16[1].2(1)16.2(2)排列与排列数公式

1、16.2(1)(2)排列排列与排列数与排列数 排列与排列数排列与排列数 加法原理（分类计数原理）加法原理（分类计数原理）完成一件事完成一件事, ,有有n n类办类办 法法, ,在第在第1 1类办法中类办法中, ,有有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2类办类办 法中法中, ,有有m m2 2种不同的方法种不同的方法在第在第n n类办法中类办法中, ,有有m mn n 种不同的方法种不同的方法, ,则完成这件事有则完成这件事有N=mN=m1 1+m+m2 2+ +m+ +mn n 种不同的方法种不同的方法 乘法原理（分步计数原理）乘法原理（分步计数原理） 完成一件事完成一件事

2、, ,需要分需要分 成成n n个步骤个步骤, ,在第在第1 1步中步中, ,有有m m1 1种不同的方法种不同的方法, ,在第在第2 2步步 中中, ,有有m m2 2种不同的方法种不同的方法在第在第n n步中步中, ,有有m mn n种不同种不同 的方法的方法, ,则完成这件事有则完成这件事有N=mN=m1 1m m2 2 m mn n种不种不 同的方法同的方法 复习 排列与排列数排列与排列数问题一问题一 某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两 个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少 种不同的单程飞机票种不同

3、的单程飞机票? ? 解：解：需要两个步骤：需要两个步骤： 第一步，从第一步，从4个城市中选出一个作为出发地，个城市中选出一个作为出发地， 有有4种不同的选择种不同的选择 第二步，第二步，从其余的从其余的3个城市中选出一个作为目的地，个城市中选出一个作为目的地， 有有3种不同的选择种不同的选择 根据根据乘法原理乘法原理，得到不同的单程飞机票共有，得到不同的单程飞机票共有 43= 12 排列与排列数排列与排列数问题一问题一 某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两 个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少 种不同的单程

4、飞机票种不同的单程飞机票? ? 甲甲 数学抽象数学抽象 第第1 1位位 第第2 2位位 甲，丁甲，丁 乙，乙， 丙丙 乙乙 丙丙 丁丁 乙乙 甲甲 丙丙 丁丁 丙丙 甲甲 乙乙 丁丁 丁丁 甲甲 乙乙 丙丙 实质：从四个不同元素实质：从四个不同元素 中取出中取出2个元素，按照个元素，按照 一定的次序排成一列一定的次序排成一列 排列与排列数排列与排列数问题二问题二 从从A.B.C.DA.B.C.D四个字母中四个字母中, ,每次取每次取3 3个字个字 母排成一列母排成一列, ,共有多少种排法共有多少种排法? ? B BC CD D A A B BC C D D B BC CD D 第一步第一步 第

5、二步第二步 第三步第三步 排列与排列数排列与排列数 从从A.B.C.DA.B.C.D四个字母中四个字母中, ,每次取每次取3 3个字个字 母排成一列母排成一列, ,共有多少种排法共有多少种排法? ? B BC CD D A A B BC C D D B BC CD D 第一步第一步 第二步第二步 第三步第三步 数学抽象数学抽象 第第1 1位位 第第2 2位位 第第3 3位位 B B A A D D C C （种）（种）24234 问题二问题二 排列与排列数排列与排列数 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素, , 按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列

6、, ,叫做从叫做从n n个不同个不同 元素中取出元素中取出m m个元素的个元素的一个排列一个排列 注注: :从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素 （mnmn） 按按顺序顺序排成一列排成一列 排列的定义排列的定义 排列与排列数排列与排列数 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素, ,按按 照一定的顺序排成一列照一定的顺序排成一列, ,叫做从叫做从n n个不同个不同 元素中取出元素中取出m m个元素的个元素的一个排列一个排列 判断判断 判断判断下列几个问题是不是排列问题下列几个问题是不是排列问题? ? 从班级从班级5名优秀团员中选出名优秀

7、团员中选出3 人参加上午的团委会人参加上午的团委会 1000本不同的参考书中选出本不同的参考书中选出 100本给本给100位同学每人一本位同学每人一本 1000名来宾中选名来宾中选20名贵宾分名贵宾分 别坐别坐120号贵宾席号贵宾席 排列与排列数排列与排列数 排列的定义中包含两个基本内容：排列的定义中包含两个基本内容： 一个是一个是“取出元素取出元素”； 二是二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”， 一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也是判就是与位置有关，这也是判 断一个问题是不是排列问题的重要标志。断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同，根据排列的定义，两个排

8、列相同， 当且仅当两个排列的元素完全相同，当且仅当两个排列的元素完全相同， 而且元素的排列顺序也相同。而且元素的排列顺序也相同。 说明说明 在什么情况下，我们可以把两个排列称为相同的在什么情况下，我们可以把两个排列称为相同的 排列？排列？ ？ 排列与排列数排列与排列数排列数定义排列数定义 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有排列个元素的所有排列 的个数的个数, ,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素的排排 列数列数, ,表示方法表示方法 , ,当当m=nm=n时，叫做时，叫做n n个不同元素个不同元素 的全排列，表示方法的全

9、排列，表示方法 m n P n n P 排列与排列数排列与排列数 判断判断下列几个问题是不是排列问题下列几个问题是不是排列问题? ? 从班级从班级5名优秀团员中选出名优秀团员中选出3 人参加上午的团委会人参加上午的团委会 1000本不同的参考书中选出本不同的参考书中选出 100本给本给100位同学每人一本位同学每人一本 1000名来宾中选名来宾中选20名贵宾分名贵宾分 别坐别坐120号贵宾席号贵宾席 100 1000 P 20 1000 P 排列与排列数排列与排列数 课堂练习：课堂练习： P:52/1,2,3,4 （1）判断是否为排列问题？）判断是否为排列问题？ （2）完成题目要求）完成题目要

10、求 （3）用排列数表示结果）用排列数表示结果 问题一问题一 某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两 个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少 种不同的单程飞机票种不同的单程飞机票? ? 问题二问题二 从从1 1，2 2，3 3，4 4四个字母中四个字母中, ,每次取每次取3 3个字母排个字母排 成一列成一列, ,共有多少种排法共有多少种排法? ? 2 4 P 3 4 P =43= 12 =432= 24 猜想：猜想： 3 5 P =？ 乘法原理：乘法原理： 排列数公式：排列数公式： 43= 12 乘法原理：乘法原

11、理：4 32= 24 排列数公式：排列数公式： 排列与排列数排列与排列数问题三问题三 从从5个人中选出个人中选出3人坐在排好顺序的三个空位上，人坐在排好顺序的三个空位上， 每人一个座位，共有每人一个座位，共有？种排法种排法? 3 5 P 我们可分几个步骤完成这件事我们可分几个步骤完成这件事 3 第第1位位第第2位位第第3位位 5种种4种种3种种 3 5 P =543 = 60 排列与排列数排列与排列数 第第1 1位位 第第2 2位位 第第3 3位位第第m m位位 n n-1n-2n-m+1 Pn =n(n-1)(n-2) (n-m+1) m ,mn 排列数公式排列数公式 从从n n个不同元素中

12、取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素的所有排个元素的所有排 列的列的个数个数, ,叫做从叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素个元素 的的排列数排列数 m n P 从从n个人中选出个人中选出m人坐在排好顺序的人坐在排好顺序的n个空位上，每个空位上，每 人一个座位，共有？种排法人一个座位，共有？种排法? 排列与排列数排列与排列数 )2( )1( nnn P n n 3 2 1 )1()2( )1( mnnnn P m n n P n n ！ n!读做读做n阶乘阶乘 排列数公式：排列数公式： 排列与排列数排列与排列数 )n(m )!mn( ! n m n P 当当mn时

13、时 )1()2( )1( mnnnn P m n )!( ! 123m)-(n 123m-(n1)m-(n2)-(n1)-(nn mn n ） 排列数公式又可写成排列数公式又可写成 规定规定0！=1!nPnm n n 时时，当当 排列与排列数排列与排列数 )1()2( )1( mnnnn P m n 排列数公式：排列数公式： )Nnm,n,(m )!mn( ! n m n P )Nnm,n,(m 常用于计算含有数字的常用于计算含有数字的 排列数的值排列数的值 常用于对含有字母的排列数常用于对含有字母的排列数 的式子进行变形和论证的式子进行变形和论证 10 ！规定：规定： 排列与排列数排列与排列

14、数 例例1 1 计算：计算： (1) 3 16 P3360141516 =6！=654321=720 6 6 P) 2( 例题与练习例题与练习 ! 57 !7! 8 )3( 2 2 )!1(! )4( m m P mm 排列与排列数排列与排列数 变式题：变式题： mn m n , 451617P1 则则 、如如果果 n n 则则、如如果果,90P2 2 1714 n(n-1)=90 10 3.由乘积式写出排列数的符号由乘积式写出排列数的符号 (m-2)(m-3).(m-k+3) 4 2 k m P 例例2.2.解方程解方程: : 34 12 140)1( nn PP 1 98 43)2( mm

15、 PP 注注:有关排列组合公式形式给出的有关排列组合公式形式给出的 方程、不等式，它们的解法与一般方程、不等式，它们的解法与一般 方程、不等式类似，但要注意其中方程、不等式类似，但要注意其中 字母的限制条件。字母的限制条件。 排列与排列数排列与排列数 例例3.3.求证求证: : )!1()!1( 1 ! 1 )3( )2( !)!1)(1( 1 1 n n nn nPP nnnn m n m n 排列与排列数排列与排列数 Pn m+ Pn m-1 m (n- -m)! n! = + m (n- -m+1)! n! = (n- -m+1)! n!(n- -m+1) + (n- -m+1)! mn

16、! = (n- -m+1)! n!(n+1) = (n+1 - -m)! （n+1）! Pn+1 m = 例例3 3(4)(4)求证：求证： Pn m+ Pn m-1 m = Pn+1 m 证明证明: : 例例4.4. (1)若若n!的末三位是的末三位是000,求最小的求最小的n的值的值. (2)设设m=1!+2!+3!+999!, 求求m的个位数字的个位数字. 练习练习: :求和求和: : ）！）！（ ）（ ！ ）（ ！）（ 2 1 5 4 4 3 3 2 2 3322111 n n nn 排列与排列数排列与排列数 1.1. 某段铁路上有某段铁路上有1212个车站，个车站， 共需要准备多少种普通客共需要准备多少种普通客 票？票？ )( 1321112 2 12 种种 P 应用练习应用练习 排列与排列数排列与排列数 2.2. 某年全国足球甲级某年全国足球甲级(A(A组组) ) 联赛共有联赛共有1414队参加队参加, ,每队都每队都 要与其余各队在主客场分别要与其余各队在主客场分别 比赛比赛1 1次次, ,共进行多少场比赛共进行多少场比赛? ? )182(3141 2 41 场场 P 排列与排列数排列与排列数小结小结 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素, ,按照一定按照一定 的顺序排成一列的顺序排成一列, ,叫做从叫做从n n个