大学物理：力学5角动量

1、角动量 矢量的矢积 ba矢量矢量叉积叉积 ba 的大小：的大小： sinab 方向：方向： a b ba 垂直于垂直于a, b所构成的平面所构成的平面 右手法则右手法则 反交换率：反交换率： abba jkiijkkij jikikjkji kkjjii 000 直角坐标系单位矢量：直角坐标系单位矢量： k i j 右手坐标系右手坐标系 :, 00ba a b ba x y z O jib jia sincos sincos bb aa kjib kjia zyx zyx bbb aaa zyx zyx yxyx xzxz zyzy bbb aaa abba abba abba kji k j

2、 iba )( )( )( k k k kba sin )sin( )cossinsin(cos )( ab ab ab baba xyyx 对轴的力矩 F | | F F r O 支点，转轴支点，转轴 作用在轴上，不引起运动作用在轴上，不引起运动 | | F F 引起杆对于转轴的转动引起杆对于转轴的转动 对轴的力矩： sinrFFrM 矢量形式矢量形式： FrM 轴矢量的方向：轴矢量的方向： 右手法则右手法则 M 转动方向转动方向 对参考点的力矩 3维空间中的转动维空间中的转动 FrM sinrFM zyx zyx xy zx yz FFF zyx MMM xFxF xFzF zFyF kj

3、i kji k j iM )( )( )( M x y z O F r 如如r和和F在在x-y平面平面内内 kM z M sinrFyFxFM xyz 力矩为力矩为0的条件：的条件： 0F Fr / 退化为对轴的力矩退化为对轴的力矩 质点的角动量 )(vrprLmvpm 亦称亦称动量矩动量矩 定义：定义： L的方向垂直于的方向垂直于r, v所构成的平面所构成的平面 右手法则右手法则 L依赖于参考点依赖于参考点O的选择的选择 r L x y z O vp, r 在直角坐标系中：在直角坐标系中： zyx zyx ppp zyxLLL kji kjiL sinmrvL 大小：大小： 质点的角动量定理

4、 F p t d d 质点动量定理质点动量定理 Frvv p rp r pr L m ttttd d d d )( d d d d M L t d d 质点的角动量定理 积分形式：积分形式：LLLM 12 2 1 d t t t 质点的角动量守恒定理 0 d d t L 若若M=0，则则 ，即角动量守恒，即角动量守恒 角动量守恒的条件：角动量守恒的条件：M=0 0F Fr/ 力矩为力矩为0的条件：的条件：即即 3个分量独立守恒，和动量一样个分量独立守恒，和动量一样 匀速圆锥摆的角动量 0 d d t L L L O O 以以O为参考点，角动量为为参考点，角动量为L 角动量守恒角动量守恒 0 d

5、 d t L 以以O为参考点，角动量为为参考点，角动量为L 角动量不守恒角动量不守恒 方向在变方向在变 不同的参考点，不同的参考点， 角动量是不同的角动量是不同的 受力情况？受力情况？ 匀速直线运动质点的角动量 )(vrprLm r v O mvHmrvLsin H 角动量守恒角动量守恒 定义：定义：面积速度面积速度 L vr S v m t S 2 1 2 1 d d vH 2 1 单位时间质点和参考点点连线掠过的面积单位时间质点和参考点点连线掠过的面积 sin 2 1 rvvS 面积速度不变即面积速度不变即 为角动量守恒为角动量守恒 匀速圆周运动质点的角动量 xO y r v t 向心力向

6、心力 F/r, 2 )( rmmvrL m vrprL vr 角动量守恒角动量守恒 2 2 1 2 1 rrvvS 面积速度不变面积速度不变 例例: 光滑水平桌面上一质量为光滑水平桌面上一质量为m的小球系于一轻绳的一端，的小球系于一轻绳的一端， 绳的另一端穿过小孔。先推动小球以角速度绳的另一端穿过小孔。先推动小球以角速度0作半径为作半径为r0的的 运动。自运动。自t=0时起拉着绳以匀速时起拉着绳以匀速v0缓慢向下运动。缓慢向下运动。 求求:角速度和拉力随时间的变化关系。角速度和拉力随时间的变化关系。v 0 v r 解解: 以小孔为参考点以小孔为参考点 则角动量守恒则角动量守恒 设设t时运动半径

7、为时运动半径为r 0 2 2 0 2 00 2 r r rmrm 0 2 00 2 0 00 tvr r tvrr 拉力即为向心力拉力即为向心力 3 00 2 0 4 0 2 tvr mr rmF 1 m 2 m 1 F 2 F 12 f 21 f 12 r O 1 r 2 r 质点组的角动量定理 : 1 m)( d d 12111 1 fFrM L t : 2 m 对于对于2个质点：个质点： )( d d 21222 2 fFrM L t 2121212211 21 d d d d d d frfrFrFr LLL ttt 21212112 , 0rrrff 0)( 211221112121

8、121121212121 frfrfrfrrfrfrfr 2112 / fr 外外外外21 2211 d d MMFrFr L t 与内力无关与内力无关 质点组的角动量定理 合外合外外外 MMFr L i i i ii t d d i i i i i prLL 总角动量：总角动量： 质点组的角动量守恒定理 0 d d 0 t L M 合外合外 合外力矩为合外力矩为0，则总角动量守恒，则总角动量守恒 与动量一样，与动量一样，3个分量独立守恒个分量独立守恒 m m2 O R 例：例：轻绳跨过半径轻绳跨过半径R的轻滑轮，质量的轻滑轮，质量2m的人的人 抓住绳的一端，另一端为质量抓住绳的一端，另一端为

9、质量m的物体。人的物体。人 从静止往上爬，为使自己不往下降，人须以从静止往上爬，为使自己不往下降，人须以 多大加速度相对绳上爬？多大加速度相对绳上爬？ 解解: 以滑轮轴以滑轮轴O为参考点，以人和物体为体系，为参考点，以人和物体为体系， 则外力矩为重力引起的力矩。则外力矩为重力引起的力矩。 人：人： R gm2 1 M 物：物： R gm 2 M mgRM2 1 mgRM 2 以以 为正方向为正方向mgRmgRmgRM 2 合外合外 设人相对绳的速度为设人相对绳的速度为u，物体相对地面上升速度为，物体相对地面上升速度为v， 则人相对地面上升速度为则人相对地面上升速度为u-v。 角动量角动量 人：

10、人： R 1 L R vu RvumL)(2 1 物：物： v 2 LmvRL 2 以以 为正方向为正方向muRmvRRvummvRL23)(2 合外合外 M L t d d mgRumRvmR t L 23 d d 若人不下降：若人不下降： 0)( d d vu t vu gu O 1 m 1 m 2 m 0 v l l 例：例：一铰链下悬挂一轻杆，杆上附有两个质一铰链下悬挂一轻杆，杆上附有两个质 量量m1的小球。一质量为的小球。一质量为m2的子弹以初速的子弹以初速v0射射 入下端小球。入下端小球。 求：求：子弹射入小球后瞬间轻杆的角速度。子弹射入小球后瞬间轻杆的角速度。 解解: 以以O为参

11、考点，则外力矩为为参考点，则外力矩为0，则角动量守恒则角动量守恒 设杆角速度为设杆角速度为 初态角动量：初态角动量： 02i )2(vlmL 末态角动量：末态角动量： 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2f 54 )2()2( lmlm lmlmlmL 角动量守恒：角动量守恒： fi LL lmlm vm 12 02 54 2 动量守恒？动量守恒？ O a b 例：例：同轴圆筒同轴圆筒(Ma、Mb)均可自由转动均可自由转动,外筒开始外筒开始 静止。内筒开有许多小孔静止。内筒开有许多小孔,内表面散布着一内表面散布着一 薄层沙薄层沙(M0),以以0匀速转动匀速转动,沙飞出并附着在沙飞出并附着在

12、外筒内壁。单位时间喷出沙的质量为外筒内壁。单位时间喷出沙的质量为k,忽略忽略 沙的飞行时间沙的飞行时间, 求求t时刻两筒角速度。时刻两筒角速度。 以内筒与沙作为系统，角动量守恒以内筒与沙作为系统，角动量守恒 0 2 0 aMM a 0 22 0 ktaaktMM aa 0 a 以喷出的沙与外筒作为系统，角动量守恒以喷出的沙与外筒作为系统，角动量守恒 bb bktMkta 2 0 2 0 2 2 bktM kta b b 解：解： 质点组的角动量 Cii vvv C v ：质心速度：质心速度 i v ：相对质心的速度：相对质心的速度 C LLL =质点组相对质心的角动量质点组相对质心的角动量+质

13、心角动量质心角动量 i i ii i i mvrLL Cii rrr C r ：质心位移：质心位移 i r ：相对质心的位移：相对质心的位移 C i Cii i CiC i iii i ii CiC i ii i i ii i i mmmm m m vrvrvrvr vvrr vrLL )()( 0 i i i mv 质心参考系中动量质心参考系中动量=0 质心参考系中质心位移质心参考系中质心位移=0 0 i i i m r 质心的角动量定理 CCC i CiC MmvrvrL i iCCC C CC CC M t MM tt Frvv v rv rL d d d d d d C C i i M

14、 t M t a vp F d d d d C i iC C t MFr L d d 质心角动量随时间变化率质心角动量随时间变化率=合外力对质心的力矩合外力对质心的力矩 类似于质点角动量定理类似于质点角动量定理 相对质心的角动量定理 合外合外外外 MMFr L i i i ii t d d Cii rrr i Cii ii iCii t MFrFrFr L d d C C t M L d d , C LLL MFr L i ii t d d 相对质心角动量随时间变化率相对质心角动量随时间变化率=外力相对质心的合力矩外力相对质心的合力矩 C r：质心位移：质心位移 i r ：相对质心的位移：相对

15、质心的位移 质心系的角动量定理质心系的角动量定理 质心系中惯性力的力矩 （平动非惯性系） 0 )( 0 0 I II ar ar Fr MM i ii i i i i i i i i m m i r ：相对质心的位移：相对质心的位移 或质心系中的位移或质心系中的位移 0I aF ii m：惯性力：惯性力 质心系中惯性力的力矩为质心系中惯性力的力矩为0 质心系中重力矩为质心系中重力矩为0 质心系中质心位移质心系中质心位移=0 0 i i i m r C l v0 例：例：二球质量均为二球质量均为m，轻绳，光滑水平面，轻绳，光滑水平面， 一球获得一球获得v0的初速。的初速。 求：求：运动规律及绳中

16、张力。运动规律及绳中张力。 水平方向动量守恒水平方向动量守恒 C mvmv2 0 0 2 1 vvC 质心作匀速直线运动质心作匀速直线运动 系统相对质心角动量守恒系统相对质心角动量守恒 22 0 222 l m l m l mv l v0 球绕质心作匀速圆周运动球绕质心作匀速圆周运动 绳中的张力绳中的张力 l v m l mT 2 0 2 2 1 2 C a v0 例：例：二球质量均为二球质量均为m，轻弹簧自然长度为，轻弹簧自然长度为a， 劲度系数为劲度系数为k。光滑水平面，两球获得。光滑水平面，两球获得v0的初速。的初速。 若以后运动过程中弹簧最大长度若以后运动过程中弹簧最大长度b = 2a

17、， 求：求：两球的初速度两球的初速度v0 。 角动量守恒角动量守恒 2 2 2 2 0 b mv a mv 机械能守恒机械能守恒 222 0 )( 2 1 2 1 2 2 1 2abkmvmv m k a abm abk bv 3 2 )(2 )( 0 v0 a bc l v045o 例：例：三球质量均为三球质量均为m，轻杆，光滑水平面，轻杆，光滑水平面， 对心弹性碰撞。分析其运动情况。对心弹性碰撞。分析其运动情况。 系统动量、角动量、机械能均守恒系统动量、角动量、机械能均守恒？ 相对哪个参考点？相对哪个参考点？ C mvmvmv2 0 2 0 2 245sin 2 45sin 2 l m l mv l mv 222