2011年重庆理

1、2 2011年重庆理 一、选择题（共10小题；共 i2+i 3+i 4 1.复数一 = A11 - r 2 2 50分） C11 - B. - 2+ 2i f 11 - D. 2+ 2i 2. ? 0 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 第1页（共6页） 2,贝U ?= A. - 6 B. 2 C. 3 D. 6 4. 1 + 3?（其中？?且? 6）的展开式中?与?的系数相等，贝U ?= A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5.下列区间中，函数 ? = In 2 - ?在其上为增函数的是 B. - 1,3C. 0,| D. 1,2 6.

2、若 ?的内角 ?所对的边 ？?满足 ？?+ ?2 - ?= 4，且 ?= 60 ，则？?的值为 4 A. 3 B. 8-4 3 C. 1 7.已知？? 0, ? 0, ?+?= 2，贝U ?= 7 A. 2 B. 4 D. 5 8.在圆？+ ?- 2?- 6?= 0 内，过点 ?0,1 的最长弦和最短弦分别为 ?和?则四边形 ?的面积为 A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2 2 9.高为一的四棱锥？? ?的?底面是边长为1 一球面上，则底面 ?中心与顶点？?之间的距离为 2 2 A.亍B.三 的正方形，点 ？ ？ ？ ？ ？?均在半径为1的同 C. 1 D. 2 10.

3、设？?，？?为整数，方程 ?- ? 2 = 0在区间 0,1内有两个不同的根，则？+ ?的最小值 为 A. - 8 B. 8 C. 12 D. 13 二、填空题（共 5小题；共25 分） 11. 在等差数列 ？?？中，？+ ?= 37,则?+ ?+ ?+? = 12. 已知单位向量？，?的夹角为60 ,贝y 2?- ? = 13. 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为 14. 已知 sin?= 若？，?, - 2?成等比数列，求?和?； + cos?且？ 0,n，贝U cos2?n 的值为. 22sin ?- 15. 设圆？?位于抛物线？ = 2?与直线?= 3

4、所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆？的半径能 取到的最大值为. 三、解答题(共6小题；共78 分) 16. 设？?, ?= cos?in?2 cos? + cos(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点？?满足：？?= ?+ 2?其中？?，?是椭圆上的点，直线?与 ?勺斜率之 积为-2 .问：是否存在两个定点？，？，使得？?？+ ?为定值?若存在，求?, ?的 坐标；若不存在，说明理由. 21.设实数数列 ？?？的前？?项和？初满足？?+1 = ?+1 ? ?. 1 求证：对? 3 有 0 ?.1 ? 4. ?满足？?- n = ?o ,求函数？?？在 n,11n上的最大值和最小值. 424

5、 17. 某市公租房的房源位于？?？?三个片区设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其 中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任4位申请人中： (1) 恰有2人申请？?片区的房源的概率； (2) 申请的房源所在片区的个数？?的分布列与期望. 求曲线？?= ?在点1,?1 处的切线方程; 设?= ?7?e-?，求函数?的极值. 18. 设?= ?+ ?+ ? 1 的导数?7?满足?1 = 2? ?辺=-?，其中常数？? (2) (1) ?平面？?L ? ?= ? / ?30 (1) (2) 20.如图, 若？?= 2 , ?= 2?求四面体 ？?的体积； 若二面角？?- ? ?为60,求异

6、面直线？?与？?所成角的余弦值. 2 椭圆的中心为原点 ？离心率？?= rn，条准线的方程为 ？?= 2 2. 3 第3页(共6页) 第一部分 1. C2. A 6. A7. C 3. D 8. B 4. B 9. C 5. D 10. D 第二部分 11. 74 12. 3 11 13. 32 14. - 15.6- 1 第三部分 16. ? = ?Si n? ?os?7 由?- n =?0 , 答案 OO? cos2?+ sin2?= 2Sin2?7 cos2? 3?1n ?2 + 2= - 1,解得？?= 2 3.因此?= 3sin2?2 cos2?= 2sin 2?-.当 ? n, n

7、 当? n 时，2? 二 11 n 3 , 24 时, 所以?在 n,n , ?为增函数， n nv, ?为减函数. 上的最大值为? n 2?- n 11 n 4 ,-2T 11 n 624 =2. 11 n 上的最小值为？百 n 11 n 4 , 24 又因?上 4 17. (1)解法一： 所有可能的申请方式有 34种，恰有2人申请？?片区房源的申请方式有 警=27.解法二： 4次独立重复试验. 1 3.从而，由独立重复试验中事件 2 1 2 2 =C4 33 邑_丄 34 = 27 , c3 c2c4+c 2c2 2,故?在 c4 ?22 种. 从而恰有2人申请？?片区房源的概率为 设对每

8、位申请人的观察为一次试验，这是 记申请？?片区房源”为事件?则? = 式知，恰有2人申请？?片区房源的概率为 ?= ? 2 2 _ _8_ =2?. (2) ?的所有值为 1,2,3 .又 ?= ?= 34 c3c2c2 _ 4 9 . 34 1 从而有?= 1 X 27 + 2 18. (1)因为? = 由已知?1 = 2?因此 3 + 2?+ ?= 2?解得?= - 3. 14465 弓+ 3 X 9=2? ? + ?+ ? 1，所以?= ?恰当发生？?的概率计算公 眞综上知，？?有分布列 ? 1 1 ? 27 2 14 27 3? + 2? ?令 ?= 1，得?1 =3+ 2?+ ? 又

9、令？?= 2，得? = 12 + 4?+ ?由已知 5 .又 ?2 = -?,因此 12 + 4?+ ?= -?.解得？?= - - 因此?= ?- 2?- 3?+ 1.从而？1 第7页(共6页) -3? + 当？ 当？? 当？ 从而函数?在? = 0处取得极小值?0 = - 3,在? = 3处取得极大值?3 = 15e-3 19. (1)如图，设？?为?的中点. ?= ?所以？?L ?,?故由平面 知？?L平面?即？?是四面体 ?_ 平面? ?的面？?上的高，且？= ?n30 = 1, ?= 2 ?COs30= 3.在 Rt ?中，因？?= 2?= 2 3, ?= 2 ?.?由勾股定理易知

10、？= 1 ? = 3?-? 1 1 -X 32 4 5 . 4 15 =.故四面体？?体积 5 -5 S?= 因为?1 = 2 X - 3 = - 3,故曲线？?= ?在点1,?1处的切线方程为？? - I = - 3 6?+ 2?- 1 = 0. (2)由(1)知? = 3?- 3?- 3 e-?,从而有？?？= - a?2 + 9?e-.令?= 0, 9?= 0，解得? = 0 , = 3. -8 ,0时，？?？ 0,故?在-8 ,0上为减函数； 0,3时，？?？ 0，故？在0,3 上为增函数； 3,+ 8 时，？?？ 0,故?在 3, + 8 上为减函数； (2)解法一: 如图， ? ?

11、分别为边？?？?的中点，连接 ?,? ?贝U ?/?.? 从而/ ?是异面直线？?与？?所成的角或其补角. 设？?为边？?的中点，连接 ? ?,? ?.?则? ?,?由？?L?,?知？?L?,? 由(1)有？?L 平面？?？?故知？?！ ?.? 所以/ ?为二面角？? ? ?的平面角. ? ?= ?从而, 由题设知 / ?2?60 .设？?=?则?= ?sin / ?=?在 Rt ?中, ? ?33一 13, cot / ?=?从而？?= ;?*= ?=?因 Rt ?Rt ?故 ?= 23626 亠,1199 在 Rt ?中, ?= -?= -,又？= -?= 一， -；+ -s2 COS /

12、 ?- 从而在 ?中，因？?= ?-由余弦定理得？?-9-因此，异面直线？与？所 -2?- 6 . 成角的余弦值为f 解法二: 如图，过？?作？?！ ？?,？交？?于？. ?= ?-平面?!?平面？?易知？?,？?？?两两垂直. 以？?为原点，射线 ? ?,?分别为？?轴，？?轴，？?轴的正半轴，建立空间直角坐标系？?- ? 不妨设？?= 2，由？?= ? / ?=?30 易知点？ ？ ？的坐标分别为 ? 0, - 3,0 ,? 0, 3,0 ,? 0,0,1，则？?= 0, 3,1 .显然向量？?= 0,0,1 是平面?法向量. 已知二面角？?为60 ，故可取平面 ?单位法向量 ？?= ?,

13、?. ?+?= 3, 使得？= 60 ,从而？?= 1.由？?丄?有 3?+ ?= 0，从而 由?+ ?2 + ? = 1，得？=. 3 设点？的坐标为 ？?0，由？?L?,?丄？?？取？= 有 ?=- 63- ?- ?+3=0 36 解得 4 6 ?= -, ?= 0 9，或U, 7 3 一 ?=- 9 3,舍去. 6 易知？=-与坐标系的建立方式不合，舍去. 因此点？的坐标为？等,0，所以?= 99 4 6 -9- 2 3 -9- ,0 .从而 ? cos ? = 3 22 3 -9-, =22故 4 -6 222 + - 3+1 3 异面直线？?与？?所成的角的余弦值为-. 6 (e =

14、 dfracca = dfracsqrt 2 2 20. (1)由 (a = 2 , c = sqrt 2 , b2 = a2 - 少2 = 2 () ,dfracaA2c = 2sqrt 2 )故椭圆的标准方程为 )解得 3 第9页(共6页) (2)设？?？，？?,？ , ?,?，则由？?学 ? 2?寻 (beginsplitleft( x , y right) = left ( x_1 , y_1 right ) + 2left ( x_2 , y_2 right ) = left ( x_1 + 2x_2, y_1 + 2y_2 right ),) 即 (beginsplitx & =

15、x_1 + 2x_2, y & = )因为点？?，？?在椭圆？+ 2?= 4上，所以 (beginsplitx_1A2 + 2y_12 &= 4, x_22 + 2y_22 & = 4 ,) 故 (beginsplitxA2 + 2y2 & = left ( x_12 + 4x_22 + 4x_1x_2 right ) + 2left ( y_12 + + 4left ( x_1x_2 + 2y_1y_2right ) & =20 + 4left ( x_1x_2 + 2y_1y_2 right ) 设？?？ ？?分别为直线 ? ?喲斜率，由题设条件知(k_OM cdot k_ON = dfr

16、acy_1y_2x_1x_2 =-dfrac12,) 因此 (x_1x_2 + 2y_1y_2 = 0,) 所以 4y_22 + 4y_1y_2 right ) & = left ( x_12 + 2y_12 right ) + 4left ( x_22 + 2y_22 right ) (x2 + (x_1x_2 + 2y_1y_2 = 0 ? )所以？?点是椭圆 一 + = 1上的点. 2 510 设该椭圆的左、右焦点为?, ?，则由椭圆的定义知？?？+ ?为定值，又因为(c = sqrtleft (2sqrt 5right)人2 - left (sqrt10right )人2 = sqrt

17、10 ,) 因此两焦点的坐标为 (F_1left( -sqrt 10, 0 right ), F_2left ( sqrt 10, 0 right ) 21. (1)由题意 ?= ?；?得?= - 2?.由?是等比中项知?丰0 .因此?= - 2.由 ? - 2 2 ?+ ?=?= ?,解得？=歹=777 =孑 (2)证法一: 由题设条件有？?+ ?S+1 = ?+i ?故?丰1 , ?+i丰1且 ?S+1 ? =?刃 =頁；从而对？? 3有 =?+1 - 1， ? ?-1 ?-1 - 1 ?-1 + ?-2 ?-1+?-2- 1 ?-1+ ?-1+吕-1 ?纟?一 1 因？2?-1 - ?-1 + 1 = ?-1 0,且？?_ 0,由得？? 0.要证 =?_1-?-1+1 ? ?亦4,由只要证？?苗齐 W-，即证3?2?-1 W 4 ?-1 - 3 ?-1 + ，即 ?-1 - 2 2 0.此式明显成 ? ?务?+1 ? ?勿又因？?？ 0，故?2?沖 1,即 立.因此？? 3最后证？?+1 ?若不然?+1 = 3 ?- 1 2 0.矛盾.因此？1 0.又由伽2 =?+1 +?+2