§4基变换与坐标变换.

1、辽东学院教案纸课程：高等代数第646页教学目的 通过教学，使学生理解基变换定理及可逆矩阵的同何 意义，掌握坐标变换公式.教学内容在数域F上的n维向量空间V中，若取定一个基设 1, n与 1,将(1)用矩阵表示，记作1, 2,a11 1a212an1 na12 1a222an2 n(1)a1n 1a2n2ann n2,nA ,其中 A=(aij)nn Mn(F).12n1,n是V的两个基，则，因为在这里是以一般的向量空间Vn ),不是以数域FF上的有序数组一样n都为列向量时，有序元数组 为列的矩阵，这时(2)正好是第基变换与坐标变换1, n，则V中每个向量a在这个基下有唯一确定的坐标.对于不同的

2、基，同一 个向量a的坐标一般是不同的.本节讨论基的变动，以及同一个向量 的坐标是如何随其变化的.4.1 基变换请注意，(2)的写法是“形式的” 的元素1, 2,n构成有序元素组(1, 2,的元素构成有序数组，但是我们却赋予它与数域1,的运算性质.对于具体的n维列(行)向量空间Fn，由于是n元有序数组，因此当1， 2,(1,2, n )表示以一章讲的矩阵乘法形式.设(1, 2, , n )与(1, 2, , n )是V的两个向量组， A=(aij)nn , B=(bij) Mn(F)，则上述矩阵形式写法满足以下运算规则：(1， 2, n)A)B=( 1,2,n)(AB),1, 2,1, 2,(1

3、,2, n )A+(1,2, n )B = (1,2,n )(A+B),(1,2,n )A+(1,2, n )A= (11 ,22, nn ) A.因为上述矩阵形式写法的定义与矩阵乘法的定义在形 式上一样，所以把矩阵乘法的有关运算法则的证明重复一 遍，便得出上述三个规则.因此，这里将其证明略述.公式(2)中出现的矩阵 A叫做由基 的过渡矩阵.命题6.4.1 在n维向量空间V中，基 n的过渡矩阵是可逆矩阵.证设(1,假如A不可逆，则1, 2,n到基1, 2,1,2,n到基取一个非零解丫=Ci这表明1,2,命题6.4.2若A可逆，则只要证1,因为1,2, , n )=( 1,2,n|A|=0 于是

4、齐次线性方程组C1，有CnC2cn n)A,要证A可逆.用反证法,AX=0有非零解，1, 2,C1nCnn,n AY A可逆.2，, AY线性相关，矛盾.,n是V的一个基，,n )=(1,2, n )A.n是V的一个基.线性无关即可假设kn n12,因此1, 2,(1, 2,1,2,1, 2,k1 1nk2 2k11,k12,kn2, n是V的一个基,由A可逆知道k1k2k由命题641、6.4.2立得定理 6.4.1 设 1,2,(1, 2, 其中 A=(aij)nn Mn(F),贝 条件为A是可逆矩阵.这一个定理所刻画的也正是1,nV,且4.2坐标变换公式2,1,a2,k1kn所以从上式得

5、A0 .故1,.于是,knn线性无关.n是数域F上向量空间V的一个基，且2,n)=(1,2, n)A,n是V的一个基的充分且必要可逆矩阵的几何意义n下的坐标是 (X1, X?, Xn ), 在基1,2,n下的坐标是(yi, y2, yn)，则把代入，得(nXii 1nyii 1(1,(1,2,2,1 , 2,y1n)A) y2(1,yn因此，再注意到（4），则由坐标的唯一性得到y1y2xiX2Xnyn因此有定理6.4.2 设V是数域1, 2, 1, 2, 标（y1, y2,例1基.令F上n（ 0）维向量空间,n的过渡矩阵，贝yX2, , Xn ）与在 1,(4)(5) (6)2,A是由V的基*

6、图6 1ynXnynn)y1n) y2V中向量a在基2, n下的坐X1n) X2X2），在仆畀下的坐y1A y2n 到基 1, 2, n下的坐标（X1,yn）由等式（7）联系着.取V2的两个彼此正交的单位向量1,2，作成V2的一个1, 2分别是由1和2旋转角所得的向量（图6 1），则q, S也是V2的一个基，且有耳耳COS2 sin1 sin2 cos 1所以 1,2到1,2的过渡矩阵是cossinsincos设V2的一个向量a在 1,2下的坐标是（X1,1辽东学院教案纸课程：高等代数第648页标是(X仆x2),则由定理6.4.2得x1x1 cosX2 sin ,x2 x1 sinx2 cos

7、 这正是平面解析几何里转轴的坐标变换公式.在F3中，设1 (1,0, 1),1 (0,1,1), (2 ,5,3),22(2,1,1),3(1,1,1), 3 (1,2 ,1),(1,1,0)求基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵T,并且求a分别在这两个基下的坐标.解设为a的转置.因为k1 1 k2 2k33k1 1k2 2 k3 3所以1,2,31,2,3 T1,2,31,2,3 T 于是，设A=( 1,2,3 ),B=(1, 2,3 ),则从(1,2,3=(1,2,3)T 得出，B=AT.为了求T,需要解这个矩阵方程，可按第一章的方法求解因为12 10 111 0 00 1 1行变换0 111120 1 0132 ,1111010 0 1244所以，过渡矩阵01 1T132244设a在基1,2,3下