《等边三角形》参考教案

1、教师寄语春来春去，燕离燕归，枝条吐出点点新绿，红花朵朵含苞欲放，杨柳依依书写无悔年 华，白云点点唱响人生奋斗的凯歌，微冷的春风淡去了烟尘与伤痛，沉淀在内心的却是缤 纷的梦想以及那收获前的耕耘与奋斗。等边三角形（一）教学目标一）教学知识点经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程二）能力训练要求1 经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程， 建立初步的符 号感，发展抽象思维2 经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初 步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点三）情感与价值观要求积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲在数学活动中获得成功的体

2、验，锻炼克服困难的意志，建立自信心教学重点等边三角形判定定理的发现与证明教学难点等边三角形判定定理的发现与证明引导学生全面、周到地思考问题教学方法探索发现法教具准备多媒体课件，投影仪教学过程I.提出问题，创设情境 师 我们在前两节课研究证明了等腰三角形的性质和判定定理， 我们知道， 在等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形三条边都相等的三角形，叫等边 三角形回答下面的三个问题演示课件）把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？一个三角形满足什么条件就是等边三角形？你认为有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形吗？ ?你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流教师应给学生自主探索、思考的

3、时间） 生甲 由等边对等角的性质可知，等边三角形的三个角相等，又由三角形 三内角和定理可知，等边三角形的三个角相等，并且都等于 60 生乙 等腰三角形已有两边分别相等，所以我认为只要腰和底边相等，等 腰三角形就是等边三角形了 生丙 等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于 60，我认为等腰三 角形的三个内角都等于 60，也就是说这个等腰三角形就是等边三角形了（此时，部分同学同意此生看法，部分同学不同意此生看法，引起激烈的争论， ?教师可让同学代表发表自己的看法） 生丁我不同意这个同学的看法， ?因为任何一个三角形满足这个条件都是 等边三角形根据等角对等边，三个内角都是 60，所以它们所对的边一

4、定相等，但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”我觉得他给的条件太多，浪费 ! 师 给三个角都是 60，这个条件确实有点浪费，那么给什么条件不浪费呢？?下面同学们可以在小组内交流自己的看法n.导入新课探索等腰三角形成等边三角形的条件.生如果等腰三角形的顶角是60。，那么这个三角形是等边三角形.师你能给大家陈述一下理由吗？和就是180。-60 =120。，再根据等腰三角形两个底角是相等的,生根据三角形的内角和定理，顶角是 60? ，?等腰三角形的两个底角的 ?所以每个底角分别是120- 2=60,则三个内角分别相等，根据等角对等边，？则此时等腰三角形的三条边是相等的，即顶角

5、为 60。的等腰三角形为等边三角形.生等腰三角形的底角是60，那么这个三角形也是等边三角形，同样根据三角形内角和定理和等角对等边、等边对等角的性质.师从同学们自主探索和讨论的结果可以发现：？在等腰三角形中，？不论底角是60,还是顶角是60。，那么这个等腰三角形都是等边三角形.？你能用更简洁的语言描述这个结论吗？生有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难点，难点是意识到分别讨论60的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想，教师要关注学生得出证明思路的过程，弓I导学生全面、周到地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想方法）师你在与同伴的交流过程中，

6、发现了什么或受到了何种启示？生我发现我的证明过程没有意识到“有一个角是60。”，在等腰三角形中有两种情况：（1）这个角是底角；（2）这个角是顶角.也就是说我们思考问 题要全面、周到.师我们来看有多少同学意识到分别讨论 60。的角是底角和顶角的情况,?我们鼓掌表示对他们的鼓励.今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢?生三个角都相等的三角形是等边三角形.师下面就请同学们来证明这个结论.（投影仪演示学生证明过程）已知：如图，在 ABC中,/ A=/ B=/ C.求证： ABC

7、是等边三角形. BC=A（等角对等边）.又/ A=/ C, BC=A（等角对等边）. AB=BC=AC即 ABC是等边三角形.师这样，我们由等腰三角形的性质和判定方法就可以得到.（演示课件）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.师有了上述结论，我们来学习下面的例题，体会上述定理.（演示课件）例4如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得/距离不少于200m他们的结论对吗?APB=60，AP=BP=200m?他们便得出一个结论： A B之间分析：我们从该问题中抽象出APB由已知条件/APB=60且AP=BP ?由

8、本节课探究结论知 APB为等边三角形.解：在 AAPB中，AP=BP / APB=60，11所以/ PABW PBA=1 (180 - / APB =- (180 -60 ) =60.2 2于是/ PABW PBA=/ APB从而APB为等边三角形，AB的长是200m ?由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.m.随堂练习（一）课本P54练习1、2.1.等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？它们分别是什么线段?答案：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，它们分别是三个角的平分线（或是三条边上的中线或三条边上的高线）2.如图，等边三角形 ABC中, AD是BC上的高，/ BDEM CDF=60

9、 , ?图中有哪些与BD相等的线段?答案：BD=DC=BE=EA=CF=FA=DE=DF（二）补充练习如图， ABC是等边三角形，/ B和/C的平分线相交于D, BD CD?勺垂直平分线分别交BC于 E、F，求证：BE=CF证明：连结 DE DF,贝U BE=DE DF=CF由 ABC是等边三角形，BD平分/ ABC得/ 1=30,故/ 2=30,从而/DEF=60 .同理/ DFE=60 ,故 DEF是等边三角形.DE=DF ,因而BE=CFW.课时小结这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，？并对 这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法.这节课我们学的定理非常 重

10、要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用.（一）课本 P56-5、6、7、10 题.V.课后作业（二）预习 P55P56.W.活动与探究探究：如图，在等边三角形ABC勺边AB AC上分别截取AD=AEAADE是等边三角形吗？试说明理由.过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解等边三角形的性质及判定.结果:已知：三角形ABC为等边三角形.D E为边AB AC上两点，且AD=AE 判 断 ADE?是否是等边三角形，并说明理由.解： ADE是等边三角形, ABC是等边三角形,/ A=60 .又 AD=AE ADE是等腰三角形. ADE是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）.板书设计 1

11、2. 3. 2等边三角形（一）、探索等边三角形的性质及判定问题：一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形、等边三角形的性质及判定三、应用例题讲解四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料等腰三角形（含等边三角形）的性质与判定.性质判定的条件等腰三角 形（含等 边三角形）等边对等角等角对等边“三线合一”即等腰三角形顶角 平分线，底边上的中线、高互相 重合有一角是60的等腰三角形是等边三角形等边三角形的三个角都相等，且每个角都是60三个角都相等的三角形是等边三角形参考例题1 .已知，如图，房屋的顶角/ BAC=100，过屋顶A的立柱ADL BC屋椽AB=AC求顶架上/C/ BAD / CAM

12、度数.解：在 ABC中,AB=AC（已知）,/ B=/ C （等边对等角）./ B=/ C= （180 - / BAC =40（三角形内角和定理）.2又 ADI BC（已知），/ BADM CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）/ BADM CAD=50 .2.已知：如图， ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到 E,使CE=CD求证：DB=DE证明： ABC是等边三角形，且BD是中线, BDI AC, / ACB=60 , / DBC=30 .又 CD=CECDEM E=1 / ACB=30 .2/ DBCM E. DB=DE3 .已知：如图， ABC是等边三角形，DE/

13、BC,交 AB AC于 D E.求证： ADE是等边三角形.证明： ABC是等边三角形（已知），/ A=/ B=/ C （等边三角形各角相等）. DE/ BC/ ADEM B,/ AEDM C （两直线平行，同位角相等）./ A=M ADEM AED ADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）123 2 等边三角形（二）教学目标一）教学知识点探索一一发现一一猜想一一证明直角三角形中有一个角为30。的性质.有一个角为 30的直角三角形的性质的简单应用二）能力训练要求.经历“探索发现猜想证明”的过程，？引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系培养学生用规范的数学语言

14、进行表达的习惯和能力三）情感与价值观要求鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性教学重点含 30角的直角三角形的性质定理的发现与证明教学难点含 30角的直角三角形性质定理的探索与证明引导学生全面、周到地思考问题教学方法探索发现法教具准备两个全等的含 30角的三角尺；多媒体课件；投影仪教学过程I.提出问题，创设情境师 我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质.大家可能已猜到，我让大家准备好的含30角的直角三角形,?它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢?问题：用两个全等的含 30角的直角三角尺，你能拼出一个怎

15、样的三角形？ ？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你能想到，在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边有怎样的大 小关系？你能证明你的结论吗?n.导入新课（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过 实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）生用含30角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.其中，图（1）是等边三角形，因为 ABDA ACD所以AB=AC又因为Rt ABD中,/ BAD=60，所以/ ABD=60，有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.生图（1）中，/ B=/ C=60，/ BAC2 BAOy CAD=30 +30 =60，所以/B=/ C=/ BAC=6

16、0，即 ABC是等边三角形.师同学们从不同的角度说明了自己拼成的图 （1）是等边三角形.由此你 能得出在直角三角形中，30角所对的直角边与斜边的关系吗?生在直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半.师我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？生可以，在图（1）中，我们已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC?而/ADB=90，即AD丄BC根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC1 BC 所以 BD=1AB, ?即在 Rt ABD中，/ BAD=30，它所对的边 BD 2 2是斜边AB的一半.师生共析这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起.？下面我们一同

17、来完成这个定理的证明过程.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30, ?那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图，在 Rt ABC中,/ C=90 , / BAC=30 .求证：BC=_AB.2分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至 D,使CD=BC连接AD.证明：在 ABC中,/ ACB=90 , / BAC=30，则/ B=60.延长BC至D,使CD=BC连接AD（如下图）V/ ACB=60 ,/ ACD=90 .V AC=AC ABCA ADC( SAS. AB=AD（全等三角形的对应边相等）. ABD是等边三角形（有一个角是60的等腰三角形是等边三角形）. BCBDAB.

18、2 2师这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题.（演示课件）例5右图是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁AB的中点，立柱BC DE垂直于横梁 AC, AB=7.4m / A=30，立柱BD DE要多长?分析：观察图形可以发现在 Rt AED与 RtAACB中，由于A=30DEAD BC=1AB又由D是AB的中点，2 2解：因为 DEI AC, BC AC, / A=3011BC= AB DEAD,22所以DEAB.4，由定理知,所以所以 BD= X 7.4=3.7 ( m .2又 AD=1AB,2所以 DEAD X

19、 3.7=1.85 ( m).2 2答：立柱BC的长是3.7m, DE的长是1.85m.师再看下面的例题.例等腰三角形的底角为15,腰长为2a,求腰上的高.已知：如图，在 ABC中, AB=AC=2a / ABC=/ ACB=15 , CD是腰AB上的高.求：CD的长.分析：观察图形可以发现，在 Rt ADC 中,AC=2a 而/ DACIA ABC的一个外角，？则/ DAC=15X 2=30,根据在直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半,?可求出CD解：/ ABC ACB=15 ,/ DAC ABC BAC=30 . CDAC=a（在直角三角形中，如果一个锐角等于30,那么它所对的2直角边

20、等于斜边的一半）.师下面我们来做练习.m.随堂练习（一）课本P56练习Rt ABC 中，/ C=90 , / B=2/ A,/ B 和/A 各是多少度？边 AB 与 BC?之间有什么关系?答案：/ B=60,/ A=30, AB=2BC（二）补充练习1 .已知：如图， ABC中,/ ACB=90 , 求证：BDAB.4证明：在 Rt ABC中，/ A=30 ,CD是高，/ A=30. BCSB.2在 Rt BCD中,/ B=60 , BD= BC2 BDAB.42 .已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段.求证：其中一条是另一条的2倍.已知：在 Rt A

21、BC中，/ A=90 , / ABC=/ C, BD是/ ABC的平分线.求证：CD=2AD证明：在 Rt ABC中，/ A=90 , / ABC=/ C,/ ABC=60 , / C=30 .又 BD是/ ABC的平分线,/./ ABD/ DBC=30 . ADaBD BD=CD2W.课时小结 CD=2AD这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含 30。的直角三角形的边的关系.这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用.V.课后作业（一）课本 P58-11、12、13、14 题.（二）预习P60P61，并准备活动课.1 .找出若干个成轴对称的汉字、英文字母、阿拉伯数字.2 .思考镜子对实物的改变.W.活动与探究在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.过程：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半”.从辅助线的作法中得到启示.结果