第六节微分法在几何上的应用.

1、第六节微分法在几何上的应用 要求：会求空间曲线的切线及法平面方程，会求空间曲面的且平面及法线方程。 重点：空间曲线的切线及法平面方程，曲面切平面及法线方程的求法。 难点：空间曲线的方程组形式给出的情况，求其切线及法平面方程。 作业：习题 8-6 ( P52) 4,5,6,9,10 一空间曲线的切线与法平面 1.空间曲线由参数方程给出 设空间曲线的参数方程为x (t) , y (t) , z w(t)，且三个函数均可导. 当t to时，对应曲线上的点 Mo(Xo,y,Zo), 当t t0 t时，对应曲线上的点 M (x0 x, y0 y,Zoz),曲线的割线M 0M的方 程为 x X。 y y

2、z Zo xyz 当M沿曲线趋于Mo时，割线M 0M的极限位置 M 0T就是曲线在点 M 0处的切线，其切线方程如何？ x X。 y yo z Zo xyz ttt Mo(这时t 0),上式取极限，即得曲线在点 Mo处切线方程为 x xo (to) yyo (to) z Zo w (to) 说明 (1)(to),(to),w(to)不能同时为零，如果个别为零，按空间解析几何中有关直线对称 式方程的说明理解； ur (2)切线的方向向量 T(t0), (t0),w(t0)称曲线切向量. 切向量的方向余弦为 cos (t) ,(t)2 ( (t)2(w(t)2 cos (t) .(t)2( (t)

3、2(w(t)2 cos w(t) .(t)2 ( (t)2 (w(t)2 曲线的法平面 通过点M。而与切线垂直的平面称为曲线在点M。处的法平面，方程为 (t)(x X。)(t)(y y) w(t)(z Zo) 0. 3处的切线和法平面方 例1 .求螺旋线x acos , y a sin , z b对应于 程. a Xo 2 解曲线上对应于 的点 Mo(Xo,y,Zo)，即 3 yo .3 a , 2 ZO3b u 切向量 T ( ),( ),w() -a,-,b ，因此 2 2 a x 切线方程为 2 a 2 法平面方程为 2(x 2 a, 尹 W) 2 b(z 3b) 切向量的方向余弦为 C

4、Os一2 2 .a sin b 2 2, 2 a cosb 可见曲线的切线与 z轴的夹角(母线的夹角)为定值. 2.空间曲线的方程由 y (x) , z (x)给出 x x 取x为参数，它就可表示为参数方程的形式 y (x), z (x) 若(x),(x)在 x Xo处可导，曲线在点 Mo(Xo, yo,Zo)处的切向量 u T 1,(Xo),(Xo) 切线方程 XXoy yo z Zo 1(Xo)(Xo) 法平面方程X X) (x)(y yo) (Xo)(Z Zo)o. 例2 .求曲线y2 2mx , z x在点(xo,yo,zo)处的切线及法平面方程. 解 因为2yy 2m , y 2zz

5、 1 , 1 2z 所以切向量 1 1 JJ yo 切线方程 x Xo 1 yo(y yo) m 2Zo(z Zo) 法平面方程 Xo (y yo) yo (z Zo) 3.空间曲线 的方程由F(x ,y G(x,y,z) O给出 O 设Mo(xo,yo,zo)是曲线 上的一点，又设 F,G 对各变量的偏导数连续，且 (F,G) | 石RMo O,此时方程组在点 M o的某邻域内唯一确定一组函数y (x) , z (x), 求曲线在点 M o处的切线方程及法平面方程. 只要求出 (Xo), (Xo)，得切向量 1, (Xo), (xo)，为此方程 F(x, G(x, (x), (x) (x),

6、 (x) 两边对X求全导数得 F F型 x y d dy dx Gx Gy Fz空 dx dz Gz - dx Fy Gy dy dx dy dx dz Fz_ dx G dz Gz dx Fx Gx 所以可解得 dy dx Fy Gy Fz Fx Fx Fy Gz Gx dz Gx Gy dx J J Fz Gz u dv dz 于是切向量 T1,-V，1, (X。)， (xo) dx dx 2 2 2 例3 求曲线x y z 6, x y z 0在点(1, 2,1)处的切线及法平面方程. 解 下面我们依照推导公式的方法来解，将所给方程两边对x求导，得 dy dz x 2y 2z 0 dx

7、dx 1巴 dz 0 dx dx dv dx dz z dx dz dx 法平面方程为 解方程组，得 x z y x dy 1 1 z x dz 1 1 dx y z y z dx y z 1 1 于是 dy | 0 dz| J dx l(1 2j) , dx l(1 2j) u 从而 T 1,0, 1 1 因此，所求切线方程 x 1 z 1 x 1 y 2 z 1，即1 1 1 0 1 v 2 0 (x 1)0(y 2) (z 1) 0 , 即x z 0 t 1 t 2 练习：求曲线x,y,z t在对应于t 1的点处的切线及法平面方程. t 1 t 曲面的切平面与法线 1 曲面方程由隐式方程

8、F(x, y,z) 0给出 设曲面 方程为F (x, y,z) 0,点M0(x0,y0,z0)为曲面上的一点，又设函数 F(x,y,z)的偏导数在点M。连续且不同时为零. 讨论曲面在点 M。处的切平面，那么曲面在点M。处切平面指什么？ 为此首先考虑这样一个事实：在曲面上过点M0的任何曲线在 M0的切线位于 同一平面上，下面证明这个事实. x 在曲面上过点 M。任意引一条曲线，其参数方程为y (t), z w(t) 且(to),(t0),w(t0)不全为零，由于曲线位于曲面上，满足F( (t), (t), w(t) 0，又 因为F(x,y,z)在点M。处有连续偏导数，且(to), (to),w(

9、to)存在，上式的复合函数在 rl匚 t to的全导数存在，于是 |t t00 即 dt Fx(Xo,yo,Zo) (to) Fy(Xo,yo,Zo) (to) Fz(Xo, yo,Zo)w(to)0. 引入向量n Fx, Fy,FZ . u 上式表明，曲线在点Mo处的切线向量T(t0), (t0), w (t0)与一个确定向量n 垂直. 因为曲线是曲面上过点 Mo的任一条曲线，它们在 Mo的切线都与同一个向量n垂 直，所以曲面上过点 Mo的一切曲线在点 Mo的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面 在点M 的切平面，切平面方程为 Fx(Xo, yo,Zo)(x Xo) Fy(Xo, yo,Z

10、o)(y y) Fz(x, y,z)(z z) 0 , 曲面 在点Mo的切平面的法向量 n Fx,Fy,Fz简称为曲面的 法向量. 过点Mo且垂直于切平面的直线称为曲面在点Mo的法线，其方程为 x Xoy yoz z Fx(x。，y。，z。)Fy(x。，y。，z。)Fz(xo ,yo,z。) 例4 .求曲面ez z xy 3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程. 解令 F (x, y,z)ez z xy 3，则 nFx，Fy,Fzy,x,ez 1 ,即有 nmo) 1,2,0 , 在点(2,1,0)处切平面方程为 (x 2)2(y 1)0(z 0)0 , 即 x 2y 40. 法线方程为

11、 Z 0，即 0 2.曲面方程由显式方程z f (x, y)给出 求曲面z f (x, y)在点Mo(Xo，yo，Zo)处切平面及法线方程. 令 F(x, y,z) f (x, y) z，可见 F*fx(x, y), Fy fy(x,y), Fz 1，则曲面 在点 M处法向量为 nfx(x, y), fy(x, y), 1 , 于是切平面方程为fx(x,yo)(x X。) fy(x,yo)(y y) z z , 法线方程为 xXo yyoz zo fx(xo,yo)fy(x,y) 说明 (1)函数z f (x,y)在点(x,y。)的全微分为 dz 因此切平面方程z z0 fx(x,y)(x X

12、o) fy(Xo,y)(y y), fx(x X。) fy(y yo)表示全微分的几何意义，即曲面 z f (x, y)在点Mo处切平面上点的竖坐标的增量(正象一元函数表切线的纵坐标增量) (2)若曲面的切平面的法向量的方向角为 ,，并假定向量的方向是向上的 (即使得 它与z轴的正向所成的角 是锐角)，则法向量的方向余弦如何求? COS ,cos 若曲面方程为z f (x, y)，则 2，COS y 若曲面方程为F (x, y, z) 0,则 cos邑 贋 Fy2 F； ,cos Fy COS 2 f2 y z Fx2Fy2F Fz 一 Fx2Fy2Fz2 例5.求旋转抛物面z X2 y21在

13、点Mo(2,1,4)处的切平面及法线方程. 解因为 f (x, y)x2y2 1,所以n fy, 12x,2y, 1 ，即有 nMo4,2, 1 4(x 2)2( y 1) (z 4)0 ,即 4x 2y z 6 0 . 法线方程为 x 2 y 1 z 4 4 2 1 于是过点M。的切平面方程为 1上平行于平面 例6.求椭球面x2 2y2 z2 2z 0的切平面方程. 解因为切平面的法向量为 2x,4y,2z , 而平面 y 2z 0法向量为 ir n 1, 1,2 又因为v n, 将 x k, y k2 x 所以- 1 Sz 2 1 . 2 k 2 2k代入方程 4k21 1中, 从中解出k 121 . 曰 是， 所求点为 121,2121)及(,11911 2：1)， 切平面方程为 0, 例7.设曲面S方程xyz a3(a 0)，求曲面S上任一点(x0,y0,z0)处切平面方程, 并证明曲面S的所有切平面与坐标面形成的四面体的体积为定值. 解 设 F(x, y,z) xyz a3，则 Fx yz , Fy xz , Fzxy , 所以在点M 0 (x, y, z)的切平面方程为 yzo(x X。) XoZo(y y) xy(z 即yzox XoZy Xoyz 3a3 . 将其化为截距式 X y z 1 3a3