GM模型适用范围

1、6.5GM(1,1)模型的适用范围邓聚龙教授对 GM(1,1)模型作了十分深入的研究，得到了GM(1,1)模型的多种不同形式。主要有：(1) x(0) (k) ax(k)二 b(2) x(0) (k) az(k)二 b(3) 必-ax(1) =bdt(4) x?)(k+1)=(x(0)(1)_b)e 止 +丿bb|l ?(0)(k 1?1)(k1) -占化)(5) 护(k)-： x(k-1)，k=2,3,L, n ；b1 0.5a1 0.5a(6)(k)Q0) (2) x(0)(1) =(1 )x(0)(k _1);k =3,4L n(7)X?)(k)x(0) (2) - - - x(0)(1

2、)1 -0.5a (0)x1 0.5a(k 1);k =3,4L nQ0)(2) - - -x(0)(1)(8)(1)?(0) (k)二 X(1)(k -1) -0.5b x(0) (k 一 1)； k 二 3,4L n x (k -2) 0.5b(9)/) (k)二1 - 0.5al1 +0.5a 丿ax(0)_(1) ；k=2,3,L ,n1 0.5a(10)?(0) (k)_X(0) kln(1-)3，k3(11)x(0)(12)x(0)(13)x(0)命题6.5.1(k)(k)(k)P 一 cc(0)= (1-e)(x (1)a_b -a(k 书= (-a)(x(0) (1)-x(0)

3、(1)e-a(k/)e)eb -a(k 书、.，aE z (k) t 送当(n1)(1)z(k)2时，GM(1,1)模型无意义。上k：a 二n n (1) 2 (1) 2(n1)v z()(k)十 z()(k)kkn n (1)当(n(1) 2z (k)k=2k ：2y z)(k)时，a?T ,b?T o，无法确定模型参数，故此证明 采用最小二乘法估计模型参数，有n z(k)nnx(0)(k)(n1卜 z(k)x(0)(k)nn(12(12(n 1) z (k)近 z (k)k knnn?0) (1) 2 (1) (1) (0),Z x (k)j; z (k)送 z (k)送 z (k)x (

4、k)k=22kz2b 二一 一 一GM(1,1)模型无意义。命题6.5.2当GM(1,1)发展系数|a|_2时，GM(1,1)模型无意义。证明由GM(1,1)表达式x(0) (k)二1 0.5ab-ax(0)(1)10.5a；k = 2,3,L , n可知，i当a=-2时,x(0)(k) 2当a =2时,x(0) (k) = 0 ；3 当 |a|2 时,7(0)4为常数，而1 0.5a0.5akJ2随着k的奇偶性不同而改变符号，因此x(0) (k)随着k的奇偶性不同而变号。由以上讨论可知(_oo,_2u2严)是GM(1,1)发展系数a的禁区。当a 二(-：-,-2._： 2,：-)时，GM(1

5、,1)模型失去意乂。一般地，当|a|2时，GM(1,1)模型有意义。但随着 a的不同取值，预测效果也不同。 对于2a0，即发展系数o a 2的情形，我们分别取-a0.1,020.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.5,1.8 等进行模拟分析。取k=0,1,2,3,4,5,由x(0)(k . 1) =e敏可得如下数列：a=0.1,X1(0) =(x1(1),x(0) (2),X10)(3),X100)(4),X10)(5),X10 (6)=(1,1.1051,1.2214,1.3499,1.4918,1.6487)a =0.2, X20) =(1,1.2214,1.4918,1.8221,2

6、.2255,2.7183) =0.3,=(1,1.3499,1.8221,2.4596,3.3201,4.4817)a 3X =0.4,=(1,1.4918,2.225,3.3201,4.9530,7.3890) a4X =0.5,(1,1.6487,2.7183,4.4817,7.3890,12.1825) a 5X =0.6,=(1,1.8821,3.3201,6.0496,11.0232,20.0855)a 6X =0.8,(1,2.2255,4.9530,11.0232,24.5325,54.5982) a?X=1,=(1,2.7183,7.3890,20.0855,54.5982,1

7、48.4132) a 8X =1.5,=(1,4.4817,20.0855,90.0171,403.4288,1808.0424)a?X =1.8,=?1,6.0496,36.5982,221.4064,1339.4308,8103.0839) a 10X分别以(0) ,(0)，为原始序列建立GM(1,1 )模型得到如下的时间响应式：2X 2X2X(1)0.09992182k? (k 1) =10.50754e-9.507541?(k 1) =5.516431e0.1993401k -4.516431X31) (k 13.85832e0.297769k -2.858321(1)0.394752

8、kX()(k 1)=3.033199e-2.033199X51)(k 1) =2.541474e0.4898382k -1.541474XP(k 12.216363e0k -1.216362(1)0.7598991k? )(k 1)=1.815972e-0.8159718(1)0.9242348kx8)(k 1) =1.581973e-0.5819733(1)1.270298kX9 )(k 1)=1.287182e-0.2871823?(0) (k 1) =0.198197e1.432596k -0.1981966由(0)(1)，(1)得)(31(?1(?kxkxkx iii4 10,2,1

9、L引(0)0.09992182k0)0.1993401 k?()(k 1)=0.99918e，x?0)(k 1)= 0.99698e，(0)0.297769k0)0.394752kx(k 1)=0.99362e，x?0)(k 1)=0.989287e，(0)0.4898382k0)0.5826263kx5(k1)=0.984248e，X?0) (k1) =0.97868e，x70)(k1)=0.966617e0.7598991k，X?0) (k1) = 0.95419e.9242348k，X90) (k1)=0.925808e1.270298k，? (k1) = 0.91220e1.43259

10、6k由于 gm(1,1)模型 x(0)(k) az(k) = b 中 z(k)二 1 (x(k) - x(k _ 1)为均值生2成，对于增长序列，具有弱化其增长趋势的作用。指数序列建立GM(1,1)发展系数减小。比较原始序列Xi(0)与模拟序列X?0)的误差(见表6.5.0。表6.5.1模拟误差发展系数a“ 6 纹(k)-x (Q平均相对误差1 ；0.10.0040.104%0.20.0100.499%0.30.0381.300%0.40.1162.613%0.50.3074.520%0.60.7417.074%0.83.60314.156%114.80723.544%1.5317.86751

11、.033%1.81632.24065.454%可以看出，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加。当发展系数小于或等于0.3时,模拟精度可以达到98%以上，发展系数小于或等于0.5时，模拟精度可以达到 95%以上，发展系数大于1，模拟精度低于70%，发展系数大于1.5,模拟精度低于50%。进一步考察1步，2步，5步，10步预测误差(见表 6.5.2)表6.5.2预测误差a0.10.20.30.40.50.60.811.51.81步误差0.129%0.701%1.998%4.317%7.988%13.405%31.595%65.117%2步误差0.137%0.768%2.226%4.865%9.091%15.392%36.979%78.113%5步误差0.160%0.967%2.912%6.529%12.468%21.566%54.491% 10步误差0.855%1.301%4.067%9.362%18.330%32.599%88.790% 可以看出，当发展系数小于 0.3时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都 在97%以上；当0.3 a_0.5时，1步和2步预测精度皆在90%以上，10步预测精度亦 高于80%;当发展系数大于