2014年量子力学知识点总结.

1、量子力学期末复习完美总结一、 填空题1 玻尔-索末菲的量子化条件为：Q pdq = nh,（ n=1,2,3,.），2德布罗意关系为：E二h =方； p =脉Z3用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：1 2mV2 二-A ,222力12. 坐标和动量的测不准关系是：.：X Px自由粒子体系，动量_守恒；中心力场中运动的粒子 角动量 守恒13. 量子力学中的守恒量 A是指：A不显含时间而且与 H? 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随 时间改变。14. 隧道效应是指： 量子力学中粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。15. 为氢原子的波函数，的取值范围分别为： n=1

2、,2,3,；1=0,1,1-1 ;m=-l,-1+1,0,1,。120.设粒子处于态归一化波函数,为球谐函数，则系数 c的取值为:16 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并I 为呻 24 波函数的统计解释：屮（r, t ）代表t时刻，粒子在空间r处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。这是量子力学的基本原理之一。 波函数在某一时刻在空间 的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的 几率成正比，和粒子联系的波是概率波。5 波函数的标准条件为： 连续性，有限性，单值性6 二.，丄为单位矩阵，则算符 的本征值为:7 力学量算符应满足的两个性质是实数性和正交完备性 。8 厄密算符的本征函数具有

3、：正交性，它们可以组成正交归一性。即.-mn 或. d，-。9 设为归一化的动量表象下的波函数，则I畑）|吻的物理意义为：表示在屮（r，t）所描写 的态中测量粒子动量所得结果在 p p dp范围内的 几率。为:n2_，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 2n2_，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为_2j 1_。17 .设体系的状态波函数为 丨“ ，如在该状态下测量 力学量有确定的值，1，则力学量算符 J与态矢量 1申 的关系为：F?|屮）=舛屮。18. 力学量算符I在态 :下的平均值可写为的条件为：力学量算符的本征 值组成分立谱，并且r是归一化波函数。19.

4、希尔伯特空间：量子力学中Q的本质函数有无限多11 如两力学量算符二：有共同本征函数完全系，则，二的可能值为1/，本征值为 出现个，所以态矢量所在的空间是无限维的函数空间。21 原子跃迁的选择定则为： =1；.m=0,130 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为22 自旋角动量与自旋磁矩的关系为：eMsS ；1式中M s是自旋磁矩，S是自旋角动量，-e是电子的电荷,J是电子的质量。23 A丁为泡利算符，则?二 _J_ 尸-已 0义为：表示在t时刻，在（x,y,z ）点周围单位体积内找1到自旋sz的电子的几率2匸（|%f+禺厲期毗二31. 量子力学中的态是希尔伯特空间的矢量_；算符G2律G22丿I屮

5、224:;为自旋算符，则二翌， 和二0，虧S】=腮25 乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是（1）每个电子具有自旋角动量 S，它在空间任何方向上1的投影只能是两个数值：sz； （ 2）每个电子具2有自旋磁矩 Ms，它和它的自旋角动量 S的关系式是：eM sS，式中 Y是电子的电荷，是电子的质I量。M s在空间任意方向上的投影只能取两个数值：eMe = M B。s 2 Be丨26 轨道磁矩与轨道角动量的关系是：MlL .L 2卩27 证明电子具有自旋的实验有：斯特恩-革拉赫实验。28 费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有反对称，性_，玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有 对称性_。2

6、9 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为I巴:二” J （已归一化），则在态屮下，自旋算符（J =甩丿对自旋的平均可表示为：；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为：G = F 惨 d 是希尔伯特空间的算符_。力学量算符在自身表象中的矩阵是对角的232、 |屮（x, y,z, t）的物理意义：发现粒子的几率密 度与之成正比 。33、旷（r,8,kr2 dr表示 在 r r+dr 单位立体角的球壳内发现粒子的几率。34、在量子力学中，微观体系的状态被一个波 函数完全描述;力学量用厄密算符 表示。问答题1. 你认为Bohr的量子理论有哪些成功之处？有哪些不 成功的地方？试举一例说明。（简述波尔的原子理

7、论，为什么说玻尔的原子理论是半 经典半量子的？）答：Bohr理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量 不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的 概念及频率条件。首先，Bohr的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至 对于氦原子光谱，Bohr理论就遇到了极大的困难（这里 有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光 谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供 系统解决它的办法；其次，Bohr理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其 次，从理论体系上来看，Bohr理论提岀

8、的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的， 多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本 质。2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是 如何解释光电效应的？答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金 属表面逸岀的现象称为 光电效应；光电效应的规律：a. 对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率：o,当照射光频率：:- 0时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出； b海个光电子的能量只 与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率 o时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻10 s观测到光电子。 爱因斯坦认为：电磁波能量被集中在

9、光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所 以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应 弛豫时间应很短，是瞬间完成的。所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于 光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压 与光强无关，饱和电流与光强成正比。（3）光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电 效应也容易发生，光子能量小于逸岀功时，则无法激发 光电子。3 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？答:对于一般情况，如果 和-：2是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：* -cl-y c22 （ Ci， c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠

10、加原理的含义表示当粒子处于态1和匸2的线性叠加态时，粒子是既处于态，又处于态 2。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学 中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。4.什么是定态？定态有什么性质？答：体系处于某个波函数r，t = r expl-iEt#jl所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。 定态的性质：（1 ）粒子在空间中的概率密度及概率流密 度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平 均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。6. 经典波和量子力学中的几率波有什么本质区别？答：1）经典波描述某物理量在空间

11、分布的周期性变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来的四倍，变成 另一状态，而微观粒子在空间岀现的几率只决定于波函 数在空间各点的相对强度，几率波的波幅增大一倍不影响粒子在空间岀现的几率，即将波函数乘上一个常数， 所描述的粒子状态并不改变；7. 能量的本征态的叠加一定还是能量本征态。答：不一定，如果，2对应的能量本征值相等，则J - cr i C 2还是能量的本征态，否则，如果t 1， 2对应的能量本征值不相等，则二1 c 2不是能量的本征态8. 什么是表象？不同表象之间的变换是一种什么变换？ 在不同表象中不变的量有哪些？答：量子力学中态和力

12、学量的具体表示方式称为表象。 不同表象之间的变换是一种幺正变换。在不同表象中不 变的量有：算符的本征值，矩阵的迹即矩阵对角元素的 和。9. 简述量子力学的五个基本假设。答：（1）微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这 个波函数可以得岀体系的所有性质。波函数一般应满足 连续性、有限性和单值性三个条件；（2）力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量 子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示中的将动量p换为算符-话 得岀。表示力学量的算符具有组成完全系的本征函数。（3）将体系的状态波函数用算符F?的本征函数展开（紗m =酩咋，糾九=:二二cm：m ，则在态中测量力学量Fm2得到

13、结果为m的几率为Cm ，得到结果在L d 范围内的几率是 c/ d丸；（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程：i H?，F?是体系的哈密顿算符。（5）t在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态（全同性原理）。10. 波函数归一化的含义是什么？归一化随时间变化吗？ 答：粒子既不产生也不湮灭。根据波函数的统计解释， 在任何时刻，粒子一定在空间出现，所以在整个空间中 发现粒子是必然事件，概率论中认为必然事件的概率等2于1。因而粒子在整个空间中岀现的概率即屮 对整个空间的积分应该等于 1.即！x, y,z,t d. =1式中积分 表示对整个空间积分。这个条件我们称为归一化条件。满足归一

14、化条件的波函数称为归一化波函数。波函数一 旦归一化，归一化常数将不随时间变化。11. 量子化是不是量子力学特有的效应？经典物理中是 否有量子化现象？答： 所谓量子化，就是指某个力学量可取数值具有离散 谱。一般来说，这不是量子力学的特有效应。经典物理 中，例如声音中的泛音，无线电中的谐波都是频率具有 离散谱。经典波在束缚态形成驻波时，频率也是量子化 的，但经典波的频率量子化并不对应能量量子化。有时 量子化用了专指能量量子化，在这种意义上它就是量子 力学特有的效应。12. 什么是算符的本征值和本征函数？它们有什么物理 意义？答：含有算符I?的方程f?m =Fmm称为F的本质方 程，Fm为F?的一个

15、本质值。而m则为F?的属于本征值 Fm的本征函数。如果算符多代表一个力学量，上述概 念的物理意义如下：当体系处于F?的本征态：m时，测量F的数值时确定的，恒等于 Fm。当体系处于任意态时， 单次测量F的值必等于它的本征值之一。13. 算符运算与一般代数运算有什么异同之处？答：（1）相同点：都满足加法运算中的加法交换律和加 法结合律。（2）不同点：a.算符乘积一般不满足代数乘 法运算的交换律，即 FG? - GF?； b.算符乘积定义 （FGE?% =F?（？（帥），运算次序由后至前，不能随意变换。14. 什么是束缚态和定态？束缚态是否必为定态？定态 是否必为束缚态？答：定态是概率密度和概率流密

16、度不随时间变化的状态。若势场恒定 =0，则体系可以处于定态。 当粒子被外ct力（势场）束缚于特定的空间区域内，及在无穷处波函 数等于零的态叫做束缚态。束缚态是离散的。例如一维 谐振子就属于束缚定态，具有量子化能级。但束缚态不 一定是定态。例如限制在一维箱子中的粒子，最一般的 可能态是以一系列分立的定态叠加而成的波包。这种叠 加是没有确定值的非定态。虽然一般情况下定态多属束 缚态，当定态也可能有非束缚态。15. （ 1）在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量 的确定值来描写粒子的量子状态？ （2）将描写的体系量子状态波函数乘上一个常数后，所描写的体系量子状态 是否改变？ （ 3）归一化波函数是

17、否可以含有任意相因子 ei;-（、：是实常数）？ （ 4）已知F为一个算符，当 F满 足如下的两式时，a. F = F ,b. F J = F ,问何为厄 米算符，何为幺正算符？ （5）证明厄米算符的本征值为实数。量子力学中表示力学量的算符是不是都是厄米算 符？答：（1）不能；因为在量子力学中，粒子具有波粒二象 性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。（2 ）不改变；根据Born对波函数的统计解释，描写体系量子状 态的波函数是概率波，由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于1，因而粒子在空间各点岀现概率只决定于波函数在空间各点辰22的相对强度。（3）可以；因为

18、 e畀=1，如果|屮|对整 个空间积分等于1,则e对整个空间积分也等于 1. 即用任意相因子 e* G-是实常数）去乘以波函数，既不 影响体系的量子状态，也不影响波函数的归一化。（4）满足关系式a的为厄密算符，满足关系式b的为幺正算符；（5）证明：以，表示F的本征值，表示所属的本 征函数，则 刖=化屮因为f是厄密算符，于是有；dx ：厂严：dx，由此可得=，即为实 数。16. 薛定谔方程应该满足哪些条件？答：（1）它必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程；（2）方程是线性的，即如果和2都是方程的姐，那么 J和-：2的线性叠加=（1飞22也是方程的解，这是因为根据态叠加原理，如果和2是体系

19、的 可能状态，那么它们的线性叠加：=cr;1 - 0 2（G，02是复数）也是这个体系的一个可能状态； （3）这个方程的系数不应该包含状态的参量，如动量、能量 等，因为方程的系数如含有状态的参量，则方程只能被 粒子的部分状态所满足，而不能被各种的状态所满足。17. 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力 学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？答：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。因为 所有力学量的数值都是实数，既然表示力学量的算符的 本征值是这个力学量的可能值，因而表示力学量的算符， 它的本征值必须是实数。力学量算符在自身表象中的矩 阵是- -个对角矩阵。18. 简述力学量算符的性

20、质？答：（1）实数性：厄密算符的本征值和平均值皆为实数；（2 ）正交性：属于不同本征值的本征态彼此正交。即：m：nd. ：mn； （3）完备性：力学量算符的本征态的 全体构成一完备集，即 t X=為Cnn X。n19. 在什么情况下两个算符相互对易？答：如果两个算符|?和G有一组共同本征函数；：m，而且m组成完全系，则算符F?和G?对易。20. 请写岀测不准关系 ？答：设算符I?和G?的对易关系为：已召山，则22 k2_测不准关系式为：F?G?，如果k不为零，4则F?和G的均方偏差不会同时为零，它们的乘积要大于 一正数。21. 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么 性质？量子力学中的守

21、恒量和经典力学的守恒量定义有 什么不同，并举例说明？答：量子力学中不显含时间，且其算符与体系的哈密顿 算符对易的力学量称为守恒量；量子体系的守恒量，无 论在什么态下，平均值和概率分布都不随时间改变；量 子力学中的守恒量与经典力学中的守恒量概念不相同， 实质上是不确定度关系的反映。a.量子体系的守恒量并不一定取确定值，及体系的状态并不一定就是某个守恒 量的本征态。如对于自由粒子，动量是守恒量，但自由 粒子的状态并不一定是动量的本征态（平面波），在一 般情况下是一个波包；b.量子体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。例如中心力场中的粒子，I的三个分量都守恒，但由于Ix、Iy、|z不对易，一般说

22、来它们并 不能同时取确定值（角动量I =0的态除外）。22. 定态微扰理论的适用范围和适用条件是什么？答：适用范围：求分立能级及所属波函数的修正；适用条件是：-抄（。） 1,式中喟学叩。C- Cmn23. 什么是自发跃迁？什么是受激跃迁？答：在不受外界影响的情况下，体系由高能级跃迁到低 能级，这种跃迁称为自发跃迁；体系在外界（如辐射场） 作用下，由低能级跃迁到高能级，这种跃迁称为受激跃 迁。24. 什么是严格禁戒跃迁？角量子数和磁量子数的选择 定则是什么？答：如果在任何级近似中跃迁几率均为零，这这种跃迁 称为严格禁戒跃迁。角量子数和磁量子数的选择定则是: 二I - _1；二 m = 0, 1。

23、25. 谁提岀了电子自旋的假设？表明电子有自旋的实验 事实有哪些？自旋有什么特征？ 答：乌伦贝克和高斯密特提岀了电子自旋的假设。他们主要根据的两个实验事实是：碱金属光谱的双线结构和反常的Zeeman效应。他们假设的主要内容为：a.每个电子具有自旋角动量 S，它在空间任何方向上的投影只能、，.1 ti是两个数值：sz； b.每个电子具有自旋磁矩 MS，e它和它的自旋角动量 S的关系式是：MsS，式中-e是电子的电荷，是电子的质量。表明电子有自旋的实验事实：斯特恩-盖拉赫实验。其 现象：K射岀的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片 PP上，实验结果是照片上岀现两 条分立线。解

24、释：氢原子具有磁矩，设 沿Z方向： dU .dB .-:二、：；一 - 7如：在空间可取任何方向，J应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条，说明是空间量子化的，只有 两个取向-,对S态， 心0 ,没轨道角动量， 所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特点：（1）电子具有自旋角动量这一特点纯粹是 量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本 身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。（2）电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示 为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无f *关，不能表示为 : /，它是电子内部状态的表征，是k一个新的自由度。（3

25、）电子自旋值是 一，而不是；i的Mjg _Mi i整数倍。（4）： 一，而两者在差一倍。自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对A ftA易关系： I 一 1。 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间 等变量表示； 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当卉-.0时，自旋效应消失。 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取曲,2两个值。26. 什么是斯塔克效应？答：当原子置于外电场中，它发射的光谱线将发生分裂， 这称为Stark效应。27. 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什 么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？答：由于电

26、子自旋与轨道角动量耦合，是原来简并的能级分裂成几条差别很小的能级，称为光谱的精细结构；1当n和丨给定后，j可以取j =丨,（丨二0除外），2即具有相同的量子数 n，丨的能级有两个，它们的差别很 小，这就是产生精细结构的原因。考虑精细结构后能级 的简并度为（2j+1 ）28. 什么是塞曼效应？什么是反常的塞曼效应？对简单 塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为 几条？答：把原子（光源）置于强磁场中，原子发出的每条光 谱线都分裂为三条，我们把这称为正常的塞曼效应。而 反常的塞曼效应是指在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。对简单塞曼效应，没有外磁场时的 一条谱线在外磁场中分裂为

27、三条。29 什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所组成的体系中，两全同 粒子相互代换不引起物理状态的改变。描写全同粒子体 系状态的波函数只能是对称的或反对称的，它们的对称 性不随时间改变。泡利不相容原理：不能有两个或两个 以上的费米子处于同一状态。30.写岀泡利矩阵的形式及其对易关系。请用泡利矩阵定 义电子的自旋算符，并验证它们满足角动量对易关系答：泡利矩阵:n 0 、魂=；对易关系为：?xc? = 2k?；自旋算卫符?；对易关系为 S =加。 验证过程如下：2x，Sy 二 XySyx 即:y专广0-i0i、r0丿0丿40丿0丿品z总2i广10 、“ 0 、4-b-2-

28、b其中 H?n ri =Enn；32. 请简述微扰论的基本思想。答：将复杂的体系的哈密顿量分成二与一厂两部分。J是可求岀精确解的，而* 可看成二的微扰。只需将精确解加上由微扰引起的各级修正量，逐级迭代， 逐级逼近，就可得到接近问题真实的近似解。确定匸 时,先确定J，再用上一一确定。33. 什么是玻色子和费米子？h答：由电子，质子，中子这些自旋为二的粒子以及自旋h为二的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数是反对称的，这类粒子服从费米（Fermi）狄拉克（Dirac）统计，称为费米子，由光子（自旋为1）以及其它自旋为零，或上整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数 是对称的，这类粒子服从玻色（B

29、ose）爱因斯坦统计，称为玻色子。34. 什么是隧道效应？请举例说明隧道效应的应用。答：粒子在其能量 E小于势垒高度U0时，仍然会有部分粒子穿过势垒的现象叫隧道效应，又叫隧穿效应。隧道 效应的应用：1扫描隧道显微镜（STM ）是电子隧道效应 的重要应用之一。扫描隧道显微镜可以显示表面原子台 阶和原子排布的表面三维图案。在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十 分有价值的信息。2.隧道二极管是一种利用隧道效应的半 导体器件，也是隧道效应的重要应用之一。由于隧道效 应而使其伏安特性曲线岀现负阳区，因而隧道二级管具 有高频、低噪声的特点。隧道二级管是低频放大器、低 频噪声

30、振荡器和超高速开关电路中的重要器件。35.厄米算符具有哪些性质？厄米算符的平均值、本征 值、本征函数具有哪些性质？答：厄米算符具有下列性质：a.两厄米算符之和仍为厄米算符；b.当且仅当两厄米算符A 和 B?对易时，它们之积才为厄米算符。因为?A?e? =B?A。只有在 A,B? =0时，?BA = Ae?，才有，（A?）= A3，即AB仍为厄米算符；c.无论厄米算符 A、B是否对易，算符1（a?+ba）及1（AB?BA）必为厄米算符，因为d.任何算符总可分解为？=?.?_令1 ? 1 ? = ? ?、？_= 一 ？ - ？，则？.和?均为2_ 2i一厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函数

31、具有下列性质： 厄米算符的平均值是实数；在任何状态下平均值均 为实数的算符必为厄米算符； 厄米算符的本征值为实数。厄米算符在本征态中的平 均值就是本征值。 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交；厄米算 符的简并的本征函数可以经过重新组合后使它正交归一 化；厄米算符的本征函数系具有完备性；厄米算符 的本征函数系具有封闭型。37.为什么物质的波动性在宏观尺度不显现？答：由于二h；p，原因是普朗克常数太小导致波长太小，难以引起可以观察的物理效应。因为p = j2mE,要减小宏观尺度运动的动量，必须减小动能E，但从物理上考虑 E不可能减小到比热运动能量 kBT更小，所以必须减小质量。质量的减小对应于尺

32、度的减 小。只有把物体尺度减小到微观尺度，才可能岀现较大 的物质波波长Z 从而引起可以观察到的物理效应。39. 自由粒子非相对论情形的相速度和群速度分别为多少？答：加=血，“疋，则群速度：Vg=匙2m2mg dk m（对应的才是粒子运动的速度）。而相速度：vp= = （不是粒子运动速度）。p k 2m40. 什么是希尔伯特空间？波函数与希尔伯特空间的关系？答：希尔伯特空间是定义在复数域上的一个有限维或无限维的完备矢量空间。波函数对应于希尔伯特空间中的了态矢。丄（Ag-B/?）41. 试举例有哪些实验揭示了光的粒子性质？哪些实验揭示了粒子的波动性质？答：黑体辐射、光电效应、康普顿散射实验给岀了能

33、量分立、光场量子化的概念，从实验上揭示了光的粒子性质。电子杨氏双缝实验、电子在晶体表面的衍射实验、中子在晶体上的衍射实验从实验上揭示了微粒的波动性质。3.试以基态氢原子为例证明：，不是T?或I?的本征函数，而是T? U的本征函数。解:loo（丄厂乜。 ao(2es-34（h = 6.6 0J.s），而宏观尺度的运动动量太大T? = - A（V）讣的匕）詰2当 j - 45 和 135 时：W2 115为最大值。即在32T?-；1oo1 ? 2 ?-；100所以:22r；r(r ：r)-(-)3/213/2(丄)3/2丄_ 2)e a。a0=常数00100不是T?勺本征函数2由 于100 = -

34、 100r 100不是U的本征函数而(*1?尸100 二I/aoaorao2二a0(1 )3/2( 2aoar-)e-r /a100JaorJaor可见，100是(T? - 1?)的本征函数。4 .证明：L-6 ，L =的氢原子中的电子在v - 45禾口 135的方向上被发现的几率最大。解： W m, )d 1 二2小Ym d0 ；WmP, HYmW2i()其中 =2, m:丫21(,sin CeS 丫么歹45，r/a =135方向发现电子的几率最大。在其它(r edrcr15方向发现电子的几率密度均在0之间2艸 10032凫.1指岀下列算符哪个是线性的，说明其理由。 4x2 d2dx2 ；n

35、zK -1解:4x2% 4x2 d22是线性算符; dxd22(C1U1 C2U2) = 4x dx2 d2100 c1 4x2 d 2dxZi2 1八2 一 1002鬥2 2cm C2U22UiC22 2乂血C2W2V 是线性算符;K -14x2(C1U1) 4x dx2 d2dx2 U22c1c2u1 u2 c；u；7.指岀下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。(1) ddxdidx，4dx22 d2(2)？?x，dx2(C2U：1；(?x?x?)?(一,1解：(1) &e-cosdx:ddxx-:，2 = sin2 日 cos2 日=-sin2 232 二oa屮JjoOdx00 H,一 .

36、,dx* dx = _.(一)*dxdx；不是厄米算符IqQ zJ矿 dx=mAqQ* $ dx = i (J-QOdx22 d2(x2：)=：2I- x2不是 2的本征函数。(i )* dx dx2 dxidx是厄米算符 d：exdx2对应的本征值为1。d2ex不是 2的本征函数，其dx22 dxdx*4卫dx2.:d- * d =-A-：dx dx00 d2,=-4f - * - dxdx=4 匚卄4 ( dx旳d2-(4 人-)dxd2.4 =是厄米算符。dx:d、- * d* dx dx”需d*2dx* dx-1 (XpX)-2d . =1刘？： 2)d 二(? 1 )* px- 2C

37、 .?x不是厄米算符。12(xpx ?xx)】 2ddx：d(sin x) (cosx) = -sinx ； dxdx可见,为一1。d2dx2d2sin x是2的本征函数，其对应的本征值dx2d(3 cosx)(-3sin x) =-3cosx-(3cosx)dx心強x，其对应的本征值为dx*胖;（服）屮2肛+卅；d竄缈(si n x cosx) = (cosx- si n x) = sin x - cosx 2d.dx-(sir=1 J( px 刘 1 )叩 2d xpx1) 2d 2(飆 + pd2s i rx cost是2的本征函数，其对应的本dx22(?x? xpx) J /10.说明

38、：如果算符A和B都是厄米的，那么（+B?）也是厄米的。证12(?x+ ?X ?）是厄米算符。9.下列函数哪些是算符d2比的本征函数，其本征值是什dx么？ sin x， 3cosx，sinx cosx；（A ?B)2=2(? E?r i*dA + E?也是厄米的。13.设算符A , B与它们的对易式A , B都对易。证明：4护=甘旷 1儿引；AB =（甲法）递推法，对第一公式左方， 先将原来两项设法分裂成四项，分解岀一个因式，再次分裂成六项，依次类 推，可得待证式右方，步骤如下：A,B = Aff-BA 1 匚匚=2 m 一 2 i二-匚匚,说明l?l?不是厄密 的。I?，?的平均值见下题。=A

39、BrBxl+BK1ArB =+护月tB 按题目假设小 B8 = BA. B 因而儿重复运算n-1次以后，得&旷】=川护旬+0-1）旷】/=虫护虫胪+（补1）用-1扎列=幷旷14求证在I n的本征态下lx二ly = 019.粒子系处在下列外场中，指岀自由粒子的哪些力学量（动量，能量，角动量，宇称）是守恒量。解要判断哪些力学量守恒，需要将力学量p,? H?, P宇称量等表示成适宜的形式，再考察A, H?等是否是零但A是该力学量，若该交换式是零就说明 A是个守恒量。对于自由粒子:（证明）角动量分量算符满足对易关系? _?=函？yi z z yx两边取平均值,设Ym是lz本征态波函数，用标乘积运算1*

40、7OO?x,旳=?x，2(px + py + pz )=0 ；同理?y,H?=o, PzH = ob1 2 2 2 1I?,旳=；(?x-电),苑(px +?y +pz)H (Py Px符号(Yiml?-？PYm) =(Ym,?Yim)同理l?,H?H0，i?,H? =0(Yim,?I?Yim -EEYm) =(Ym,mYm - EEYm)= m%m，I?Ym)-(YmEEYm)c设P为宇称，对任意波涵数 （r ,t）= m%m,I?Ym) -(?Ym,?Ym)-2-2. 2 . 2( m,t):x : y : z= m%m，?Ym)-mYm，?Ym)前面的连等式中利用了标乘积分配律以及算符?

41、的厄密性，这样证明Ix =0利用对易关系：i?x -i?E。可以类似的证明Iy =0。则:2 - 22：(-x)2 (y)2 (z)2 n-2 - 2(一=H?- (-r,t)二 H? (r,t)PH? = HTf?或此外H不显含时间，故总的说?, ?, F?, P守恒。20 证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函数矢量。附带指岀，虽然I?，?y在I?本征态中平均值是零，但乘 积E ?y的平均值不为零，能够证明证明：厂算符的本征矢为；：；则本征方程为:则F算符在自身表象中为一对角矩阵:对另一表象力学量的本征矢切；臨十丽）；即:斓-即松0；2 一讥0；22.证明在定态中，

42、几率流与时间无关。证： 对 于 定 态1 Et普（r，t）=屮（7）f（t）=屮归-丿；F的本征矢21.试证明：由任意一对以归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符；（1）是厄密算符，（2）有/，（ 3）匚的本征值为0和1。证明：（1）厄密算符的定义 厂二iJ(八？ -)2m=-(r)eE (-(r)eEt)2m_（r）e1E （i*-（r- （r- （r）；可见 J与t 2m无关。10.有一个粒子沿x轴方向运动其波函数为A x =，试求：1 + ix将此波函数归一化；求出粒子按坐标的概率密度分布函数； 问在何处找到粒子的概率最大？为多少？（1厂-：x的共轭复数为x 1- ix(1)(2)(3)解

43、答:利用归一化条件O0 x x dx-od:AV1得到臨讥U肺斶二协阀）伤弟卜（卿冏俚）=盘阳）俚阀=（科怛胛”0）=（涉阀） :p=rn为厄密算符。归一化后的波函数为（2）已归一化资二悝厝贋曲|=|町俚|二（3）由匚的本征值方程:P久卜久久）#1财二，I财二久J又: / :- / :x 二A1 ix（2）粒子的概率密度为A2 卄X J其中，A =，得到w x二斗兀1 +x（1） 概率最大时:这种电子称之为光电子。2计算对易子!/?, x 1解答：对于任意的波函数-x，有?, X； x = ?x-x?irx=_xT-x _x-x-2x i -x - -2x? x由于匸x是一个任意的波函数，所以

44、I?, x 1 = -2x 二1计算对易子x, ?x 1解答：对于任意的波函数-x，有lx, ?x x =xpx x -?xxx=-ih x- x j i x / x j；二 ih- x由于* x是一个任意的波函数，所以X, ?x 丄 ih第一章1. 玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。2. 黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。7. 普朗克量子假说：表述1 :对于一定频率v的辐射，物体只能以h v为能量单 位吸收或发射电磁辐射。表述2:物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为： =h v o表述3:物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能

45、量的整数倍来实现，即，2，3 ，。8. 光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸岀的现象。9. 光电效应有两个突岀的特点： 存在临界频率v 0 :只有当光的频率大于一定值 Vo时，才 有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大， 照射时间多长，都没有光电子产生。 光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。10. 爱因斯坦光量子假说：光（电磁辐射）不仅在发射和吸收时以能量 E= h v的微粒形 式岀现，而且以这种形式在空间以光速C传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程11. 光电效应机理：当光射到金属表面上时，能量为E= h v的光子立刻

46、被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引， 另一部分就是电子离开金属表面后的动能。12. 解释光电效应的两个典型特点： 存在临界频率v0：由上式明显看出，当hv - Wo 0时, 即v 入； 波长增量入=入-入随散射角增大而增大。15量子现象凡是普朗克常数 h在其中起重要作用的现象16. 光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性17. 与运动粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波。Eft-h ,L.育-K19. 光谱线：光经过一系列光学透镜及棱镜后，会在底片上留下 若干条线，每个线条就是一条光谱线。所有光谱线的总和称为 光谱。20. 线状光谱：原子光谱是由一条条

47、断续的光谱线构成的。21. 标识线状光谱：对于确定的原子，在各种激发条件下得到的 光谱总是完全一样的，也就是说，可以表征原子特征的线状光 谱。22. 戴维逊-革末实验证明了什么？第二章2. 波函数的物理意义： 某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的 平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密 度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子 的波是几率波。3. 波函数的特性：波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各 点找到粒子的几率，即不改变波函数所描写的状态。24. 波函数的归一化条件.7(儿y，z,t) d.=1 (2.1-7)O05. 态叠

48、加原理：若体系具有一系列不同的可能状态9 1，9 2,q n，则这些可能状态的任意线性组合，也一定是该体系的一个可能的状态。也可以说，当体系处于态9时，体系部分地处于态91，92，9n中。6. 波函数的标准条件：单值性，有限性和连续性，波函数归一化。7. 定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。9. 定态的性质：由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。粒子几率流密度不随时间改变。任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变。10. 本征方程、本征值和本征波函数：在量子力学中，若一个算符作用在一个波函数上，等于一个常数乘以该波函数，则称此方

49、程为该算符的本征方程。常数fn为该算符的第n个本征值。波函数屮n为fn相应的本征波函数。11. 束缚态：在无穷远处为零的波函数所描述的状态。基态：体系能量最低的态。12. 宇称：在一维问题中，凡波函数书(X)为X的偶函数的态称为 偶(正)宇称态；凡波函数书(X)为X的奇函数的态称为奇(负)宇称 态。13. 在一维空间内运动的粒子的势能为(卩3 2x2)/2， 3是常数， 这种粒子构成的体系称为线性谐振子。线性谐振子的能级为：En=(n+ *),n= 0,1,2314. 透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比。反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比。15隧道效应：粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象。16. 求证：在薛定谔方程中i T(r，t)二-希 2 v(r) (r,t)只有当势能V(r)为实函数时，连续性方程 WN) .j二0才 t能成立。17. 设一个质量为 卩的粒子束缚在势场中作一维运动，其能量本 征值和本征波函数分别为 En, n，n=1，2，3，4、。求证:(x) n(x)dx = 0,22.量子力学的波函数与经典的波场有何本质性的区别?答：量子力学的波函数是一种概率波，没有直接可测的物理意 义，它的模方表示概率，才有可测的意义；经典的波场代表一种物理场，有直