24.1.4圆周角)

1、24.1.4 圆周角)5分钟训练（预习类训练，可用于课前1.在O O中，同弦所对的圆周角（A.相等B.互补思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补 互补.答案：C2 .如图 24-1-4-1，在 O O 中，弦 AD=弦 DC ,C.相等或互补D.都不对.因此同弦所对的圆周角相等或则图中相等的圆周角的对数有 （）C6A图 24-1-4-1A.5对B.6对C.7对D.8对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆.周角：弧AD所对的/ 1 = / 3;弧DC所对的/ 2= / 4;弧BC所对的/ 5= / 6

2、 ;弧AB所对的/ 7= / 8.找等弧所对的圆周角，因为弧 AC=弧DC,所以/仁/ 4,/ 1 = / 2, / 4= / 3,/ 2=/3.由上可知，相等的圆周角有 8对.答案：D3. 下列说法正确的是（）A.顶点在圆上的角是圆周角C.圆心角是圆周角的 2倍思路解析：本题考查圆周角的定义答案：D4. （2010东北师大附中月考）如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在O O上，且AC为O O的 直径，则/A+ / B+ / C=度.B.两边都和圆相交的角是圆周角D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半图 24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义，求得弧的度数是半圆周的一半.答案：

3、9010分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.（ 山东济南模拟）如图24-1-4-3，把一个量角器放在/BAC的上面，请你根据量角器的读数判断/ BAC的度数是（）A.30 B.60C.15D.20鱼眉Q图 24-1-4-3思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答答案：C2. （2010南京建邺一模）如图24-1-4-4 , A、于（）A.75 B.60 思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得答案：B3. （重庆模拟）如图24-1-4-5 , OB、OC是O O的半径,/ C=30 ，则/ A=.思路解析：连结 A0,贝y AO=OB , OA=OC，所以/ 答案：504. （经典回放）在半径为

4、1的O O中，弦AB、AC分别是 思路解析：CAO=45 图 24-1-4-4图 24-1-4-5B、C是O O上的三点,/ ACB=30 ，则/ AOB等C.45D.30A是O O上一点，若已知/ B=20 ,A= / B+ / C=20 +30 =503和2,则/ BAC的度数是如图 和图，分两种情况，作直径 AD，连结 BD，易知/ BAD=30 ，/ ,/ BAC=15。或 75 .Q 或75答案：155.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且 BP=CQ , A为BC外一动点，当点 A运动到使/ BAP= / CAQ时， ABC是什么三角形？试证明你的结论 .图 2

5、4-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当/ BAP= / CAQ时， ABC是等腰三角形.证明：如图，作出 ABC的外接圆，延长 AP、AQ交该圆于 D、E,连结DB、CE,由/BAP= / CAQ，得弧 BD=弧 CE.从而弧 BDE=弧 CED，所以 BD=CE , / CBD= / BCE.又 BP=CQ ,贝 BPD CQE，这时/ D= / E,由此弧 AB=弧 AC，故 AB=AC, 即 ABC是等腰三角形.快乐时光某足球队队员添了一个小孩，所有队友被邀请参加洗礼，来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落，守门员果断地扑出，在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌

6、欢呼，守门员习惯地拍了两下，接着熟练地大脚开出.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.如图24-1-4-7，已知O O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm , / ACB的平分线交O O于D，求BC、AD和BD的长.cfiAOD图 24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解： AB 是直径，/ ACB= / ADB=90 .在 Rt ACBCD平分/在 Rt ADB中，Bc= Jab2 - AC2 = Ji02 -62 =8.ACB ,弧 AD=弧 BD. AD=BD.近 L中，AD=BD= AB=5

7、J2 (cm).22.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图 哪一个肯定是半圆环形？24-1-4-8所表示的情形，四个工件图 24-1-4-9.认真观察图形,思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确， D中的直角只满足圆周角的一个特征，也 不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案:B3. (辽宁大连模拟)如图24-1-4-9 , A、C、B是O O上三点，若/ AOC=40 ，则/ ABC的度 数是()A.10 B.20 C.40

8、D.80 思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B4. 如图24-1-4-10(1),已知 ABC是等边三角形，以BC为直径的O O交AB、AC于D、E.(1) 求证： DOE是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2)，若/ A=60 , AB丰AC ,则 中结论是 否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图 24-1-4-1060 ,利用60的圆周角定理，可思路分析： ABC是等边三角形，所以/ B、/ C均为 知 DOB、 EOC均为等边三角形.第二种情形类似.(1) 证明： ABC为等边三角形，/ B= / C=60 .OB=OC=OE

9、=OD , OBD 和 OEC 都为等边三角形./ BOD= / EOC=60 ./ DOE=60 . doe为等边三角形.(2 )解：当/A=60 , AB丰AC时，(1)中的结论仍然成立. 证明：连结 CD. / BC为O O的直径，/ BDC=90 ./ ADC=90 ./ A=60 ，/ ACD=30 ./ DOE=2 / ACD=60 ./ OD=OE , doe为等边三角形.5. 四边形 ABCD 中，AB /DC, BC=b , AB=AC=AD=a，如图 24-1-4-11，求 BD 的长.?DC4图 24-1-4-11思路分析：由AB=AC=AD=a 可以.得到点B、C、D在

10、以A为圆心，以a为半径的圆上，因 而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论解： AB=AC=AD=a，点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作O A , 并延长BA交O A于E,连结de./ AB / CD，弧 BC=弧 de. BC=DE=b./ be 为O a 的直径，/ EDB=90 .在 Rt EDB 中，BD= JbE2 -DE2 = J4a2 -b2 , BD 的长为 J4a2 -b2 .6在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时,乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是

11、迅速将球传给乙，让乙 射门好？1/A-0图 24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门 MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过 M、N、B作圆，贝U A点在圆外，设 MA 交O O 于 C,则/ MAN / MCN，而/ MCN= / MBN，所以/ MAN /C/ADB 0 .由(1) (2)知，在航标灯 A、B所在直线北侧，在圆弧弧 APB外任一点对A、B的视角都 小于0 ；在圆弧弧 APB上

12、任一点对 A、B的视角都等于0 ；在圆弧弧 APB内任一点对 A、B 的视角都大于0 .为此只有当对两灯塔的视角小于 0的点才是安全点.8. (湖北恩施自治州课改区模拟)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种 特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14(1)所示：cfi图 24-1-4-14 / AOC 是 ABO 的外角，/ AOC= / ABO+ / BAO. 又 OA=OB, / OAB= / OBA. AOC=2 / ABO,1即/ ABC=丄 / AOC.2如果/ ABC的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样？请你说明理由.思

13、路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论：（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部. 解：如果/ ABC的两边都不经过圆心，1结论/ ABC=丄/ AOC仍然成立.2（1）对图的情况，连结BO并延长交圆0于点D,1由题图（1）知:/ ABD= / AOD,2/ CBD= 1 / COD.2/ CBD= - / AOD+ - / COD,2 2即/ ABC=1/ AOC.2（2）对图（3）的情况仿图（2）的情况可证.9. （经典回放）如图24-1-4-15所示，已知AB为O O的直径，AC为弦，OD / BC ,交AC于

14、D ,BC=4 cm.（1）求证：AC丄OD ;求OD的长；若/ A=30。，求O O的直径.图 24-1-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.(1) 证明：/ AB 是O O 的直径，/ C=90 ./ OD / BC，/ ADO= / C=90 . AC 丄 0D.(2) 解：/ 0D / BC,又 0是AB的中点， 0D是 ABC的中位线.11 0D= BC= X 4=2 ( cm).22(3) 解：/ A=30。，在 Rt ABC 中，/ A=30 ,M 1BC= AB.2 AB=2BC=8 (cm)，即O O 的直径是 8 cm.10. (经典回放)如图24-1-4-16所示，AB是O O的直径，C、D、E都是O 0上的点，则/ 1 + / 2=.思路解析：/ 1所对的弧是弧 AE , / 2所对的弧是弧 BE,而弧AE +弧BE=弧AB是半圆， 因此连结AD , / ADB的度数是90,所以/ ADB= / 1 + /2.本题也可以连结 EO,得到圆 心角/ EOA 和/ EOB,而/ EOA + / EOB=180 ，所以/ 1 + /2=90 ，这是圆周角定理