2014西安市五大名校小升初考试几何必考典型题汇集.

1、2014西安市五大名校小升初奥数几何典型题汇集知识点拨:熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形 一、等积模型 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图0：S二a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图Sxacd =Sxbcd ； 反之，如果& ACD BCD，贝U可知直线AB平行于CD 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四

2、边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比 等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在 ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上）， 贝U Sa abc : Sa ade (AB AC): (AD AE)任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”D SiSzmSaISb 或者 S SE S4 AO：O S! S2 ： S4 S3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方 面可以使不规则四边形的

3、面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到 与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”: s :S3 =a2 : b2 Si : S3: S? ： S4 =a2: b2 : ab : ab ;2 S的对应份数为（a +b）.四、相似模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型DEBCAFAG ；匹二圧 SAADE：ABC= AF2: AG2 .AB AC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变，不论大小怎 样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形

4、的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点 O，那么SABO : S ACO二BD : DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段 比的手段，因为 ABO和.ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定 理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一

5、个三角形之中，为三角形中 的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径典型例题【例1】 如图，正方形ABCD勺边长为6, AE.5,CF =2.长方形EFGH勺面积为HGGEBBFF底等高的平行四边形面积的EGAEAE积为33三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积【解析】连接DE, DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长 方形的宽为几厘米？EAHDD GC证明：连接AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）在正1 1方形ABCD中，SsbgAB AB边上的高，二

6、S abg =2Sabcd （三角形面积等于与它等def =6 6 -1.5 6 - 2 -2 6- 2 - 4.5 4：2=16.5,所以长方形 EFGH 面）同理，Sa ab 2 Sefgb 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8 8“ 10 = 6.4（厘米）【例2】 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点 问阴影部分面积是多少？AD GC【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的 一半.BF CBF CBFC【解析】解法一：寻找

7、可利用的条件，连接 BH、HC，如下图:SABCDS.E 巧 Sb-S AHB S CHB S CHD - 36_ 1SDHG = S-DHC， 而S EBFS阴影S阴影即 S.EHB S.BHF S Dhg而11 1.BE BF ( AB) ( BC)= 22 2“=18 S ebf =184.5=13.5解法二：特殊点法找那么图形就可变成右图：1 1-(SAHB SCHB S CHD )=36=18 ；S EHB S BHF S DHG -缶影 S EBF111 一36=4.5所以阴影部分的面积是：2 8H的特殊点，把H点与D点重合,这样阴影部分的面积就是二 SkBCDS A E D S

8、B E fS【巩固】在边长为6厘米的正方形 一组对边三等分，分别与=DEF的面积,根据鸟头定理，则有:養6 D-2 21 3. 5ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分, P点连接,求阴影部分面积.【解析】（法1 ）特殊点法由于P是正方形内部任意一点，可米用特殊点法，假设 与A点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别 占正方形面积的丄和-，所以阴影部分的面积为62 （丄）=15平方厘米.4646（法2）连接PA、PC .由于PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴 影三角形的面积之和等于正方形 ABCD面积的丄，同理可知左、右两

9、个阴影三角4形的面积之和等于正方形 ABCD面积的，所以阴影部分的面积为62 （）=156 46平方厘米.【例3】 如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为 70, AB=8 , AD = 15，四 边形EFGO的面积为.【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形 EFGO的面积.由于长方形 ABCD的面积为15 8=120，所以三角形 BOC的面积为120 1以 S.Oen - S oed ； OM : MA = s Boe : S.bae =? S Bde : s ba = 1: 4， 所

10、 以 =30，所4以三角形AOE和DOG的面积之和为120 - -70 =20 ;4f1 1 又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120=30，所以四边形（24丿EFGO 的面积为 30 -20 =10 .另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积二三角形AFC面积三角形BFD面积- 白色部分的面积，而三角形 AFC面积三角形BFD面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即120-70 =50，所以四边形的面积为60 -50 =10 .【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36, 的面积为.E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分【解析】

11、如图，连接OE .根据蝶形定理,1ON : ND = Scoe ： scde 二？ Scae ： S：cde =1：1，所1 11/S OEM S OEA 又 S OEDS巨形 ABCD - 3 , S QEA 二 2S.OED 二 6，所以阴影5 34部分面积为：3 - 6 - =2.7 2 5【例4】 已知ABC为等边三角形，面积为400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线, 也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面

12、积都等于三角形ABC的一半，即为200 根据图形的容斥关系，有S. ABC 一 鬲=S ABN S AMC - SAMHN 400 - S丙二 200 200 - SAMhn，所以1=SAMHN .又S阴影+ S乙 + S丙SDF =143 父400 = 434【例5】 如图，已知CD =5，DE =7，EF =15， FG =6，线段AB将图形分成两部分，左 边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是.【解析】连接AF，BD .根据题意可知，15所以，S BEF = 27 S CBF， S BECCF =5 7 15=27 ; DG =7 15 6=28;_ 1221_

13、7S CBF， S AEGS ADG ， S AED S ADG，2728282115712于是：28 S ADG 刁 SCBF =65 ； 8Sadg 27scbf =38 ； 可得S adg - 40 .故三角形ADG的面积是40 .【例6】 如图在 ABC中，D,E分别是 AB, AC上的点，且 AD:AB=2:5， AE:AC=4:7， SAade =16平方厘米，求AABC的面积.A【解析】 连接 BE， 2ade：Saabe =AD ： AB =2:5 =（2 4）:（5 4），& ABE : SA ABC = AE:AC=4:7=（4x；5）:（7 汇5）， 所以 Sa d :e

14、S 吊 C2 4 ）心（7 设 Saade =8份，则Saabc =35份，Sade 6平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份 就是70平方厘米， ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理， 共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之 比.C【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的 面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少？C【解析】 连接 BE .EC=3AE Sabc =3Sabe-S ADE = S_ABE 5 = S_ ABC -T5，S ABC = 15S ade =15 .BD=DC =4 , B

15、E=3 , AE =6 ,【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分, 乙部分面积是甲部分面积的几倍？C【解析】 连接 AD .BE=：3， AE=6 lAB =3BE，SABD =3S BDE又.BD = DC =4， SaBC = 2S ABD，ABC = 6S BDE， Si =5Sp .【例7】 如图在 ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且 AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , Saade 12平方厘米，求 ABC的面积.DD【解析】 连接 BE , Sx ade：Sa abe 二ad ： AB =2:5 =(2 3):(5 3)S ABES a

16、BA E AC3 : (3 3 糾 I 5)十(3H 2) 5所以Sx ADE : Sx ABC = (3 汉 2) ： 5 x (3 + 2) = 6： 25，设 Szea =6 份，贝U Sx ABC = 25 份，Sx ADE = 12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面积是50平 方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对 应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】 如图，平行四边形 ABCD， BE =AB，CF =2CB，GD =3DC， HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFG

17、H的面积比.H1-1【解析】连接AC、BD .根据共角定理/在 ABC 和 BFE 中，.ABC 与.FBE 互补,.SxabcAB BC 1 1 1SxFBE be BF 1 3_3又 Sx ABC =1 ， 所以Sx FBE 二 3 同理可得 Sx GCF =8 ，Sx DHG = 15 ，Sx aeh=8 .所以 SefGH=Sx AEH Sx CFG Sx DHG Sx bef Sabcd = 8 8 15+3+2 = 36 .所以SabcdSefgh236118【例9】 如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形， 难以运用公式直接求面积.我们

18、 可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将 旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的 正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积因此，原来四边形的面积为12 12=144.(也可以用勾股定理)【例10】如图所示，.ABC中，.ABC =90， AB =3， BC =5，以AC为一边向 ABC外作 正方形 ACDE，中心为O，求 OBC的面积.【解析】如图，将 OAB沿着O点顺时针旋转90，到达 OCF的位置.由于.ABC =90， . AOC=90，所以.OAB . OCB =180 .

19、而.OCF =. OAB， 所以.OCF . OCB=180，那么B、C、F三点在一条直线上.由于OB=OF，. BOF = AOC=90，所以 BOF是等腰直角三角形，且斜边 BF为5 8，所以它的面 积为82 1 =16 .根据面 积比例 模型，8BC的面积为416 5 =10.8【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形 ABE，. AEB = 90，AC、BD交于O .已知 AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形 OBE的面积.【解析】如图，连接DE，以A点为中心，将 ADE顺时针旋转90到ABF的位置.那么.EAF =/EAB BAF =/EAB DAE =9

20、0，而.AEB也是 90，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF=AE=3，所以梯形AFBE的面积为：3 53 1=12 (cm2).又因为=ABE是直角三角形，根据勾股定理，1 2AB2 =AE2 BE2 =32 52 =34，所以 S abd = ? AB 才7 (cm2).那么 S bde = S ABD i S ABE S ADE- S AB SAFBE =712 = 5( Cm )，1所以S.OBE=S bde =2.5 (cm2).【例12】 如下图，六边形 ABCDEF中，AB=ED，AF =CD，BC = EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，对角线FD垂直于

21、BD，已知FD =24厘米，BD =18 厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这 样EF、BC都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与 原六边形的面积相等，显然长方形 BGFD的面积为24 18 =432平方厘米，所以六 边形ABCDEF的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD: DC =1:2，AD与BE交于点F .则四边形DFEC的面积等于.【解析】方法一：连接CF ,根据燕尾定理,Sa abfBD _ 1Sa

22、 acfDC 2 S ABF _ AE _ 1SA cbfEC设 Sa BDF =1 份,图所标，所以则 Sa dcf - 2 份，Sa abf = 3 份,SdCEF Sa ABC -12 12SA aef 二 SA efc = 3 份，女口方法二：连接S _1SADE ADC21SA DEF = Sa DEB21DE，由题目条件可得到Sa32Sa=1 所以史=Sa ABD = 12 3S ABC 3，所以 FE Saade 11 1S U11SSa becS2 3232 ABC112，Q AA而Sacde- Sa abc.所以则四边形DFEC的面积等于.3 2312【巩固】如图，长方形AB

23、CD的面积是2平方厘米，EC=2DE , F是DG的中点.阴影部 分的面积是多少平方厘米？CEDDEECC【解析】设Sa def=1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影=i|Sa BCD =l|平方厘12 12米.【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等 于三角形BCD的面积的-,且A0=2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的3倍.【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理 方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改 造不良四边形.看到题目中给出条件Sabd ：Sbc

24、d =1:3，这可以向模型一蝶形定理 靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为 边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良 四边形”，于是可以作AH垂直BD于H ，CG垂直BD于G ,面积比转化为高之比.再 应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比 较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定 理解决问题.解法一： AO：OC =S abd ：Sbdc =1： 3，.QC=2 3 = 6，QC :0D =6:3 = 2:1 . 解法二：作 AH _ BD 于 H，CG _ BD

25、于 G .S ABD S BCD，.AH =1CG，.S AODOC，3331 AOCO，.QC=2 3=6，.QC:OD =6:3 =2:1 .3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形 BGC的面积；(2) AG:GC二?【解析】根据蝶形定理，S BGC 1-2 3，那么 BGC = 6 ； 根据蝶形定理，AG : G 1 2 : 3 6 =1:3 .【例15】女口图，平行四边形 ABCD的对角线交于 O点，ACEF、OEF、 ODF、 BOE的面积依次是2、4、4和6.求：求 OCF的面积；求AGCE的面积. BCD的面积为2 4 4 ( =1

26、6，那么 BCO和 CDO的面积都 所以AOCF的面积为8-4=4 ；,DF :FC =1: 2，三角形DFG的面积为2平【例16】如图，长方形 ABCD中，BE: EC =2:3【解析】连接 AE3Sdef =(-35 31 1，FE1_1 _)S长方形ABCDS2 10-5S GDFBE: EC =2:3，1长方形ABCDAEDDF : FC=1:2S长方形 ABCD210平方厘米，所以S AFDAG : GF :5:1，所以 S agd2 101厘米.因为S AFD = 长方形 ABCD ， 所以长方形ABCD的面积是72平方厘米.6二12平方【解析】根据题意可知，是16亠2 =8，(2

27、)由于 BCO的面积为8，BOE的面积为6，所以 OCE的面积为8-6 = 2， 蝶形定理，EG : FG = S Coe : S COF =2:4 =1:2，所以 Sgce : Sgcf 二 EG : FG = 1: 2，1 1 2那么 S.GCE 二 SCEF =3 2=3 .【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分 的面积.【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:BC=1:2，根据梯形蝶形定理可以知道Sa amg :abg: S mcg :S bcg-1: C12）： 02）： 2= 1： 2： 2 ： 4，设 a g M 1 份，则Sa m

28、C D1 -2 =3&，所以正方形的面积为1 2 2 4 7=12份，S阴影二2 4 份，所以 S阴影:S正方形二1: 3，所以S阴影=1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.2【解析】连接DE，根据题意可知BE: AD =1: 2，根据蝶形定理得S梯形2 = 9 （平方 厘米），Sa ecd =3（平方厘米），那么Sabcd =12（平方厘米）.【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是1平方厘米.D00DA1BCE

29、 BCE【解析】连接AC .由于 ABCD是平行四边形， BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3，根据梯形蝶形定理， Scoe : Saoc : Sdoe : Saod =22 : 2 3 : 2 3 : 32 =4:6:6:9，所以 Saoc =6（平方厘米），Saod =9（平方厘米），又Sabc acd =6 9 = 15 （平方厘 米），阴影部分面积为6 15=21（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位: 平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【分析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么Sqcd二S

30、 oae .2根据蝶形定理，S OCD S QAE = S OCE S OAD = 4 9 = 36，故 S OCD - 36， 所以S OCD -6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示 （单位: 平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【解析】连接AE .由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S-.pc S-Qae . 根据蝶形定理，S PCDS QAE 二 S qce S qa 2 8=16，故 Sqcd? =16，所以S.PCD =4 （平方厘米）.1 1另解：在平行四边形 ABED中，Sade石S abed匚 16 8 =1

31、2（平方厘米）， 所以 S APE =S ade -S aqd =12 - 8 =4（平方厘米）， 根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2“ 4 =4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形 PFBC的面积为 方厘米.【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以SepSfpc，又根据蝶形定理,方厘米）,Secd =4 *8=12（平方厘米）那么长方形ABCD的面积为12 2=24平方厘 米，四边形OFBC的面积为24_5_2_8=9（平方厘米）.【例20】如图，广ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形

32、，线段AB与CD相交于K点.已 知正方形DEFG的面积48, AK:KB =1:3，则.BKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中， BDK和 ACK的面积是相等的.而 AK : KB =1:3，所以 ACK的面积是 ABC面积的丄 二1 ,那么BDK的面积也是 ABC面积的1 .由于ABC是等腰直角三1+344角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM=DE，可见ABM和.ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以 ABC的面积与 正方形DEFG的面积相等，为48.那么BDK的面积为48 -

33、-12 .4【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB，BC，CD， DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，（m n）的值等于.nGEBFCAHD【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个 图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部 分的面积.如下图所示，在左图中连接 EG .设AG与DE的交点为M .左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的-，所以三角形4AMD的面积为12 1 1 .又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图24

34、8中阴影部分的面积为1-1 4=1.8 2EGCFAHDB如上图所示，在右图中连接 AC、EF 设AF、EC的交点为N .可知EF /AC且AC=2EF .那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的1，所以4三角形BEF的面积为12 1 1 =1，梯形AEFC的面积为1 -1 =-.248288在梯形AEFC中，由于EF:AC=1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1 2:1 2: 21: 2: 2: 4，所以三角形EFN的面积为-11，那么四边81+2+2+424形BENF的面积为1 丄 J .而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右8246图中阴影部分的面积为1-1 4.

35、那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分6 3面积之比为1:1 =3: 2，即巴=3，那么m n =3 2 =5 .2 3n 2AD=DF =FB，【例22】如图， ABC中，DE，FG，BC互相平行, 贝U ADE : S四边形DEGF : S四边形FGCB二 .【解析】设Sa ADE =1份，根据面积比等于相似比的平方,所以 ADE :AFG = AD : AF =1: 4 ，S ADE:Sa abc 二 ad2： AB2 =1:9因此 SA AFG =4份， ABC =9份,进而有s四边形 DEGF =3份,S四边形FGCB =5份，所以Sa ADE : 2边形 DEGF : S四边形 F

36、GCB =1： 3： 5【巩固】如图，DE平行BC，且AD =2， AB =5，AE =4，求AC的长.【解析】 由金字塔模型得 AD:AB=AE:AC =DE:BC =2:5，所以AC =4, 2 5=10CABD法AD的中点BFFADAIFDHHBBCCAE,EFGNqGB:GE = AB: EM =4: 7连接BG:GE =4:73份，同理有【解析】方法一：连接AE所以Sa abgAB: CM =BF :FC =1S四边形MNQP - 7份S四边形PQCB - 9份S四边形FGNM - 5份FMj_P 丄B M，构造出两个沙漏，所以有 CE=3，再根据另一个沙漏有432(4 4“ 2)【

37、例24】如图所示，已知平行四边形 ABCD的面积是1，E、F是AB、 交EC于M，求 BMG的面积.Sa ADE : S四边形DEGF : S四边形FGNM所以有Sa ADE : S四边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP : S四边形AF2 =1:4，因此S四边形MNQP : S四边形pqcb2SaADE : Sa进而有5四边形DEGFE G【例23】如图，已知正方形ABCD的边长为4， F是BC边的中点，E是DC边上的点，且DE: EC =1:3，AF 与 BE 相交于点 G，求 Sa abgAEm gPQCB = 1: 3: 5 : 7 : 9延长AF，DC两条线交于点

38、1，因此CM =4，根据题意有丄S =4 7 ABE 11z 11 分别求Sa abf = 4 2 2 = 4Sa aef =4 4 -4 1- 2 -3 2“2-4 = 7，据蝶形定理 Sa ABF : Sa aef4432所以 Sa abgSa abe(4 4 2)=4 + 71111【解析】设SA ADE - 1份Sa afg =4 份，A【解析】解法得 EF/BD，而E、F是AB、AD的中点，【巩固】 如图， ABC 中，DE，FG，MN，PQ，BC 互相平行，AD = DF = FM =MP = PB， 则FD2FA7EFECECECBF D: BC并得G、2以 BM =5由题意可得

39、，F:H H C :,2 EB:CD =BG:GD =1:2 所以 CH :CF =GH : EF=2:3，H是BD的三等分点，所以 BG二GH，所以BG : EF二BM : MF = 2: 3，11工丄1BF， S BFD = ? SABD = 2 S ABCD112又因为 BGBD，所以 S bmg= 35s bfd335解法二：延长CE交DA于I，如右图，可得，Al : BC =AE: EB =1:1，从而可以确定BG = 31M的点的位置,BM: MF可得s BMGBC I F2 : , BM =-BF52 1 s 3 4BD （鸟头定理）,Sbdf53:ABCD30【例25】如图，A

40、BCD为正方形,的面积为多少？AM二 NB 二 DE 二 FC =1cm 且 MN = 2 cm ,请问四边形 PQRSPCDC，MQ =QC JmC ,所以 PQMC2 2【解析】（法1）由AB / /CD，有竺 MN所以PC = 2PM又MQ， QC呢，所以EC-MC 二丄 MC ,36所以Sspqr占Samcf的6 ,所以 Sspqr J 1(1T2)=2(Cm2).63（法 2）如图,连结AE ,=丄 4 4=8(cm2)2而RBER-EF而S M BQ =s Ans，所以些=EF13 422! , S abr S Abe32MNcm )，因为 DC2 c16/2、8( cm ).3

41、3MP= ?PC-所以 MP MC，贝U Smnp3S.abr - S Ans -S.mbq SmnpAB2 EF1 =3(2=-2 4 - (cm?),阴影部分面积等于2 33164 2 / 2、3 -3(cm ).3 3 3【例26】 如右图，三角形 ABC中，BD:DC=4:9 , CE: EA=4:3，求 AF : FB .【解析】根据燕尾定理得saobSaoc =BD ：CD =4:9 =12： 27a o B S b Fc AE C E 3 :4 12:1（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以Saaoc : sBOC =27:16 =AF :FB【点评】本题关键是把 A

42、OB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解 题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤 的巨大力量！【巩固】如右图，三角形ABC 中,BD:DC =3:4， AE:CE =5:6，求 AF : FB.【解析】根据燕尾定理得Saob : S aoc BD : CD =3: 4 =15: 20S A o B SB五 A E CE5: & 15:1（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 SAOC : SBOC = 20:18 =10 :9 二 AF : FBEA:CE =5: 4，求 AF : FB .【巩固】如右图，三角形 ABC中，BD:DC =

43、2:3，【解析】根据燕尾定理得SaaobSaoc =BD :CD =2:3=10:15B OCAE CE5 : 1 0 :（都有 AOB的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 Sa aoc ： Saboc 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把 AOB的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解 题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤 的巨大力量！【例27】 如右图，三角形 ABC中，AF:FB二BD:DC二CE:AE=3:2，且三角形 ABC的面积 是1，则三角形ABE的面积为，三角形AGE的面积为，三角形GHI的面积为【分析】 连接AH、BI、CG

44、根据燕尾定理，5SaBC =CE :EA =3: 2，所以9 ；，s BCG = 19 ；225G=9得 可 析 分 样同598H c22由于 CE:AE3:2,所以 AE AC，故 S abe :5duS C G：禺 ABG C D. B D 2 ： 3 S 週CG : s 感BG4 s ACG : s ABG : s BCG =4:6:9，则 s ACG =5S BIE19：19 5119EG E H c ：S 二 A S4 hEG: EB 二Sacg：Scb =4:19，所以 EG:GH : HB = 4:5:10 , 同样分析可得 AG:GI : ID =10:5: 4 ,【巩固】AB

45、C的面积.【解析】连接 BG，Sagc根据燕尾定理,S agc : Sbgc = AF : FB = 3： 2 = 6 ： 4，S abg : S agc = BD : DC = 3: 2 = 9 :6得 SaBGC =4（份），Sa abg =9（份），则 Sa ABC = 19（份），因此型Sa ABC19，同理连接AI、CH得呂巴ABC_ 619ABCSa bic6Sa ghi帀所以19666三角形GHI的面积是1，所以三角形S ABC1919ABC的面积是19【巩固】 如图，ABC中BD=2DA，CE =2EB， 形面积的倍.AF =2FC，那么ABC的面积是阴影三角ABeC如右图，三

46、角形 ABC中，AF:FB=BD:DC =CE: AE=3: 2，且三角形 GHI的面积 是1，求三角形【分析】如图，连接AI .根据燕尾定理,s Bci : s Aci - BD : AD =2 ：1 ，S.bci : s Abi - CF : AF =1： 2，所以，S Aci : S bci : s Abi 1： 2 ： 4，那么,212 4S ABC同理可知ACG和厶ABH的面积也都等于 ABC面积的-，所以阴影三角形的面积7等于ABC面积的1 -2 3 J，所以ABC的面积是阴影三角形面积的7倍.7 7【巩固】如图在 ABC中,DC EA FB 1 求 GHI的面积的值DB_ FA

47、_2，求 ABC的面积的值【解析】连接BG,设SA bgc =1份，根据燕尾定理SA agc : SAbgc =AF : FB =2:1S ABG : SA AGC二 BD :DC =2:1，得 &AGC =2 （份），S2SAABG =4（份）,则 SAABC =7（份），因此-，同理连接 AI、CH 得Sa abc7Sa abh _ 2SA ABC7Sa bicSA ABC2,所以SagHISA ABC7 -2 -2 -217_7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形， 虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到” 的，即再重

48、复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线 【例28】如图，三角形 ABC的面积是1， BD二DE二EC，CF二FG二GA，三角形 ABC被分 成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M ， BF与AE交于点N 连接CP，CQ，CM，根据燕尾定理，cbp AG GC1 :，Sa abp : Sa acp =BD :CD =1:2，设Sa abp =1 （份），则 Sa abc=1 2 2 5 =（份），所以Sa abp同理可得，Sa abq52 SSa abn7而 Sa abg3，所以 Sa apqSa aqg753521同理,S

49、a BPM =一所以Sg边形 PQMN3521273570Sg边形MNED,Sg边形 NFCE3357042321小 ,乐边形GFNQ4263 21642【巩固】如图，ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？【解析】连接CK、CI、CJ .根据燕尾疋理，S ACK : S ABK - CD : BD -1: 2， S ABK : S CBK二 AG : CG =1: 2 ,所以 S ACK : S ABK : S CBK =1: 2 : 4，那么 S ACK =，212类似分析可得 Sagi =15 .又 S-ABJ : Scb

50、j = AF :CF =2:1，S abj : S acj = BD : CD = 2 :1 ,1可得 S ACJ =- 那么，SCGKJ =-111742184根据对称性,可知四边形CEHJ的面积也为84，那么四边形 JKIH周围的图形的面2 1 61Scgkj 2 S agi S AB 2追 必 8415370所以四边形JKIH的面积为17070【例29】右图， ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知 ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方 厘米，则 ABC的面积是多少平方厘米？:S4CBM【解析】连接CM、CN .根据燕

51、尾定理,S ABM二 AG ：GC =1:1 ,S ABM : SA ACM - BD : CD =1:3，所以S ABMSA ABC5；再根据燕尾定理,（2 S=CGN = 1 一 .7S AFC厶丄SSa ABC7451528Saabc .根据题意，有 1Saabc 2Saabc 2，可Sa abn : Scbn = AG : GC =1：1，所以 Sabn : Safbn - cbn : Sfbn -4:3，所以AN :NF =4:3，那么Sa ang1 _L =2 所以Sa afc2437 得 Sa ABC = 336 （平方厘米）【例30】如图，面积为I的三角形ABC中，D E、F、G H、I分别是AB BC CA的三 等分点，求阴影部分面积.【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI与CD的交点为M， AF与CD的交点为N， BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP求 S四边形ADMI : 在厶ABC中，根据燕尾定理，SA ABM : SA CBM - AI : CI - 1: 2 SA ACM