结构力学教学课件-10-2结构动力响应

1、东南大学土木工程学院东南大学土木工程学院 Sep 2013 结构力学结构力学( (二二) ) 第1章 结构动力响应分析 主讲教师：郭 彤 上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念 定义：结构在大小、方向和作用点随时间变化的荷载作用下，质量运动加速度所引起的惯 性力（inertia force）和荷载相比大到不可忽视时，则把这种荷载称为动荷载（dynamic load）。 上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的

2、分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念 单自由度体系的力学模型单自由度体系的力学模型 上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念 定义在振动过程的任一时刻，确定体系全部质量 位置或变形状态所需的独立参数个数，称为体系体系 的自由度的自由度（degreeoffreedom，简记为DOF）。 振动自由度的求法附加支杆振动自由度的求法附加支杆

3、上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念 集中质量法; 位移模式法; 有限单元法 上节课内容回顾上节课内容回顾 动荷载的定义动荷载的定义 动荷载的分类动荷载的分类 动力自由度的概念动力自由度的概念 动力自由度的离散方法动力自由度的离散方法 频率、振型和阻尼的概念频率、振型和阻尼的概念 振动方程的建立 在结构动力分析中，首先需要建立描述体 系所有质量运动的方程即体系质量运动的 数学方程，称为体系的运动方程 （equationofmoti

4、on）。该方程的解答给 出了各自由度方向位移随时间的变化规律。 振动方程的建立 直接平衡法（directequilibriummethod）：该法根据达朗达朗 伯尔原理伯尔原理（dAlembertprinciple）和所采用的阻尼理论阻尼理论， 将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结 构上的动荷载，结果使动力问题动力问题转化成任一时刻都动平衡 的静力问题静力问题，此即理论力学中的动静法动静法。利用动静法，建 立体系的运动方程与静力学中建立平衡方程相似，即作用 于质量上的所有力保持平衡；另外，当要进行体系在动荷 载、惯性力和阻尼力作用下的位移和内力等响应计算时， 按动平衡概念，仍采用

5、结构静力学方法计算。 虚功法（virtualworkmethod） 变分法（variationmethod） 振动方程的建立 10.2.1单自由度体系的力学模型 任何振动系统一般都含有三个组成部分：质量系统、弹性 系统和阻尼系统。 质量体系) 1 )( 2 1 )(F 2 I tymT tym 惯性力 弹性体系)2 )(F S tky 振动方程的建立 10.2.1单自由度体系的力学模型 阻尼体系) 3 )(F D ty c 1 m 时间长度力 力单位速度移动时所受阻 以阻尼常数，表示质点c 阻尼系统弹簧质量 振动方程的建立 以质量为m的隔离体作为研究对象，所受力为重力G和动 载荷,弹性回复力和

6、粘滞阻尼力，以及假想 作用于其上的惯性力。 )(tFP)(tFS )(tFD )(tFI 0)(GtFFFF PSDI st kG st 若用表示由重力G引起的静位移， 即 )(tY st tytY)()( 则质量m沿自由度方向的总位移 可表示为 振动方程的建立 GtkytkYF tyctYcF tymtYmF S D I )()( )()( )()( 代入式（a），即得单自由度体系的振动微分方程如下： )()()()(tFtkytyctym P )()()( 1 )(tyctymtF k ty P )()( DIP FFFty 基底运动的影响 )()()(tyttY )(tycFD 0 SD

7、I FFF )()(tymtmFI )(tkyFS 惯性力和弹性力分别是 )()()()(tFtkytyctym P 代入平衡条件，得单自由度体系在基底运动下的振动方程 )()(tmtFP 其中 基底作水平运动时，对体系的作用效果相当 于在运动质量上沿加速度相反方向施加一个 等效水平力，振动方程的形式不变。 10.3 单自由度体系的自由振动 自由振动方程及其试解 0)()()(tkytyctym m k 2 c m 0)()(2)( 2 tytyty ( ) t y tGe （试解） 02 22 1 1 2 2 2 1 （1）低阻尼和无阻尼 （2）临界阻尼 （3）超阻尼 0, 1 1 1 10

8、.3 单自由度体系的自由振动 10.3.2低阻尼和无阻尼体系 22 11 i i )()( 11 21 titit eGeGety 为正实数，有）（或当 1 ,01 2 1 1 得振动方程的通解： 利用欧拉公式 tite ti 11 sincos 1 )cossin()( 11 tBtAety t 1 ( )sin() t y tCet 或 22 arctan CAB B A 10.3 单自由度体系的自由振动 10.3.2低阻尼和无阻尼体系 0 0 0 0 )(;)(ytyyty tt 利用上述初始条件，确定待定常数为 0 1 00 yB yy A 22 00 0 1 10 00 () arc

9、tan yy Cy y yy t yy tyety t 1 1 00 10 sin)(cos)( 10.3 单自由度体系的自由振动 10.3.2低阻尼和无阻尼体系 初始时刻只有初速度而无初位移 t y ety t 1 1 0 sin)( 初始时刻只有初位移而无初速度 tteyty t 1 2 10 sin 1 cos)( t yy tyety t 1 1 00 10 sin)(cos)( 10.3 单自由度体系的自由振动 10.3.2低阻尼和无阻尼体系 无阻尼体系0 （1）当初速度和初位移均不为零 t y tyty sincos)( 0 0 或其中 ( )sin()y tCt 22 0 0 1

10、 0 0 () arctan y Cy y y t yy tyety t 1 1 00 10 sin)(cos)( 10.3 单自由度体系的自由振动 10.3.2低阻尼和无阻尼体系 无阻尼体系 0 （2）当初位移为零，初速度不为零 t y ty sin)( 0 tytycos)( 0 （3）当初速度为零，初位移不为零 t y tyty sincos)( 0 0 t y tyty sincos)( 0 0 t yy tyety t 1 1 00 10 sin)(cos)( 周期性简谐振动曲线 条由振动的位移曲线是一低阻尼和无阻尼体系自 22 1 1 TT 2 1 1 阻尼的存在将拉长衰减振动的周

11、期 mm k1 k m T 2 2 T f 1 单自由度体系的自由振动几点结论 （1）运动的初始 条件唯一地决定振 幅C和相位；初 始条件不同，位移 响应曲线可能是单 一的余弦形式、正 弦形式或两者的叠 加 2.01.61.20.80.4 0 6 3 0 -3 -6 2.4 t y(t) tyt y ty cossin)( 0 0 t y ty sin)( 0 tytycos)( 0 22 0 0 1 0 0 () arctan y Cy y y 单自由度体系的自由振动几点结论 （2）自振周期或频率只取决于体系的质量和刚 度，是不受运动初始条件和外界干扰影响的不 变量；它是振动体系的固有属性，

12、有时也称体 系的等时性； （3）体系的质量越大，自振频率越低，自振周 期越长；体系的刚度越大，自振频率越高，自振 周期越短 k m T 2 2 T f 1 0246810 -4 -2 0 2 4 y(t) t =0.05 05. 0, 0y 0,y (a) 00 例10-1求质量-弹簧系统的等效刚度系数k (a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧 1 1 2 k3 k2 k1 k1 k2 k1 k2k3 m m m (t)y (t)y (t)y 1 y(t) 2 y(t) 自由振动方程为 贝尔原理，其的并联体系，根据达伦对于图a 0 21 tykkty m 21 kkk等效刚度系数 r kk

13、kk r 21 ，其等效刚度系数根弹簧组成的并联系统对于由 (a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧 1 1 2 k3 k2 k1 k1 k2 k1 k2k3 m m m (t)y (t)y (t)y 1 y(t) 2 y(t) 动方程为的串联体系，其自由振对于图b 0 11 yykty m 1 21 111 n kkk k r ，其等效刚度系数根弹簧组成的串联系统对于由 的平衡条件和节点根据节点21 23112 21211 ykyyk yykyyk y kkkkkk kkkk y 323121 3121 1 0 323121 321 ty kkkkkk kkk ty m 0 111 1 3

14、21 ty kkk ty m (a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧 1 1 2 k3 k2 k1 k1 k2 k1 k2k3 m m m (t)y (t)y (t)y 1 y(t) 2 y(t) 1 2121 1111 rnnnn kkkkkk k nr 系数混联系统，其等效刚度 根串联弹簧组成的根并联弹簧对于由 (a)并联弹簧(b)串联弹簧(c)混联弹簧 1 1 2 k3 k2 k1 k1 k2 k1 k2k3 m m m (t)y (t)y (t)y 1 y(t) 2 y(t) 例例10-210-2求单自由度体系的自振频率和自振周期求单自由度体系的自振频率和自振周期 不计梁的自重 立

15、柱的轴向刚度跨度 ,8 . 9 ;2,.432000 2 NW EAmlmNEI 4 k 3 k 1 k 2 k W llll EA EAEA EI EIEI EI W 混联系统 33 3 3 421 6 2 48 3 l EI l EI k l EI kkk 1 4 123 3 11 6 kk kkk EI l 等效刚度系数： srad W g l EI m k /18 6 3 0.35s 2 T Hz T f865. 2 1 10.3.3 临界阻尼体系 0 无阻尼体系临界阻尼体系当1 21 0)()(2)( 2 tytyty )()( 21 tGGety t 0 0 0 0 )(;)(ytyyty tt )36.10(1)( 00 btyytety t 1.51.20.90.60.30 4 3 2 1 0 y(t) t 1 =1 1, 1, 0y 0,y (b) 00 10.3.4 超阻尼体系 1, 超阻尼体系02 22 22 21 两个不等的实根： )()( 22 21 ttt eGeGety 1 2 2 )sinh(cosh 22 2 tte t )()