18 19 阶段复习课 第3章 三角恒等变换

1、 三角恒等变换第三课 ) 教师用书独具核心速填( C1)(. sin_sin_cos_cos_?cos () S2)(. sin_cos_cos_sin ()sin_ T3)(tan tan . )tan ( tan tan 1? 二倍角公式4. cos_2sin_(1)S：sin 22 2222. 12sin2cos1sincos：(2)Ccos 22 2tan . tan 2(3)T： 22tan1 5半角公式 cos 1. (1)S：sin 222 cos 1. cos (2)C： 222 cos 1cos 1sin . ：(3)Ttan 22sin cos cos 11 有关公式的逆用

2、及变形6 )tan tan ()(1?tan (1)tan tan cos 211cos 222. sin，(2)cos 222，) cos sin 2(3)1(sin ?2sin cos . sin 4?7辅助角公式 22sin(xb) acos sin xf()axbx体系构建 题型探究 页 1 第 给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于 将待求式用已知“变角”使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：其中“凑角法”是解决此三角函数表示将已知条件转化而推出可用的结论结构间的类问题的常用技巧解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、找出它们之间的联系

3、，差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换， 最后求出待求式的值3101 . 已知，tan 34tan 的值；(1)求tan 228 8sin cos 11cos5sin 2222. 的值(2)求 ?2sin 2? 】【导学号：79402144利用降幂公式和诱导公(2)(1)结合的取值范围，求解tan 的值；思路探究 的式子代入求值即可式先统一角，通过三角变换转化成关于tan 101tan (1)由解2tan 3或03，即tan 10tan 3tan得， 3tan 1. 331. tan ，所以又 34cos cos 1181154sin 22 原式(2) 2cos 1611cos

4、8sin 1155cos 22cos 4tan 34sin 3cos 52. 62cos 2跟踪训练 3335?，且0，求cos(，已知1sincos)的值. 4445134? 页 2 第 【导学号：79402145】 3解 0， 4433，0. 4424335?，又sincos， 44513?312?cos. 413?4?sin. 45?3? sinsincos() 442?331243335?sinsincos. cos 544441365513?三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称在具体实施过程中，应着重抓住“角

5、”的统一通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简 三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的 1sin 2cos 2 tan 证明：. cos 2sin 21思路探究 可从左边向右边证明，先把角由2向转化，再实现函数名称向tan 转化 sin 2?1cos 2?左边解 ?1cos 2sin 22 sin ?cos 2sin2sin cos sin ? 2?cos 2cos2sin cos sin ?cos tan 右边 跟踪训练 页 3 第 xx2sin 3x. tan 2求证：tan 2

6、2xcos 2cos xx2sin 证明 xcos xcos 2xx3?2sin 22? x3xx3x?coscos 2222?xx3xx33xx?sin cos sin sin sin cos ?2 222222?x3x. tan tan 23xxx2x3cos 2cos cos cos 2222 三角恒等变形的综合应用 与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质当给出的三角函(1)将三角函数的表达式变形化简，数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，等形式，然后再kcos(x)Asin(x)k或yA将函数表达式变形为y 根据化简后的

7、三角函数，讨论其图象和性质以向量运算为载体，考查三角恒等变形这类问题往往利用向量的知识和公(2)然后通过三角变换解决问题；通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，式，把三角函数中的角与向量的夹角统一有时还从三角与向量的关联点处设置问题， 为一类问题考查 . ab(x)(sin x，cos x)，f已知向量 a(1b，3)，21 sin 2cos 2 ，求的值；)0(1)若f ?2sin 4? 的值域(x)，时，求函数f(2)当x021sin 2cos 2思路探究 (1)可先由f()0求tan ，再化简后，由tan 值 ?2sin 4?代入求值； (2)先化简成f(x)Asin(x)的形式，再

8、据x范围求x范围，进而求得f(x)的值域 页 4 第 x)，b(sin x，cos 解 (1)a(1，3) ，3cos bsin xxf(x)a ，sin 03cos )f(0，即 3，tan 21 sin 2cos 2 ?2sin 4?cos sin cos sin 1tan 1tan 31 133. 2?x? ，3cos x2sin(2)f(x)sin x 3?2?，? ，x0，x 333? ，即x0时，取最小值3当x 335 ，x时，取最大值2当x，即 632 3，时，函数f2(x)的值域为当x0， 跟踪训练 为锐角1，且A1)，且mn(sin mA，cos nA)，(3，3已知向量 的

9、大小；求角A(1) R)的值域x(xA(fx)cos 2x4cos sin (2)求函数(1)由题意得mn3sin Acos A 解1， 1?AA?1，sin2sin. 662? 页 5 第 . ，A由A为锐角得A 3661 ，cos A(2)由(1)知 22 2sin 12sinxx(所以fx)cos 2x2sin x13?2sin x?. 2 22? 1,1，因此，所以sin x因为xR31 有最大值，x时，f()当sin x 22 3，f(x)有最小值当sin x1时，3?，3?. 的值域为所以所求函数f(x) 2? 转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式

10、的恒等变换， 转化与化归的思想就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式它贯穿于三角恒等变换是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想， 的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用124? ?分别为第二、第三，cos 已知sin和，且 2222513? 的值象限角，求tan 2 先根据思路探究最后由的范围求得其正、余弦再求正切值， 222? 求解 22?4?sin 解? 为第二象限角，且 225?3?2?. cos1sin 225?12? 为第三象限角，且cos又 2213?5?2?. 1sincos 2213?54?，tan， tan 22123? 页 6 第 ? tantan 222?54?tantan 12322?63. 1645?1?tantan1 12223? 跟踪训练53?，0，?. ，4已知sin cos sin， 244455? 的值；cos (1)求sin 和?. 的值(2)求cos 4? 】【导学号：794021461)cos 解 (1)由题意得(sin 2 ， 51 ，即1sin 2 54