三年高考(2017-2019)各地文科数学高考真题分类汇总：椭圆

1、椭圆1.（2019 全国 1 文 12）已知椭圆 C 的焦点为F1（ 1,0）, F2（1,0），过 F2的直线与 C交于 A，BC的方程为两点.若| AF2| 2|F2B|，|AB | |BF1 |，则2x2Ay 1222xyB1322C x42xD52 y2 1 42.（2019 全国 II 文 9）若抛物线 y2=2pxp0）的焦点是椭圆2x3p1的一个焦点，则p=A2B 3C4D3.（2019 北京文 19）已知椭圆2C:ax22a2 y b21 的右焦点为 （1,0） ，且经过点 A（0,1） ）求椭圆 C 的方程；）设 O 为原点，直线 l : ykxt(t1） 与椭圆 C 交于两

2、个不同点P，Q，直线 AP 与 x轴交于点 M ，直线 AQ 与 x 轴交于点N，| OM| | ON|=2 ，求证：直线l 经过定点4.（ 2019 江苏 16）如图，在平面直角坐标系22 xy xOy 中，椭圆 C: 2 2 ab1(a b 0) 的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线 l，在x轴的上方， l与圆 F2:（x 1）2 y2 4a2交于点 A，与椭圆 C交于点 D.连结 AF1 并延长交圆F2于点 B，连结 BF2 交椭圆 C于点 E，连5结 DF1已知 DF1= 2（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）求点 E 的坐标225.（2019 浙江 15）已知椭圆

3、 x y 1的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方， 若95线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上， 则直线 PF 的斜率是 .2by2 1（a b 0）的两个焦点， P为 C上2）如果存在点P，使得 PF1 PF2，且 F1PF2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围.7.（2019 天津文22xy19）设椭圆 2 2 1（a b 0） 的左焦点为 F ab，左顶点为 A ，顶点为B.已知 3|OA|2 | OB | （ O为原点） .）求椭圆的离心率；3）设经过点 F 且斜率为 的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为4P ，圆 C 同时与 x

4、 轴和直线 l 相切，圆心 C在直线 x 4上，且 OC AP ，求椭圆的方程8.（2019 全国 III 文 15）设 F1，F2 为椭圆22C: x + y 1 的两个焦点，36 20M为 C上一点且在第象限 .若 MF1F2为等腰三角形，则的坐标为2 x 9 （2018 全国卷 ）已知椭圆 C ： 2 a21 的一个焦点为 （2 ，0） ，则 C 的离心率为10112A BC322（2018全国卷 ）已知 F1， F2是椭圆 C 的两个焦点，D 2 2 3P是C 上的一点，若 PF1 PF2，且PF2F1 60 ，则 C 的离心率为11A132B2C 3 122 x （2018上海）设

5、P是椭圆51上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为A 2 2B 2 3C 2 5D 4 22 x 6.（ 2019 全国 II文 20）已知 F1, F2是椭圆 C : 2 a一点， O 为坐标原点22 xy 2017 浙江）椭圆1 的离心率是1）若 POF2 为等边三角形，求 C的离心率；13A 133B 35CD592017 新课标)已知椭圆C：2x2a2 y b21(ab 0) 的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，A 6B33314( 2017 新课标)x2设 A、 B是椭圆 C：3且以线段 A1 A2 为直径的圆与直线 bx ay满足 AMB =120，则 m 的取值范围是A

6、 (0,1 U 9, )C (0,1 U 4, )2 x2 15 (2018 浙江)已知点 P(0,1) ，椭圆y2421CD332y1长轴的两个端点，若 C 上存在点 MmB(0, 3 U9, )D(0, 3 U4, )uuur uuur2ab 0相切，则 C 的离心率为m(m 1)上两点 A， B满足 AP 2PB，则当 m =_时，点 B 横坐标的绝对值最大116 ( 2018 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C过点 ( 3, )，焦点 2F1( 3,0), F2( 3,0) ，圆 O的直径为 F1F2 (1)求椭圆 C及圆 O的方程；(2)设直线 l与圆 O相切于第一象限

7、内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l与椭圆 C交于 A,B两点若 OAB的面积为 2 6 ，求直线 l的方程 743AB 的中点为 M (1,m)( m0)1(1)证明： k ；2(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且uuur FPuuurFAuuur FB 0证明：uuur uuur uuur 2|FP | |FA| |FB |18( 2018 北京)已知椭圆 M2x :2a2 by2 1(a bb0) 的离心率为6 ，焦距为 2 2 斜3率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点A，B22xy17(2018全国卷)已知斜

8、率为 k的直线 l与椭圆 C：1交于 A， B两点线段(1) 求椭圆 M 的方程；(2)若k 1，求 |AB |的最大值；(3)设P( 2,0) ，直线 PA与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB与椭圆 M 的另一个交71点为 D 若 C ， D 和点 Q( , ) 共线，求 k 4222 xy19(2018 天津)设椭圆 2 2 1(a b 0) 的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的离 ab心率为 5 ，| AB| 133(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l:y kx(k 0)与椭圆交于 P,Q两点，l与直线 AB交于点 M，且点 P，M均在第四象限若 BPM 的面积是 BPQ面积的

9、2 倍，求 k的值2x220( 2017 新课标)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ：y2 1上，过 M 做 x 轴2uuur uuuur的垂线，垂足为 N ，点 P 满足 NP2NM (1)求点 P 的轨迹方程；uuur uuur(2)设点 Q在直线 x 3上，且OP PQ 1证明：过点P且垂直于 OQ的直线 l过C 的左焦点 F 22xy21( 2017天津)已知椭圆 2 2 1(a b 0)的左焦点为 F( c,0)，右顶点为 A，点 E ab的坐标为 (0,c) ，b2EFA 的面积为 b ()求椭圆的离心率；3()设点 Q在线段 AE上， | FQ | c ，延长线段 FQ与

10、椭圆交于点 P，点M ，N 2在 x 轴上， PM QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，四边形 PQNM 的面积为 3c ( i )求直线 FP 的斜率；(ii )求椭圆的方程x2 y 2 22(2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C: 2 2 1(a b 0) 的离心率 ab2为 2 ，椭圆 C截直线 y 1所得线段的长度为 2 2 2()求椭圆 C 的方程；()动直线 l：y kx m(m 0)交椭圆 C于 A，B两点，交y轴于点 M 点N 是M关于O的对称点， e N的半径为 |NO| 设D为 AB的中点， DE ，DF 与eN分 别相切于点 E，F，

11、求 EDF 的最小值x23( 2017北京)已知椭圆 C的两个顶点分别为 A( 2,0) ， B(2,0) ，焦点在 x轴上，离心率为 3 2 （）求椭圆 C 的方程；（）点D为 x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆 C于不同的两点 M ，N ，过D作AM 的垂线交 BN 于点 E 求证： BDE 与 BDN 的面积之比为 4:522 24（2017江苏）如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 E：x2 y2 1（a b 0）的左、 a2 b21 右焦点分别为 F1 ， F2 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8点 P在椭圆 E上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1 的垂线 l1，过点 F

12、2 作直线 PF2 的垂线 l2 （ 1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l2的交点 Q在椭圆 E 上，求点 P的坐标答案1. 如图所示，设 BF2x ，则 AF2 2x ，所以 BF2AB 3x.由椭圆定义 BF1 BF2 2a ，即 4x 2a.又 AF1 AF2 2a 4x ， AF2 2x ，所以 AF1 2x.因此点 A 为椭圆的上顶点，设其坐标为 0,b .由 AF2 2 BF2 可得点 B的坐标为 32,2因为点 B 在椭圆yb20 上，所以94a21.解得 a2 3.又 c 1，所以 b2x22 .所以椭圆方程为31.故选 B.22.解析：由题意可得：3p p p

13、，解得 p 8 故选 D23.解析 （ I）由题意得， b2=1，c=1 所以 a2=b2+c2=22所以椭圆 C的方程为 x y2 12（）设 P（ x1， y1）， Q（ x2， y2），y1 1则直线 AP的方程为 y1 x 1 x1令y=0，得点M的横坐标 xMy1 1又 y1kx1 t ，从而 |OM | xM|kx1 t 1|同理， |ON | |kx2 2t 1|y kx t,则 x1 x21得(1222k2)x224ktx 2t2 2 0 4kt21 2k2x1x22t2 21 2k2所以 |OM |ON | |kx1 x1t 1| kx2 x2t 1|x1x2| 22 |k2

14、x1x2 k(t 1) x1 x2 (t 1)2k2 12t 2k22 k(t 1) (1 2k22t 2 21 2k24kt 2 ) (t1 2k2|1)22|11 tt|又 |OM | |ON | 2 ，所以 2|1 t| 2 1t解得t=0，所以直线 l为 ykx ，所以直线l 恒过定点（ 0， 0）4.解析 （ 1）设椭圆 C 的焦距为2c.因为 F1（- 1，0）， F2（1， 0），所以F1F2=2，c=1.5又因为 DF1=25 ，AF2x轴，所以DF2= DF12 F1F22(52)2 22 32 ，因此 2a=DF1+DF2=4，从而 a=2.由 b2=a2- c2 ，得 b

15、2=3.2 因此，椭圆 C 的标准方程为 x42y2 1.32） 解法一 ：由（ 1）知，椭圆2C： x242y2 1，3a=2，因为 AF2 x轴，所以点 A 的横坐标为1.将 x=1 代入圆 F2 的方程 (x-1) 2+y2=16 ，解得y=4.因为点 A在 x轴上方，所以 A（1，4）.y2x1)222 y，得 5x2166x11由(x解得x1或x115.将x11 代入 y2x 2 ，得y12551112因此B().又 F2(1， 0)，所以直线又 F1（- 1， 0），所以直线 AF1： y=2x+2.0，BF2： y334(x1).3y( x由 x2 4y 2xy41371)，得

16、7x2 6x 13 0，解得 x 1或 x1又因为E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以 x1 .将x31代入 y(x 1) ，得 y4因此 E( 1,32).2 x 解法二： 由（ 1）知，椭圆 C：41.如图所示，因为 BF2=2a， EF1+EF2=2a，所以 EF1=EB，从而 BF1E= B.因为 F2A=F2B，所以 A= B，所以 A=BF1E，从而 EF1 F2A.联结因为 AF2 x轴，所以 EF1x 轴.x1因为 F1(- 1， 0)，由 x2 y2 ，得143又因为 E 是线段 BF2与椭圆的交点，所以3 因此 E( 1, 3) .25.解析：设椭圆的右焦点为 F ，连接

17、PF ，线段PF的中点A在以原点 O为圆心， 2为半径的圆，连接 AO，可得 PF2 AO 4 ，2设P的坐标为（ m,n），可得 3 m34 ，可得 m15 ，2由 F （ 2,0） ，可得直线 PF的斜率为15215 3226.解：(1)连结 PF1，由POF2为等边三角形可知在 F1PF2 中， F1PF2 90 ，PF2c，PF1是 2aPF1PF2 ( 3 1)c，故 C 的离心率是 e2)1由题意可知， 满足条件的点 P(x, y)存在当且仅当| y | 2c 16，2c 3 1.ayyx c x c1，2x2ay2b21，即 c|y| 16 ，c2，2x2a2 y b21，由及b

18、2c2 得 y2b42 ，又由知 y c162，故4.由得2a2c2 2 2 2c2 b2 ，所以 c2 b2 ，从而b22b232,故 a 4 2.所以 b 4 ，4 2 时，存在满足条件的点 P. a 的取值范围为 4 2, ).7.解析 ()设椭圆的半焦距为c ，由已知有 3a22b ，又由 a222b2 c2 ，消去 b 得3 2 2， a c ，2解得 ca所以，椭圆的离心率为由()知， a 2c ，2b 3c ，故椭圆方程为 x 24c22y3c21.3 由题意， F c,0 ，则直线 l的方程为 y (x c) .422x2y2 1，22，消去 y 并化简，得到 7x2 6cx

19、13c2 0 ，解得x1 c ，点 P 的坐标满足 4c 3c3， y (x c) ，4x213c，代入到 l 的方程，解得7y13c，2y29c.14. 由圆心C 在直线 x 4上，可设 C 4,t .3 因为点 P 在 x 轴上方，所以 P c, c2因为 OC AP ，且由()知 A 2c,0，故 t43c2 ，解得 t 2.c 2c因为圆 C与 x轴相切，所以圆的半径为2，又由圆334 (4 c) 22314C与l 相切，得2 ，可得2y21.12c 2.x2所以，椭圆的方程为168.解析设 M (m,n)， m,n 0，椭圆2C：C:x362y 1的 a206，b 2 5 ，c 2，

20、32，由于 M 为C上一点且在第一象限，可得|MF1| |MF2 |，MF1F2 为等腰三角形，可能|MF1 | 2c或|MF2|2c，2即有 6 m 8 ，即326 m 8 ，即 m3n 15 ； 舍去可得 M (3, 15) .9.C【解析】不妨设 a0 ，因为椭圆 C的一个焦点为 (2 ，0) ，所以 c2，所以 a2 b2 c24 4 8，所以 C的离心率为 e c 2 故选 C a210D【解析】由题设知F1PF2 90o ，PF2F160 ，| F1F2 | 2c ，1112131415所以 | PF2 | c ，所以 ( 3 1)cC【解析】离之和为B【解析】A【解析】由题意|

21、PF1 | 3c 由椭圆的定义得2a ，故椭圆 C 的离心率 ea2 5 ，2a 2 5 ，故选2由题意可知 a 2|PF1| |PF2 | 2a，即 3c c 2a，c2 a 3 13 1故选 D a 5 由椭圆的定义可知，P 到该椭圆的两个焦点的距C9， b24 ， c2a2b25 ，离心率c5e a 3 ，以线段 A1A2 为直径的圆是所以圆心到直线的距离2 2 2 即 a 2 3 a2 c2A 【解析】当 0则 a tan 60o b要使 C 上存在点2a23，M 满足x2a2直线bx ay 2ab0与圆相切，2aba 2 b2，整理为3b2，23c ，即 c 2 a焦点在36 ，故选

22、A3x 轴上，要使C 上存在点3 ，得 0 m 1 ；当 mAMB 120 o，则 abtan 60oM 满足 AMB 120 o，3 ，焦点在 y 轴上，3 ，即 m3，得 m 9 ，故 m 的取值范围为 (0,1 U 9,)，uuur5【解析】设 A(x1, y1)， B(x2,y2)，由 APuuur2PB ，得x1y12x22(y21)即 x12x2， y1 3 2 y2 因为点 A ， B在椭圆上，所以4x2242x224(32y2x2)2m，得1y2m4所以当 m32 ，所以 x2245时，点 B 横坐标的绝对值最大，最大值为2m (3 2 y2)212m421(m45)216【解

23、析】 (1)因为椭圆 C 的焦点为 F1( 3,0),F2( 3,0) ，22可设椭圆 C 的方程为 x2 y2a 2 b21(a b0)又点 ( 3, 12)在椭圆 C上，3所以 a22a12 1, a24b2，解得 22 b 2 b 3,4,1,2因此，椭圆 C 的方程为 x y241因为圆 O的直径为 F1F2 ，所以其方程为3(2)设直线 l 与圆 O 相切于 P(x0,y0)( x00,y00) ，则22x0 y03，所以直线 l 的方程为 y(x x0 ) y0 ，即 y0x0xy0y02x由4y2 1,消去x0 3 x, y0y0y ，得2(4x022 y0 ) x224x0x

24、36 4y0 0 (* )因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，所以2 2 2 2 2 2( 24x0)2 4(4x02 y02)(36 4y02) 48y02 (x02 2) 0因为 x0,y0 0，所以 x0 2, y0 1因此，点 P 的坐标为 ( 2,1) 因为三角形 OAB 的面积为 2 6 ，所以71 AB OP22 6 ，从而AB 4 27设 A(x1, y1),B(x2, y2)，由( * )得 x1,22224x048y0 ( x0 2)22y0 )2(4x0所以AB2(x1x2)2( y1y2)2(12x0 )2)y02248y0 ( x0 2)(4x0222y02

25、)2因为2 x02 y03，所以AB2216( x02 2)3429，即2x0445x02 1000，22(x02 1)2解得 x022(x0 20舍去)，则 y0 2，因此 P的坐标为 ( 120, 22)yBPF1 OF1 OF2 x2A2 2 2 2综上，直线 l 的方程为 y 5x 3 2 17【解析】 (1)设 A(x1,y1)， B(x2,y2)，则 x41 y31 1， x42 y32 1 4 3 4 3两式相减，并由 y1 y2 k 得 x1 x2 y1 y2 k 0 x1 x24 3由题设知 x1 x2 1， y1 y2 m ，223于是 k 3 4m 31 由题设得 0 m

26、 3 ，故 k 1 22(2)由题意得 F (1,0) ，设 P(x3,y3)，则(x3 1, y3) (x1 1,y1) (x2 1,y2) (0,0) 由(1)及题设得 x3 3 (x1 x2) 1， y3 (y1 y2) 2m 0 又点 P 在 C 上，所以 m43，从而 P(1, 32) ， | uFuPur |42于是uuur|FA|(x1221)2 y12(x11)223(1 x41 )2 x21同理uuur |FB|2 x22uuuruuur1所以|FA|FB|4 12 (x1x2)3uuuruuuruuur故2|FP| FA | FB |18【解析】 (1) 由题意得 2c 2

27、 2 ，所以 c2，66 ，所以 a33 ，所以 b21，所以椭圆M 的标准方程为y2 1(2) 设直线 AB 的方程为 ym，y x m 由 x2 y23y2消去 y 可得 4 x2 6mx123m0，则36m24 4(3m2 3) 4812m2 0 ，即m2 4 ，设 A(x1,y1) ，B(x2, y2) ，则 x1 x23m2 ， x1x23m2 34则|AB| 1 k2 |x1 x2 | 1 k2 (x2x1 x2)2 4 x1x26 4 m2 ，2，易得当 m2 0时， | AB |max 6，故 | AB |的最大值为 6(3)设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y

28、3)， D(x4,y4)，则 x123y123 ，2x23y223 ，又 P(2,0) ，所以可设k1y1x1 2，直线 PA 的方程为y k1(x 2) ，y由 x23k1(x2)消去1y 可得 (13k12)x212k12x 12k120，则 x1x312k122 ，即 x31 3k12312k123k12x1 ，又 k1y1x1 2，代入式可得x37x14 x1 712 ，所以 y3y1 ，4x1 7所以 C (7x1 124x1y1 ) ，同理可得4x1 7D( 7x2 12y24x2 7 4x2 7) uuur故 QC ( x31 uuur, y3) ， QD ( x444714,y

29、4 4) ，74因为 Q,C,D 三点共线，所以 (x3 7)(y4 1)3 4 4 471(x4 74)( y3 41) 0，将点 C,D 的坐标代入化简可得 y1 y21，即1x1 x219【解析】 (1)设椭圆的焦距为 2c ，由已知得2c2a5，9又由 a 2 b 2 c2 ，可得 2a 3b.由| AB| a2 b213，从而 a 3,b222所以，椭圆的方程为 x y 1 94(2)设点 P的坐标为 (x1, y1) ，点 M 的坐标为 (x2,y2)，由题意， x2 x10，点Q的坐标为 ( x1, y1). 由BPM 的面积是 BPQ面积的 2 倍，可得 |PM |=2|PQ|

30、 ，从而 x2 x1 2x1 ( x1) ，即 x2 5x1 易知直线 AB 的方程为 2x 3y 6 ，由方程组2x 3y y kx,6,消去 y，可得 x263k2由 x25x1，可得解得 k8，9或当k8 时，9x2当k1 时，2x2所以，k 的值为20【解析】k由方程组9k 2 4uuur 由 NP0，12，x12x9y2y4 1,消去 y ，可得kx,x169k25(3k 2) ，两边平方，整理得不合题意，舍去；12 ，符合题意5uuur1)设 P(x,y),M(x0,y0),则 N(x0,0) ，NP (xuuuur2 NM 得2 x0 x， y0 2 y22因为 M(x0,y0)

31、在 C上，所以 x y18k2x0, y) ，25k 8 0 ，uuuurNM (0.y0 ) 2 2 1 21【解析】)设椭圆的离心率为e由已知，可得 1 (c a)c2b22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y2 2 (2)由题意知F(1,0)设 Q(3,t)，P(m,n) ，则uuuruuuruuur uuurOQ( 3,t ) ，PF(1 m,n) ，OQ PF 3 3m tn ，uuuruuurOP(m, n) ，PQ(3 m, tn)，uuur uuurm2 tn2 n221，又由( 1)知 m2 n2 2 ，由OPQ 1得 3m故33m tn0uuur uuur uuur uuur

32、所以 OQ PF 0，即OQ PF 又过点 P存在唯一直线垂直与 OQ ，所以过点 P且 垂直于 OQ的直线 l过C的左焦点 F 又由 b2 a2 c2 ，可得 2c2 ac a2 0 ，即 2e2 e 1 01 又因为 0 e 1，解得 e 1 21 所以，椭圆的离心率为 1 21 ()()依题意，设直线 FP的方程为 x my c(m 0) ，则直线 FP的斜率为 1 m 由()知 a 2c ，可得直线 AE 的方程为 x y 1 ，即 x 2 y 2c 0 ，与直线2 c c FP 的方程联立，可解得 x (2m 2)c,y 3c ，m 2 m 2即点 Q 的坐标为 ( (2m 2)c

33、, 3c ) m 2 m 2由已知 |FQ |= 3c ，有 (2m 2)c c2 ( 3c )2 ( 3c )2 ，整理得 3m2 4m 0，2 m 2 m 2 2 43 所以 m ，即直线 FP 的斜率为 3422ii)由 a 2c，可得 b 3c，故椭圆方程可以表示为 4xc2 3yc2 13x 4 y 3c 0,由( i)得直线 FP 的方程为 3x 4y 3c 0，与椭圆方程联立 x2 y2消2 2 1,4c2 3c2去 y ，整理得 7 x2 6cx 13c213c0，解得 x7舍去)，或 x c 3c因此可得点 P(c, ) ，进而可得2| FP |2 3c 2 5c(c c)2

34、 (32c)2 52c ，所以 |PQ| |FP| |FQ | 5c3cc 由已知，线段 PQ的长即为 PM与QN 这2两条平行直线间的距离，故直线PM 和 QN 都垂直于直线 FP 因为 QN FP，所以 |QN | |FQ | tanQFN 3c23 9c34 98c ，所以 FQN的面1积为 |FQ |QN |227c2，同理 FPM32的面积等于75c ，由四边形 PQNM 的32面积为 3c，得 75c3227c2323c ，整理得2c2 2c，又由 c 0，得 c 2所以，x22椭圆的方程为 y16 12122【解析】)由椭圆的离心率为2 ，得 a222(a2b2)，又当 y1 时， x 22a ab2 ，得a22 a b22，所以 a24，b22，22因此椭圆方程为 x y 1 42)设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，联立方程y kxx2 2 y 2得 (2k 2 1)x2 4kmx 2m2 40，0 得 m2 4k2 2*)且 x1因此所以4km2，2k 2 12my1 y22 ，2k 2 12km mD ( 2 , 2 ) ，2k 2 1 2k2 1x22又 N (0, m)所以 ND2km 2 m) 2 (222k 2 12k2 1m)2整理得：ND4m2(1 3k 2 k 4)22(2k 2 1)2因