20平面几何证明.

1、20平面几何证明 1. 线段或角相等的证明 (1) 利用全等或相似多边形; (2) 利用等腰； (3) 利用平行四边形; (4) 利用等量代换; (5) 利用平行线的性质或利用比例关系 (6) 利用圆中的等量关系等。 2. 线段或角的和差倍分的证明 (1)转化为相等问题。如要证明 a=bc,可以先作出线段P=bc,再去证明a=p, 即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。 (2)直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt斜边上的中线等于斜边的一半; 的外角等于不相邻的内角之和；圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3. 两线平行与垂直的证明 (1)利用两线平行与垂直的判定定理。 (2)利用平行四边

2、形的性质可证明平行；利用等腰的“三线合一”可证明垂直。 (3)利用比例关系可证明平行；利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。 例题讲解 P 1 .从O0外一点P向圆引两条切线PA PB和割线PCD从A点作弦AE平行于CD, 连结BE交CD于 F。求证：BE平分CD 2. ABC内接于O 0, P是弧AB上的一点，过P作OA 0B的垂线, 交于S、T，AB交于M N。求证： PM二M充要条件是PN二NT 与AC BC分别 3.已知A为平面上两半径不等的圆 QQ分别切两圆于 Pi、P2、Q、Q, /OiA0=/MiAM。 0和02的一个交点，两外公切线 M、M分别为PiQ、F2Q2的中点。求证: P1

3、P2、 图2 A 4. 在 ABC中，ABAC/A的外角平分线交 ABC的外接圆于 D, DEL AB于E, AS-AC 证：AE= 2 K 引/ ABC平 5. /ABC的顶点B在O0夕卜，BA BC均与O0相交，过BA与圆的交点 分线的垂线，交O0于P,交BC于 M 求证：线段PM为圆心到/ ABC平分线距离的2倍。 6. 在ABC中，AP为/A的平分线，AM为BC边上的中线，过 B作BHLAP于H, AM 的延长线交BH于Q,求证：PQ/ AB 在EF与GH上分别作OO的 交DA于Q。 7. 菱形ABCD勺内切圆0与各边分别切于 E、F、G H, 切线交AB于M交BC于N,交CD于 P,

4、 求证：MQ/ NR D P, M N分别是 AD BC的中点, 图8 8 ABCD是圆内接四边形，其对角线交于 分别作BD AC的垂线交于K。求证：KPLAB 求证：AML BC 9.以 ABC的边BC为直径作半圆，与 AB AC分别交于点D E。过D E作BC的垂 线，垂足分别是F、G线段DG EF交于点M。 例题答案: 1.分析1:构造两个全等 连结 ED AG AF。 CF=DF- ACFA EDF- AC= E-D ZACF=ZEDF k jAE/yCD ZEFD=ZAEF = ZABP _FC = /EFDi ZAFC = ZAB Pj扎 F 良P四点共圆J / PAB2 AEB2

5、 PFB 分析2:利用圆中的等量关系。连结 OF OP OB ZOBP= 90* 0、F、Bs P四点共fflj zTPFB = ZAEB AEZ/CD ZPOE AEBj PAx PE基切线 注：连结OR OA OF 证明A、O F、R四点共圆亦可。 P M _ TN 2.分析：只需证丽二丽， PM- PN=MS NT。 (/ 1=/ 2,/ 3=/APMhPBN PM _ AM BM PN PM- PN二AM BN A (/ BNT/ AMS / BTN/ masBNPASMA MS AM BN NT MS NT=AM BN 3.分析：设B为两圆的另一交点，连结并 延长BA交PiF2于C,

6、交QQ于M,则C为 PiP2 的中点,且 PiM/ CM/P2M ,故 CM为 MiM 的中垂线。 w 图3 c iro_ W ffl 3-1 2? 在 OM上截取 MG=MO,则/MiAO二/M2AQ。 故只需证/O iAM=/O3AM,即证A6 叫6。 由PiQMSP2QM, MIQ二MO, QPi=QA, QP2=QA可得。 E 4 图4*2 4. 分 析: 方 法 1、 2AE =AB -AC 在BE上截取EF=AE只需证BF二AC连结DC DB DE从而只需证 DBFA DCA DF=DA / DBF/ DCA / DFB/ DAC / DFA/ DAF/ DAG 方法2、延长CA至

7、G,使AG=AE则只需 证 BE=CG J连结DG DC DB则只需证 DBEA DCG J DE=DG / DBEK DCG / DEBK DGC=Rt。 0 5.分 析：若 角平分 线过O, 则P、M 重合， PM=0 结论显 然成 立。 圏5-1 HV M k. S d-1 S 6-2 若角平分线不过 O,则延长DO至D ，使OD =OD则只需证DD =PM连结D P、 DM则只需证DMP为平行四边形。 过 O作 mPK 贝y D 範rn 3 D ,K （叫、P,；/ DPKKDKP BL平分/ ABC MKL BLBL 为 MK的中垂线DKBh DMK /./ D PK=Z DM,.D

8、 P/ DM 而 D D / PM DMP为平行四边形。 6. 分析：方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。 倍长中线：延长 AM至 M，使AM二M，连结BA，如图6-1。 PM _ QM MB+ PM MA+ QM BP AQ PQ/ AA 旋一 MAMA- QM PC AC ZABQ-ZABQ 3 Ab / A BQ=180 -( / HBA/ BAH/ CAP )=180 -90 - / CAP=90 - / BAP/ ABQ 方法2、结合角平分线和BHL AH联想对称知识。 延长BH交AC的延长线于B,如图6-2。则H为BB 的中点，因为M为BC的中点， 连结HM则HM

9、/Bc。延长HM交AB于O,则O为AB的中点。延长MOg M，使OM =OM 连结M A M B,则AM BM是平行四边形， HP HM HQ MP/ AM, QW BM。于是，PA MM QB ,所以 pQ/ ab, 7. 分析：由AB/ CD知：要证 MQ NP只需证/ AMQ/CPN AM CP 结合/ A=/C 知，只需证 AMQA CPN-蠹Q, aM- CN=AQ CR 连结AC BD其交点为内切圆心 O。设MN与OO切于K,连结OE OM OK ON OF。 记/ABO,/ MOK= , / KON节，贝U / EOM=，/ FON申，/ EOF二a +20 =180-2。 /.

10、/ BON=90 - / NOF / COF=90 - 0 - 二 a /./ CNO/ NBO/ NOB +a =/AOE/ MOE/ AOM AM _ AQ 又/OCN/MAO OCNA MAO 于是 C。 CM AM- CN=AO CO 同理，AQ- CP=AO CO 8. 分析：延长KP交AB于L,则只需证/ PAL+/ APL=90 , 即只需证/ PDCXKPC=90，只需证/ PDCNPKF 因为P、F、 K、E四点共圆，故只需证/ PDCN PEF即EF/ DC DE DP DE DA 2DM DE DM FC CP FC CB 2CN FC CM DMSA CNF 合。 设 AHL BC于 O, DG AH交于M, EF、AH交于 M。 下面证M、M重 9.分析：连结 BE、CD交于H,