大学物理：力学8振动

1、振动 振动 周而复始循环往复的运动，被统称为振动。 振动是一种普遍存在的运动形式，弹簧振子、 钟摆等的机械振动；交流电路中电压、电流的周期 性变化是电磁振动；固体物理学中晶格中的热振动。 这些周期性变化的物理量，不仅限于力学范畴中的 机械位移，但描述这些物理量的数学方法、形式乃 至结果，均有着极大的相似性与可类比性。因此对 直观的机械振动的研究，将为我们掌握振动这一类 运动形式打下坚实的基础。 简谐振动 质点的运动遵从余弦（或正弦）规律时，其运 动形式为简谐振动。 t x o x x O kx t x mF- 2 2 d d 弹簧振子 一根轻弹簧和一个质点构成的一个振动系统。 胡克定律：胡克定

2、律： 牛顿第二定律：牛顿第二定律： kxF- x m k t x - 2 2 d d x m k t x - 2 2 d d m k x t x 2 - 2 2 d d )cos()(tAtx 令： 振子的固有角频率， 单位rad/s（弧度/s） 通解形式： 振幅A，表示振动的最大位移是A t ：t时刻的相位。 ：t=0时刻的相位， 称为初相位，用于刻画振动的初始状态。 0 0 2 2 0 2 0 arctan , x vv xA sin d d cos 0 0 0 A t x v Ax t k m T2 2 m k T f 2 1 2 1 周期： 频率： )2cos()( ) 2 cos()

3、( )cos()( ftAtx t T Atx tAtx 旋转振幅矢量 匀速旋转的矢量A在x轴上 的投影点 P 的运动规律： )cos(tAx 投影点P 的运动与 简谐振动的运动规律 相同。 P0 P P A x t 参考圆 tx图图 tv 图图 ta图图 T A A 2 A 2 A x v a t t t A A o o o T T )cos(tAx )sin(tAv )cos( 2 tAa t x v d d t v a d d km 2 )(sin 2 1 2 1 2222 k tAmmvE振子动能： )(cos 2 1 2 1 222 p tkAkxE振子势能： 222 2 1 2 1

4、 AmkAE 总能量： pk EEE )cos(tAx )sin( d d tA t x v 振子的能量 O )(sin 2 1 2 1 2222 k tAmmvE )(cos 2 1 2 1 222 p tkAkxE t x )cos(tAx O Ek t E Ep 2 2 1 kAE 2 2 d d sin t Imgr C 令： I mgr C 2 得：0sin d d 2 2 2 t 例：复摆的简谐近似 如图所示，一刚体绕过O的垂直于纸 面的轴转动，满足转动定律： O rC C ! 5! 3 sin 53 由于 很小，略去 3以上各项，则sin 0sin d d 2 2 2 t 0 d

5、 d 2 2 2 t 解为：)cos( 0 t 相应的角频率： I mgr C 或从机械能守恒： )cos1 () d d ( 2 1 2 C mgr t IE 解为：)cos( 0 t 0sin d d d d d d 2 2 t mgr tt I C 0 d d 2 2 I mgr t C 两边对时间 t 求一阶导数： 0sin d d 2 2 I mgr t C O rC C I mgr C sin 例：两个相同的固定点电荷Q之间有一个同性的质量为m 的点电荷q，分析电荷q小幅偏离中心位置的运动状态。 QQ aaOx ax 22 )()(xa Qq k xa Qq kFx 为线性回复力，

6、故电荷q做简谐运动，其固有角频率 x a Qq k a x a x a Qq kFx 3 22 2 411 3 4 ma kQq naa n 1)1 ( q 例：半径为 r 的小球在半径为R的半 球形大碗内作小角度纯滚动，大碗 固定在地面上。这种运动是简谐振 动吗？如果是，求出它的周期。 设小球质心速度vC，角速度 机械能守恒EImvrRmg CC 22 2 1 2 1 )cos1)( 2 5 2 mrIC )(rRvC C vr 两边对t求导 0sin )(7 5 rR g 其中 小角度时的周期 g rR T 5 )(7 2 2 （纯滚动条件） 多自由度保守系的振动：双振子 一劲度系数为k的

7、弹簧，两端连接质量分别为m1、m2的物 体，即为双振子模型。这种模型常用于研究双原子分子 的热振动现象，比如H2、N2、O2等。这类双振子的振动， 可近似为由一弹性力维系的具有一个本征频率的振动。 设坐标轴为x轴，弹簧自然状态时m1、m2所在处分别为平 衡点O1、O2。振动时m1相对平衡点O1的位移为x1 ， m2相 对平衡点O2的位移为x2。由此建立动力学方程组。 m2m1 xO2O1x1x2 k 多自由度保守系的振动：双振子 m1、m2的振动具有相同的固有角频率，这个固有角 频率即为双振子系统的本征角频率，我们通常将这种 振动的状态称为简正模式。 )( d d )( d d 12 2 2

8、2 2 21 2 1 2 1 xxk t x m xxk t x m m2m1 xO2O1x1x2 k 实际振动是简正模式的叠加实际振动是简正模式的叠加 多自由度保守系的振动：双振子 )( d d )( d d 12 2 2 2 2 21 2 1 2 1 xxk t x m xxk t x m )()()( 21212121 xxkmmxxmm 令： 21 xxy y k y 21 21 mm mm k mm kmm 21 21 )( 折合质量折合质量 多自由度保守系的振动：双振子 假设稳定模式下m1、m2的运动方程： 将运动方程代入动力学方程组中，可以得到： )( d d )( d d 12

9、 2 2 2 2 21 2 1 2 1 xxk t x m xxk t x m tAx tAx cos cos 22 11 )( )( 12 2 22 21 2 11 AAkAm AAkAm 多自由度保守系的振动：双振子 将其整理为关于振幅的代数方程组： 若要使振幅具有非零解，上述方程组的系数行列式为 零，即： 展开为： )( )( 12 2 22 21 2 11 AAkAm AAkAm 0)( 0)( 2 2 21 21 2 1 AmkkA kAAmk 0 2 2 2 1 mkk kmk 0)( 22 2 2 1 kmkmk 相关内容可自学高等数学 中有关线性代数部分内容 多自由度保守系的振

10、动：双振子 由此解得： 其中1=0表示系统整体刚性平动，而2才是实际振动。 再将2代入振幅方程组，得到振幅关系： 0)( 22 2 2 1 kmkmk 为约化质量其中， 21 21 21 21 2 1 )( 0 mm mmk mm kmm 1 2 2 1 m m A A 多自由度保守系的振动：耦合双振子 弹簧k1联系的m1与k2联系的m2之间，由弹簧k牵连，形 成一耦合双振子系统。 仍旧设坐标轴为x轴，弹簧自然状态时m1、m2所在处分 别为平衡点O1、O2。振动时m1相对平衡点O1的位移为 x1 ， m2相对平衡点O2的位移为x2。由此建立动力学方 程组： m2m1 xO2O1x1x2 kk1

11、k2 )( d d )( d d 1222 2 2 2 2 2111 2 1 2 1 xxkxk t x m xxkxk t x m 多自由度保守系的振动：耦合双振子 同样设简正模式下m1、m2的运动方程分别为： 代入动力学方程组，可以得到关于振幅的代数方程组： 振幅具有非零解即上述方程组的系数行列式为零： tAx tAx cos cos 22 11 0)( 0)( 2 2 221 21 2 11 AmkkkA kAAmkk 0 2 22 2 11 mkkk kmkk 多自由度保守系的振动：耦合双振子 展开为： 为了便于理解，我们考虑这种情况，k1=k2=k， m1=m2=m，上式即简化为：

12、解得： 0 2 22 2 11 mkkk kmkk 0)( 22 22 2 11 kmkkmkk 0)2( 222 kmk m k m k 3 2 1 多自由度保守系的振动：耦合双振子 相应的振幅之比为： 由此，耦合双振子系统存在两种简正振动模式： 或： mk mk mk k A A /3 1 / 1 2 2 1 2 2 1 当， 当， tAtx tAtx 12 11 cos)( cos)( tAtx tAtx 22 21 cos)( cos)( 多自由度保守系的振动：三振子 类似于CO2这类双原子分子，即碳原子居中，两侧对 置着氧原子，我们将其力学模型抽象为三振子系统， 即中间物体M两侧连接

13、着两个劲度系数为k的弹簧，两 弹簧另一侧连接物体m。 设物体坐标轴为x轴，弹簧自然状态时两侧物体m所在 处为平衡点O。依旧按照设位移函数建立动力学方 程组设简正模式化振幅方程组解本征频率解 振幅比的思路求解。 mMm xOO kk 多自由度保守系的振动：三振子 动力学方程组： )( d d )()( d d )( d d 23 2 3 2 3212 2 2 2 21 2 1 2 xxk t x m xxkxxk t x M xxk t x m mMm xOO kk 多自由度保守系的振动：三振子 简正模式： 代入动力学方程组后得到振幅方程组： 0)( 0)2( 0)( 3 2 2 32 2 1

14、21 2 AkmkA kAAkMkA kAAkm tAx tAx tAx cos cos cos 23 22 11 多自由度保守系的振动：三振子 使振幅具有非零解的系数行列式为零： 即： 解得： 0 0 2 0 2 2 2 kmk kkMk kkm 0)(2)2()( 22222 kkmkMkm 2313 2312 3211 2 2 0 0 A m M AA Mm mMk AAA m k AAA ， ， ， 耦合三振子 耦合三振子的简正模式（横向） 简谐振动的复数表示 对于一维简谐振子，我们考虑其动力学方程： 我们将 代入方程，发现这种形式也是方程 的解。而式中的A、分别对应振动的振幅、固有

15、角频率和初相位。 利用欧拉公式 ，我们将 展 开为： 可知其实部对应实际振动的位移x(t)。 m k x t x 0 d d 2 2 ， 2 )( i e)( t Atx xx x sinicosei )( i e)( t Atx )sin(i)cos(e)( )( i tAtAAtx t 简谐振动的复数表示 利用复数形式表示振动具有求导、积分、求模（振幅） 等计算方面的便利性。 振动位移 振动速度 振动加速度 振幅（求模） )( i e)( t Atx )( i ei d d )( t A t x tv )( i2 e- d d )( t A t v ta AAAtxtxA tt )(-i)

16、( i* ee)( )( 阻尼振动 保守振动系统是理想情况，实际中总是存在阻力。在 有阻力的情况下，振动系统的动力学方程迎修改为： f对应着阻力项，其方向与速度v方向总是相反，在一 定条件下（如低雷诺数的流体中）是速度v的线性函数， 即： 动力学方程为： fkx t x mF- 2 2 d d t x vf d d t x kx t x m d d d d 2 2 - 阻尼振动 令 ， 运动学方程可写为： 将 代入方程，可得： 要使 有非零解， t x kx t x m d d d d 2 2 - m k 0 m 2 0 d d 2 d d 2 0 2 2 x t x t x )( i 0e

17、)( t Atx 0e)2i( )( i 0 2 0 2 t A )( i 0e t A02i 2 0 2 阻尼振动 解得： （1） ， ，为复数，其实部对应振动 频率，虚部对应衰减。考虑到实际振动频率为正值， 因此取 ，运动方程为： 反映其实际运动的实部 02i 2 0 2 i 22 0 22 0 0 22 0 i 22 0 )( i 0 )i(i 0 22 0 22 0 eee)( t t t AAtx )cos(e)( 22 00 tAtx t 阻尼振动 固有角频率： 固有周期： 振幅随时间的衰减： )cos(e)( 22 00 tAtx t t x o A0 t eA 0 T 2 2

18、2 22 0 m k 2 2 222 0 222 m k T t AtA e)( 0 阻尼振动 （2） ， ， 为纯虚数， 其实部为零即没有振动项，故实际运动为物体从初始 位置开始向平衡位置缓慢移动，但还未到达平衡位置 其能量已耗散殆尽，最终未能越过平衡位置完成往复。 这种情况称之为过阻尼，其运动方程： i 22 0 22 0 0 22 0 )i( 2 0 2 tt AAtx )( 2 )( 1 2 0 22 0 2 ee)( t x o 阻尼振动 （3） ， ， 为阻尼振动和过 阻尼状态的临界点。这重情况下物体从初始位置开始 向平衡位置移动，刚到达平衡位置时其能量即耗散殆 尽，最终未能越过平

19、衡位置完成往复。这种状态称之 为临界阻尼。 i 22 0 22 0 0 22 0 i 21 t tAAtx )e()( 21 t x o 受迫振动 由刚才阻尼振动的讨论中我们可以知道，若没有外部 能源，具有耗散的振动系统是不能持久的。现在我们 讨论系统在周期性外力驱动下的振动，我们将这个周 期性外力称为策动力，其表示形式为： 相应的动力学方程演变为： 令 ， ， ，将动力学方程化为： tFfcos tF t x kx t x mcos d d d d 2 2 - m k 0 m 2 m F C 受迫振动 将运动学方程写成复数形式，可得： 观察上式，认为振动频率与策动力频率相同是合理的， 因此将

20、 代入方程，有： 解得： tCx t x t x cos d d 2 d d 2 0 2 2 t Cx t x t x i2 0 2 2 e d d 2 d d )( i 0e )( t Atx t Cx i2 0 2 e )i 2( t C tx i 22 0 e i 2)( )( 受迫振动：位移共振 得到： 振幅A关于策动频率的函数图象为： )( 2 tan 4)( 22 0 22222 0 * C xxxA o A 1 / 0 无阻尼 阻尼较小 阻尼较大 可以发现，无论取还 是0作为变量，振幅随 频率都有极大值，这种 现象称之为共振。 受迫振动：位移共振 根据位移振幅关于角频率的响应：

21、在dA/d=0时我们能够得到相应的共振峰位： 在弱阻尼条件下，即 有： 22222 0 * 4)( C xxxA 22 0 max 22 0 22 2 C A 2 0 2 0 max 0 2 C A 受迫振动：速度共振 受迫振动的运动方程： 将其对时间t求导可得速度随时间的函数： 利用欧拉公式 ， 上式的意义是速度幅值在数值上和位移振幅具有关系 ，而速度的相位相比位移滞后/2，即 t C tx i 22 0 e i 2)( )( )( i d )( d )( tx t tx tv 2/i ei 2/i e )( )( txtv Av 2 v 受迫振动：速度共振 速度幅值随频率的变化关系： 速度

22、幅值v关于策动频率的函数图象为： )( 2 arctan 2 4)( 22 0 22222 0 v C Av 同样在dv/d=0时我们能够 得到相应的共振峰位： 2 max 0 C V v o 1 / 0 =(2 t+ 2)-(1 t+ 1) 相位差 对两同频率的谐振动 =2-1 同相和反相 当 = 2k ， ( k =0, 1, )，两振动步调相同，称同相 当 = (2k+1) ，( k =0, 1,)， 两振动步调相反，称反相 o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T 同相 t xx o A1 -A1 A2 - A2 x1 x2 T t 反相 同频率平行简谐振动的合成 若一个质点同

23、时参与两个同频率且方向平行的简谐振 动，即： 其合振动： 其中： )cos( ),cos( 222111 tAxtAx )cos( )cos()cos( 2211 tA tAtAx 2211 2211 1221 2 2 2 1 coscos sinsin tan )cos(2 AA AA AAAAA 同频率平行简谐振动的合成 （1）当 时， （2）当 时， 2211 2211 1221 2 2 2 1 2211 coscos sinsin tan )cos(2 )cos()cos()cos( AA AA AAAAA tAtAtAx ），（2 1 0 2 12 kkkk 2121 2 2 2 1

24、 2AAAAAAA ），（2 1 0 ) 12( 12 kkkk 2121 2 2 2 1 2AAAAAAA 不同频率平行简谐振动的合成：拍 若一个质点同时参与两个方向平行但是不同频率的简 谐振动，即： 为简化问题，我们假设两个振动的振幅和初相位相同： 利用和差化积公式： )cos( ),cos( 22221111 tAxtAx ttAxxx 2 cos 2 cos2 1212 21 )cos( ),cos( 2211 tAxtAx 不同频率平行简谐振动的合成：拍 合振动包含一个随t变化较慢的余弦因子 和一个随t变化较快的余弦因子 。 令 ： 其意义为一个高频合振动的振幅作低频变化。 ttAxxx 2 cos