9.4.2双曲线的几何性质

1、数学学科教案设计（首页）班级：课时：2 授课时间：年 月 日课题：942 双曲线的几何性质目的要求：理解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据 双曲线方程求其几何性质.重点难点：教学重点是理解双曲线的几何性质，掌握由双曲线方程求其性质的方法.教学难点是了解双曲线几何性质的推导过程.教学方法及教具：采用讲授法、讨论法与直观演示法相结合完成教学，多媒体设备与作图工 具辅助教学.教学反思:作业或思考题：读书部分：复习教材中 9.4.2 ;（2）书面作业： 修改课堂练习并完成学习手册第153页中强化练习14.教学过程教师活动学生活动时间*揭示新知识上节课学习了双曲线的标准方程，接

2、下来就是研究双曲线的几何性质.介绍说明倾听了解点明教 学内容02分钟*创设情景新知识导入复习1 双曲线的标准方程，并说明两种形式的方程的本质区别是什么？2 如何区分双曲线与椭圆的标准方程？观察与思考观察图9_20 由双曲线方程画双曲线图形， 为使列表描点更准确，避免盲目性, 有必要先对双曲线范围、对称 性、截距进行讨论还应明确 影响双曲线延伸方向的重要参 数离心率.播放课件质疑观看 课件 思考*观察思考探索新知 双曲线的性质如图9-20所示，类似于椭圆，根据双曲线的标准2 2方程X2 - 2 =1（a 0, b 0）来研究双曲线的几何性 a b质.1.范围自我建构通过作 出双曲 线的图 形，引

3、 导学生 自然进 入新知 的学习 探索， 并理解 双曲线 的几何 性质.05分钟归纳 探研讲解 理解由标准方程可知，双曲线上点的坐标（x, y ），对于 强调 记忆任何实数x , y都适合不等式2X2 -1,即 x2 -a2,a所以x _a或x _ -a .这说明双曲线在两条直线 x =a , x = -a的外侧.2 .对称性双曲线关于每条坐标轴和坐标原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，坐标原点是双曲线的对 称中心.双曲线的对称中心叫做 双曲线的中心.23以作双分钟 曲线的 图像为 线索， 引导学 生探讨 并理解 双曲线 的几何 性质.教学过程教师 活动学生活动设计 意图时 间3 .

4、顶点在标准方程中，令y=0,得x=a，因此双曲线归纳探研以作双 曲线的和x轴有两个交点 a（t, 0），A2（a, 0）.因为x轴是双图形为 线索，曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，讲解理解引导学 生探讨它们叫做双曲线的顶点.二til不 X J 并理解令x = 0 ,得y2 =42 ,这个方程没有实数根， 说明双曲线 的几何双曲线和y轴没有交点，但也把 吕（0, b）, B2（0, b）画强调记忆性质.在y轴上（如图9-20所示）.线段NA叫做双曲线的实轴，它的长等于2a , a叫做双曲线的实半轴长.B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b , b叫做双曲线的虚半轴长.4 渐近线经过

5、点A、A分别作y轴的平行线x=a，经过点B!、B2作x轴的平行线y = ，四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线的方程是y=2x，从a图9-20可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.2 2讨论:双曲线 p -p 1在第一象限内部分的方程a b可写为 y =bj7x2 _a2(xa).a设M （x, y ）是它上面的点，N （x, y）是直线y =bx上与M有相同的横坐标的点，贝U y = bx .aa因为 y =b Jx2 _a2 =bxjl _|旦bx = y，, aa lx 丿a所以 |MN| = y*_y =b(x_Px2 _a2)a教学过程教师活动学生活动ax

6、x-axx-a结论：设d是点M到直线y =b x的距离，则ad ： MN 但x逐渐增大时，MN逐渐减小，x无限增大， MN趋近于0 , d也趋近于0 这就是说，双 曲线在第一象限的部分从射线 ON的下方逐渐趋近于 射线ON 在其他象限内也可以证明类似的情况把两2 2条直线ybx叫做双曲线x2 _y2 =1的渐近线.aa b5 .离心率双曲线的焦距与实轴的比e=C，叫做双曲线的离a心率因为c .a,所以双曲线的离心率 e 1.由等式c2 -a2 =b2，得因此e越大，b也越大，即渐近线 y=士卫X的斜率aa的绝对值越大，此时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔故双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔；

7、双曲归纳讲解强调探研理解记忆通过作 出焦点 在y轴上双曲 线的图 像，引 导学生 探讨并 理解其 几何性 质.*巩固知识典型例题数学学科教案设计 (副页)教学过程教师活动学生活动设计意图质疑思考例题3求双曲线4x2 -9y2 =36的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出它的近似图形.解：把双曲线方程4x2 9y2 =36化为标准方程，得2 2x y1.94由此可知，实半轴长 a =3，虚半轴长b = 2 ,则 c =、a2 b2 = .9 4 二 13 .所以双曲线的焦点坐标是一.13, 0 ,13, 0 ,所示.最后作出双曲线的近似图形，如图9-22y = 2的矩形框，再

8、 作出双曲线的渐近线,离心率e = c = 13a 3先作出x=3,分析讲解质疑回答理解思考例题4写出适合下列条件的双曲线的标准方程:(1 )虚轴长为4.5，离心率为3 ;2(2)实轴在y轴上，实轴长为6，一条渐近线方分析回答程为y =3x ;2* (3)以y =为渐近线，且经过点P 6, 9 .解：(1 )由已知条件知，b =2 5, e = C =3 ,a 2设 c =3k, a =2kjk 0，则有(2需)2 =(3k$ (2k 2 ,解得k =2，即a =4 .讲解理解通过例 题的讲 解，帮 助学生 掌握由 双曲线 方程求 其性质 并作图 的常规 方法与技巧.通过例 题的讲 解，帮 助

9、学生 掌握建 立双曲 线方程 的常规 方法与 技巧.时间25分钟教学过程教师 活动学生活动设计 意图时 间因此所求的双曲线方程为2 2 22或 16 2016 202 2（2）依题可设所求的双曲线方程为yr T=1 ,a2 b2由已知得a =3，根据渐近线为y =x，得,2b 2即 b =2汉3 =2 ,32 2所求双曲线方程为y x =1.94* （3）由渐近线方程及经过点的坐标可设双曲线方2 2程为 罕耸=1 （a 沁，b a0），且 a =k, b = 73k , a b因为双曲线过点P（6, 9卜2 2 所以921 ,k2（尿）22 2解得k2 =9，所求双曲线方程为 =1 .9272

10、 2*例题5求以椭圆y 匚=1的顶点为焦点，以椭169质疑思考通过例圆的焦点为顶点的双曲线的方程.2 2题的讲 解，帮解：因为椭圆 +=1的顶点（0, 4） （0, 4 ）,169助学生 掌握综焦点为（, _J7）,（o, J7分析回答合运用 椭圆与所以所求双曲线的焦点为（0, -4 ）, （0, 4 ），顶点双曲线 知识建为（0,-需），（0,石）立双曲 线方程的常规即 c =4, a =V7, b = Jc2 -a2 = J42 -（） =3 .2 2讲解理解方法与 技巧.因此所求双曲线的方程为- =1.79数学学科教案设计 (副页)教学过程教师 活动学生活动设计 意图教学 时间*运用知识跟踪练习质疑思考及时了30分钟跟踪练习3求双曲线4x?_2y2=8的实半轴长、解学生 对于由虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出它双曲线的近似图形.跟踪练习4求出适合下列条件的双曲线的标准方方程求 其性 质、建程：立双曲(1 )长轴长为8，且半焦距与虚半轴之和为8 ;巡视求解线方程 及解决(2)虚轴在y轴上，虚轴长为6，一条渐近线方椭圆与程为y=_2x;双曲线 综合题* (3)渐近线方程为y=Wx，且经过P(672, 8 ).型的常 规方法2 2*跟踪练习5已知双曲线与椭圆 (