大学物理：力学4能量

1、能量 t mm d dv aF 2 d 2 1 d d d dd d d dvmm t m t mvv r vr v rF 2 222 d 2 1 )ddd( 2 1 ddd )ddd()(d v vvvvvvvvv vvvvvv zyxzzyyxx zyxzyx kjikjivv 牛顿第二定律牛顿第二定律 vv v d d)d(d 2 1 )d( 2 1 d 2 1 2 vvvvvvvv 2 d 2 1 dvm rF 222 2 1 2 1 d 2 1 d ab b a b a mvmvvm rF 定义：定义： rF ddA b a ArF d功功动能动能 2 k 2 1 mvE 元功元功

2、功功-动能定理动能定理 ab EEEA kkk 质点功-动能定理 力做的功等于质点动能的变化量力做的功等于质点动能的变化量 a为初态为初态 b为末态为末态 恒力做的功 x F xF xxF xFA x x x x x )(cos dcosd 12 2 1 2 1 xF 匀速圆周运动？匀速圆周运动？ 重力做的功 y 0 v gm mgymAyg y 位移与力方向相反位移与力方向相反 1cos 重力做负功重力做负功 y gm mgymAyg y 位移与力方向相同位移与力方向相同 1cos 重力做正功重力做正功 最高位置：最高位置： k EA 2 0 2 1 0mvmgy g v y 2 2 0 末

3、态速度：末态速度： k EA 0 2 1 2 mvmgy gyv2 上抛上抛：下落下落： v 重力做的功-沿任意曲线运动 y x a y b y a b gm rd 重力做功：重力做功： )( d )ddd( dd ba y y b a b a b a yymg ymg zyxmg mA b a kjij rgrF 只与始末态高度有关，与经过的路径无关。只与始末态高度有关，与经过的路径无关。 m k O a x :k 劲度系数。劲度系数。 端点的位移。端点的位移。 为平衡位置。为平衡位置。 iFkx 胡克定律：胡克定律： 弹性力做的功 O : i x 弹性力做功：弹性力做功： 22 2 2 1

4、 2 1 2 1 d dd ba a b x x b a b a kxkx x x kx xkx xkxA b a iirF b x 也只与始末态位置有关。也只与始末态位置有关。 万有引力做的功 设质量为设质量为M的质点固定，另一质量为的质点固定，另一质量为m的质点在的质点在M的引的引 力场中从力场中从a点运动到点运动到b点。点。 rF 3 r Mm G b a b a r Mm GArrrFdd 3 rrdd rr rd rb ra a b M m r dr ba r r b a rr GMm r r GMm r r Mm GA b a 11d d 2 2 只与始末态位置有关，只与始末态位置

5、有关， 与经过的路径无关。与经过的路径无关。 保守力 定义定义：保守力保守力做的功与路径无关，只与始末位做的功与路径无关，只与始末位 置有关。置有关。 0 dd dd 21 21 rFrF rFrF a b a b b a a b A a b 1 2 若质点沿闭合路径若质点沿闭合路径aba 0d rF保守力沿闭合路径保守力沿闭合路径做功为做功为0 0 注：摩擦力不是保守力注：摩擦力不是保守力 保守力做的功 )( ba yymgA 22 2 1 2 1 ba kxkxA ba r GMm r GMm A 重力：重力： 弹性力：弹性力： 万有引力：万有引力： a为初态为初态 b为末态为末态 定义定

6、义：势能变化量势能变化量 ab EEAE ppp 由此可定义由此可定义势能势能 重力势能 )( ba yymgA ab ab mgymgy EEAE ppp mgymgmgyyE0)( p 需通过势能变化量需通过势能变化量 来定义势能来定义势能 设定势能设定势能参考点参考点： 00 p Ey，时时当当 空间某处的势能为空间某处的势能为 参考点至其的势能参考点至其的势能 变化量变化量 mgyE p 选定参考点后选定参考点后 势能值是唯一确定的势能值是唯一确定的 弹性势能 22 2 1 2 1 ba kxkxA 22 ppp 2 1 2 1 ab ab kxkx EEAE 设定势能设定势能参考点参

7、考点： 00 p Ex，时时当当 平衡位置平衡位置 位移某处的势能为位移某处的势能为 22 p 2 1 0 2 1 )(kxkxxE 2 p 2 1 kxE 万有引力势能 ba r GMm r GMm A ab ab r GMm r GMm EEAE ppp 设定势能设定势能参考点参考点： 0 p Er，时时当当 无穷远处无穷远处 空间某处的势能为空间某处的势能为 r GMm r GMm rE 0)( p r GMm E p 势能的普遍定义 )()()( 0ppp rErErE A r r0 drF 0 d)( p r r rErF r0为势能势能参考点参考点 空间某点的势能空间某点的势能Ep

8、在数在数 值上等于质点从该点移动到值上等于质点从该点移动到 势能零点时保守力作的功。势能零点时保守力作的功。 质点机械能守恒定理 ab EEEA kkk ba ab EE EEAE kk ppp bbaa EEEE pkpk pk EEE 定义定义：机械能机械能 ba EE 机械能守恒定理机械能守恒定理 a为初态为初态 b为末态为末态 成立条件：成立条件： 无非保守力无非保守力 若有非保守力若有非保守力 机械能守恒定理机械能守恒定理不成立不成立 机械能机械能热能（内能）热能（内能） O y p E 重力势能曲线重力势能曲线 O x p E 弹性势能曲线弹性势能曲线 p E O r 引力势能曲线

9、引力势能曲线 势能曲线 2 p 2 1 kxE r GMm E p mgyE p 势能与保守力的关系 rF ddA元功元功 rF ddd p AE 在在1维时：维时： xFEdd p x E F d d p 重力：重力： 弹性力：弹性力： 万有引力：万有引力： 2 p 2 1 kxE r GMm E p mgyE p mg y E F d d p kx x E F d d p 2 p d d r GMm r E F 势能与保守力的关系 在在3维时：维时： p EF kji zyx 直角坐标直角坐标 z E F y E F x E F zyx ppp , 梯度算符：梯度算符： 保守力等于势能函数

10、梯度的负值保守力等于势能函数梯度的负值 000 1 sin 1 r rrr 球坐标球坐标 例：例：已知双原子分子的势能函数为：已知双原子分子的势能函数为： ， a、b为正常数，函数曲线如图。为正常数，函数曲线如图。 求：求：(1) 双原子之间的最小距离；双原子之间的最小距离； 解：解： kp EEE 0 612 x b x a 6 min b a x x Ep (1) xmin 当动能当动能 Ek=0 时，时，Ep为最大，为最大， 两原子之间有最小距离两原子之间有最小距离: 612 p x b x a E 求：求： (2) 双原子之间平衡位置的距离；双原子之间平衡位置的距离； 平衡位置的条件为

11、：平衡位置的条件为：F=0 0 612 )( d d d d 713 612 p x a x a x b x a xx E F 6 1 2 b a x 解：解： (3) 双原子之间最大引力时的两原子距离双原子之间最大引力时的两原子距离 最大引力的条件为：最大引力的条件为： 0 d d x F 0 612 d d 713 x b x a x 6 2 7 26 b a x Ep x x F x1 x2 摩擦力做的功 1 11 ddmgssmgA a b a b rF 若质点沿路径若质点沿路径1 一质量为一质量为m的物体在水平桌面上移动的物体在水平桌面上移动 mgF 摩擦力大小摩擦力大小 方向与位移

12、方向与位移dr相反相反 0d rF a b 1 2 rd rF ddA元功元功smgmgddr sd ：路程：路程 2 22 ddmgssmgA a b a b rF 若质点沿路径若质点沿路径2 与路程有关与路程有关 非保守力非保守力 R h aFm 例：例：半径为半径为R的光滑球面顶端，物体的光滑球面顶端，物体m自静止开始下滑。自静止开始下滑。 求：求：物体脱离球面的位置物体脱离球面的位置。 mRmg mRNmg sin cos 2 径向径向 切向切向 gm N d d ddsin mRmg 00 d dsinmRmg 2 2 1 )cos1 ( mRmg 222 2 1 2 1 )cos1

13、 ( mvmRmgR 机械能守恒定理机械能守恒定理 0N 3 2 cos 质点组功-动能定理 ab EEEA kkk 对质点：对质点： 对质点组：既有外力，也有内力对质点组：既有外力，也有内力 ab EEEAA kkk 内内外外 i iiv mE 2 k 2 1 质点组动能：质点组动能： 非保守力非保守力外,外,保守力保守力外,外,外外 AAA 非保守力非保守力内,内,保守力保守力内,内,内内 AAA 将所有保守力做功将所有保守力做功 计为势能变化量计为势能变化量 E EEEEAA aabb ) () ( pkpk 非保守力非保守力内,内,非保守力非保守力外,外, 一对内力做的功 x y z

14、1 r 2 r 1 m 2 m 2 f 1 f O 121 211211 221121 d )(d)dd( ddddd rf rrfrrf rfrf AAA 相对元位移相对元位移 )(dd 2112 rrr 相对位矢相对位矢 2112 rrr 一对内力做功之和与所选的参照系无关一对内力做功之和与所选的参照系无关 1212 d, rr与参照系无关。与参照系无关。 121 drfA对任意参照系对任意参照系 一对内力做功之和一般不为一对内力做功之和一般不为0 s l 例：例：质量为质量为m的子弹以的子弹以v0射向质量为射向质量为M长为长为l的静止木块，以的静止木块，以 速度速度v自木块穿出。子弹在木

15、块中受到的摩擦力为常量。地面自木块穿出。子弹在木块中受到的摩擦力为常量。地面 光滑。光滑。 求：求：从子弹进入木块到离开木块的过程中木块行进的距离从子弹进入木块到离开木块的过程中木块行进的距离s。 解：解：设子弹穿出时木块速度设子弹穿出时木块速度V 动量守恒动量守恒 mvMVmv 0 质点组功质点组功-动能定理动能定理 2 02 1 2 2 1 2 2 1 )(mvMVmvfl 对木块，摩擦力做正功对木块，摩擦力做正功 2 2 1 MVfs 对子弹，摩擦力做负功对子弹，摩擦力做负功 2 02 1 2 2 1 )(mvmvslf 2 0 22 0 2 0 )()( )( vvmvvM vvml

16、s 一对内力（摩擦力）做负功一对内力（摩擦力）做负功 质点组的动能 （柯尼希定理） i iiv mE 2 k 2 1 Cii vvv C v ：质心速度：质心速度 i v ：相对质心的速度：相对质心的速度 Ci i iC i i i ii CiC i ii C i ii mvmvm vvm mE vv vv vv 2 2 2 2 2 k 2 1 2 1 )2( 2 1 )( 2 1 0 i i i mv 质心参考系中动量质心参考系中动量 2 kk 2 1 C MvEE =质点组相对质心的动能质点组相对质心的动能+质心动能质心动能 例：例：m1和和m2静止在光滑平面上，以劲度系数为静止在光滑平面

17、上，以劲度系数为k的弹簧相连。的弹簧相连。 弹簧处于伸展状态。一质量为弹簧处于伸展状态。一质量为m的子弹以的子弹以v0射入射入m1内。内。 求：求：弹簧最多压缩了多少？弹簧最多压缩了多少？ m2m1 解：解：设子弹射入设子弹射入m1内速度内速度v，m2未动未动 vmmmv)( 10 动量守恒动量守恒 弹簧压缩过程中，体系动量守恒弹簧压缩过程中，体系动量守恒 质点组动量为质点组动量为 C vmmmvmm)()( 211 机械能守恒机械能守恒 2 k 2 21 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 lkEvmmmvmm C 弹性势能最大时，相对质心动能弹性势能最大时，相对质心动能=0

18、0 211 2 max )( mv kmmmmm m l 碰撞过程碰撞过程 1. 压缩阶段压缩阶段2. 恢复阶段恢复阶段 碰撞问题 微观粒子：碰撞微观粒子：碰撞 散射散射 弹性碰撞：弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰 撞前后系统的总机械能守恒。撞前后系统的总机械能守恒。 非弹性碰撞：非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系碰撞后物体的形变只有部分恢复，系 统有部分机械能损失。统有部分机械能损失。 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，碰撞后物体的形变完全不能恢复， 两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。两物体合为一体一

19、起运动。系统有机械能损失。 弹性碰撞 v2v1 v20v10 2211202101 vmvmvmvm动量守恒：动量守恒： 动能守恒：动能守恒： 2 22 2 11 2 202 2 101 2 1 2 1 2 1 2 1 vmvmvmvm 21 2021021 1 2 mm vmvmm v 21 1012012 2 2 mm vmvmm v 201012 vvvv 1 m 10 v 1 v 20 v 2 m 例：例：当空间探测器从星球旁绕过后，由于引力的作用而速当空间探测器从星球旁绕过后，由于引力的作用而速 率增大的现象叫弹弓效应。率增大的现象叫弹弓效应。设土星质量为设土星质量为5.671026kg，其，其 相对于太阳的轨道速率为相对于太阳的轨道速率为9.6kms-1，一空间探测器质量为，一空间探测器质量为 150kg，其相对太阳的速率为，其相对太阳的速率为10.4kms-1，并迎着土星飞行，并迎着土星飞行， 探测器绕过土星沿着原来速度相反的方向离去。探测器绕过土星沿着原来速度相反的方向离去。 求：求：探测器离开土星后的速度。探测器离开土星后的速度。 20101 2