+3.312再联立方程组，判定直线AD与抛物线只有一个交点.解：（ 1）由折法知，四边形 OCEG是正方形， OG=OC=6， G（ 6，0）、C（ 0，6）. 设直线CG的解析式为： y=kx+b ，则 0=6k+b, 6=0+b. k= 1,b=6直线 CG的解析式为：y= x+6.(2) 在 Rt ABE中， BE= 102 62 =8， CE =2.设 OD=s，则 DE =s，CD=6

20、 s，在 Rt DCE中， s2=(6 s) 2+22, s=10 . 则 D（ 0， 10 ） .33设 AD： y=k x+ 10 . 由于它过 A（ 10， 0）， k = 1 . AD： y= 1 x+ 10 .3333 E F/AB, E (2,6) , 设 F（2， yF）， F 在 AD上， yF= 1 2+ 10= 8 ，333F（ 2， 8） . 又 F 在抛物线上，8 = 1 22+h.抛物线的解析式为：y= 1x2 +3.331212将 y= 1 x+ 10代入 y= 1 x2+3.得 1 x2+ 1 x 1 =0. =( 1 ) 2 4 ( 1) ( 331212333

21、121 )=0. 直线 AD与抛物线只一个交点 .3（3）例如可以猜想： 折痕所在直线与抛物线y= 1 x2+3 只有一个交点； 验证：在图 1中12折痕为 CG. 将 y= x+6 代入 y= 1x2+3. 得 1 x2+x3=0.1212 =1 4 ( 3) ( 1)=0,折痕CG所在直线的确与抛物线y=1 x2+3只有一个交1212点.说明：本例在直角坐标系中， 以轴对称折叠为变化情境，探究折痕的动态变化，变化，并用特殊的（ 1）中的情形加以验证 . 若不用（ 1）中的情形验证，请猜想：在直线与中的抛物线会有什么位置关系？引其函数D G所【习题9】1 只利用一把有刻度的直尺，用度量的方法

22、，按下列要求画图：（ 1）在图9-10 （ 1）中用下面的方法画等腰三角形ABC的对称轴：量出底边BC的长度，将线段BC二等分，即画出BC的中点D；画直线AD，即画出等腰三角形ABC的对称轴.（ 2）在图9-10 （ 2） 中画出AOB的对称轴，并写出画图和方法.ABOBCA图 9-10（2）图 9-10（1）（ 2003 年江苏省南京市中考试题）2如图 9-11 ，107 国道 OA和国道 OB在我市相交于 O点，在 AOB的内部有工厂C和 D，现要修建一个货站P，使 P 到 OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺规作货站P 的位置（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） .A107 国道(20

23、03 年湖南省湘谭市中考试题 )DOC 图 9-113. 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图9-12 ），现找出其中的一种，320 国道B测得 C=900，AB=BC=4.今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在 ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其他边相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）.A（ 2002 年湖北省黄冈市中考试题）CB图 9-124. 如图 9-13 ，有两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草. 下面左边的两个图案是设计示例，请你在右面

24、的两个正方形中设计两个不同的图案.示例：请你设计：图 9-13（ 2003 年江苏省苏州市中考试题）05.已知，如图9-14 ， ABC中， AB=AC， A=36 .仿照图（ a），请你再设计两种不同的分法，将ABC分割成 3 个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形 . (图（ b）、图 (c) 供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出 所分得的每个等腰三角形三个内角的度数).（ 2003 年江苏省镇江市中考试题）AAA360360360(a)B36036036010803600072 72(b)(c)CBCCB图 9-14如图 9-15 ，把一个边长为 2cm 的的正方

25、形剪成四个全等的直角三角形 . 请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙） ，并把你的拼法仿照右图按实际大小画在方格纸内（方格为1cm 1cm） .(1) 不是正方形的菱形（一个） ；（ 2）不是正方形的矩形（一个） .(3) 梯形（一个） . (4)不是矩形和菱形的平行四边形（一个）(5) 不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）.11图 9-157. 已知， AB为 O的直径， P 为 AB 延长上的一个动点，过点P 作 O的切线 , 设切点为 C.（ 1） 当点 P 在 AB延长线上， 如图 9-16（ 1）时，连结 AC，作 APC的平分线， 交 AC于

26、D，请你测量 CDP的度数 .（2）当点 P 在 AB 延长线上，如图9-16 （2）和（ 3）所示时，连结AC，请你分别在这两个圆中用尺规作 APC的平分线 （不写作法， 保留痕迹），设此角平分线交AC于点 D，然后在这两个图中分别测量出CDP的度数 .猜想： CDP的度数是否随点P 在 AB延长线上位置的变化而变化？请对你加以证明.CCDCDPPAAAD BBOOBPO(3)(2)(1)图 9-16（ 2002 年北京市要城区中考试题）8. 操作：如图 9-17 ，在正方形 ABCD中， P 是 CD上一动点（与 C、 D 不重合），使三角尺的直角顶点与 P 重合，并且一条直角边始终经过点

27、B，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E. 探究：（1）观察操作结果，哪一个三角AD形与 BPC相似？并证明你的结论；（2）当点 P 位于 CD的中点时，你找到的三角形与BPC的周长比是多少？（2003 年云南省昆明市中考试题）BC图 9-17【习题 9】参考答案1（ 1）略；（ 2）画图略 . 画图方法：利用有刻度的直尺，在AOB的边 OA、 OB上分别截取 OC、 OD，使 OC=OD.连结 CD，量出 CD的长，将线段CD二等分，画出线段 CD的中点 E.画直线 OE.直线 OE即为 AOB的对称轴 .2 画图略 . 提示：作 AOB的平分线 OP，再作 CD的垂直平分线PQ与 OP相交于点 P.点 P 就是货站的位置 .3 通过观察、分析，符合题目要求的方案可以设计出如图9-19所示的四种方案 .AAAADDOB CCBCBOCBr1=2 2r2=4r4=2r3=42 44（任选图 9-19中两个图案，答案不惟一 . ）图 9