数列证明题型总结(教师版)附答案

1、一、解答题：1 在数列 an 中， a1 1， an1 2an 2n.an( )设 bn 2n1，证明：数列 bn 是等差数列；( )求数列 an 的前 n 项的和 Sn.【答案】an 1nan 1 2ann( )因为 bn 1 bnn a2122n2n n12所以数列 bn 为等差数列( )因为 bn b1 (n 1) 1 n所以 an n2n 1所以 Sn 120 221 n2n 12Sn 121 222 n2n两式相减得Sn ( n 1) 2n 12 在数列 an 中， a1111 ， an1 ann 1.222( )设 b 2a ，证明：数列 b 是等差数列；nnnn( )求数列 a

2、的前 n 项和 S .nn【答案】11( )由 an1 ann 1，22得 2n 1 n1n n1n 1n 1，a2 ab b则 bn 是首项 b1 1，公差为1 的等差数列故 bn n， an 2nn.111 (n1) 11n 2 3n1nn( )S 12322222111111Sn 12 233 4 (n 1) n n n 1222222两式相减，得：1111 1nn2S 2 22232n2n 11（ 11n）n1n2212n 1 12n2n 1121 / 181 n Sn 2 2n 12n3数列 an 的各项均为正数，前n2*nnn 项和为 S ，且满足4S (a 1) (n N ) (

3、 )证明：数列 a 是等差数列，并求出其通项公式a ；nn( )设 bnan 2an( n N * )，求数列 bn 的前 n 项和 Tn.【答案】( )n 1 时， 4a (a 1)22 2a 1 0，即 a1? a11111n2时， 4an4Sn 4Sn1 (an1) 2 (an 1 1)2 a2n a2n1 2an 2an 1222a 2a0 an 1? annn 1? (an an 1)( an an 1)2 0 an0 an an 1 2故数列 an 是首项为a1 1，公差为d 2 的等差数列，且an2n 1(n N* )( )由 ( )知 bn an 2an (2n 1) 22n1

4、Tn b1 b2 bn (1 21) (3 23) (2n 1) 22n1 1 3 (2n 1) (2123 22n 1) n2 2（ 1 22n） 22n 1 n2 222 n 1 3n2 2 433314 数列 an 的各项均为正数，前nnn*)n 项和为 S ，且满足2 S a 1(n N( )证明：数列 a 是等差数列，并求出其通项公式a ；nnn*)，求数列 b 的前 n 项和 T .( )设 b a 2 (n Nnnnn【答案】( )由 2Sn an 1(nN * )可以得到 4Sn (an 1)2(nN * )1(a12? a1211n 1 时， 4a1) 2a 1 0，即 a

5、1n2时， 4annn1n1)2 (an 124S 4S(a 1)22an an 1 2an2an 12 2? an an 12an 2an 10? (an an 1)( an an 1)2 0 an0 an an 1 2故数列 an 是首项为a1 1，公差为d 2 的等差数列，且an 2n 1(n N* )2 / 18nnn (2n1) 2n( )由 ( )知 b a212) (2n 3)n1nTn (1 2)(3 22(2 n 1) 223nn 1则 2Tn (1 2) (3 2) (2 n 3) 2 (2 n 1) 2两式相减得：12nn1Tn (1 2)(2 2) (2 2) (2 n

6、 1)22（ 1 2n）12 2 (2n 1) 2n12n1 6(3 2n) 2 Tn (2n 3) 2n 1 6(或 Tn (4n 6) 2n6)5n3 27*已知数列 an2n2n(n N )，其前 n 项和为 S ( )求 a1，a2 ；( )求数列 a 的通项公式，并证明数列 a 是等差数列；nn( )如果数列 b 满足 a logb ，请证明数列 b 是等比数列，并求其前n 项和 T .nn2 nnn【答案】( )a S 5，11122 3 2 7a aS 222213，解得 a2 8.( )当 n2时，an SnSn 1 32n2( n 1)2 72n( n1) 3(2n 1) 7

7、 3n 2.22又 a1 5 满足 an3n 2，an 3n 2(nN * ) an an 1 3n 2 3(n 1) 2 3(n2， nN * )，数列 an 是以 5 为首项， 3 为公差的等差数列( )由已知得bn 2an(n N* )，nn1bn 1 2 an2an 1 an 23 8(n N* )，bn23 / 18又 b1 2a1 32，数列 bn 是以 32 为首项， 8 为公比的等比数列 Tn 32（ 1 8n ） 32(8n 1)1 876 已知函数 f(x)2x ，数列 an14， an1nx 2 满足： a 3 f(a )( )求证：数列1为等差数列，并求数列 an 的通

8、项公式；an8( )记 Sna1 a2 a2 a3 anan 1，求证： Sn3.【答案】证明： ( ) an1n2an，1 1 1，即1 1 1， f(a )nan 1an 2an 1an2a 2则 1 成等差数列， an所以11 (n 1)1 312n14.ana1 (n 1) 4，则 an2 422n1n n 144 811，( ) a a2n12n 32n 1 2n31111 11118Sn a1a2 a2a3 anan1 8 3 2n 3 82n 3 3.5 572n 137 已知数列 an 的前三项依次为2，8， 24，且 an 2an 1 是等比数列an( )证明 2n 是等差数

9、列；( )试求数列 an 的前 n 项和 Sn 的公式【答案】( ) a22a14， a3 2a28， an 2an1 是以 2 为公比的等比数列 an 2an 1 42n 2 2n.2n，得 ann a11 1，等式两边同除以nn22an 2n 是等差数列( )根据 ( )可知ann a1 (n 1) 1 n， an n2n.22Sn 12 222 323 n2n， 2Sn 122 223 (n 1) 2nn2n 1.得：4 / 18Sn 2 22 23 2n n2n 1 2（ 1 2n） n2n 1 2n 1 2 n2n1，12Sn (n 1) 2n 1 2.8 已知数列 ann，且满足：

10、n1n1*) 的各项为正数，前n 项和为 SS2a an(n N( )证明：数列2是等差数列； S n12121212，求 T .( )设 T 2S 22S 23S 2n Sn123nn【答案】11n1 an1*)，( )证明：当 n 1 时， a S ，又 S 2an(n NS11 S11 ，解得 S1 1.2S1当 n2时， an Sn Sn 1，Sn1 Sn Sn 11，S S2 1nn即 Snn 1122，化简得 Snn1 1， SSn Sn 1 S2 2 Sn 是以 S1 1 为首项， 1 为公差的等差数列2n，( )由 ( )知 Sn121212Tn2S1 22S2 2nSn，11

11、11即 Tn 1 22 (n1)2n 1 nn.22211111 得Tn 12 (n 1)2n nn 1.222211111得Tn22 n nn 12222112 1 2n1 111 1n 21 n 2n n ，2n 12n 12n 11 2n2Tn 2 2n.9 数列 an 满足 a1 1， an11*222.2 41(nN)，记 Sna1 a2 anan( )证明：12是等差数列；an5 / 18( )对任意的nN * ，如果 S2n 1 Snm恒成立，求正整数m 的最小值30【答案】11114?1( )证明： 2 24?2 2 (n 1)2 4n 3，n 1anana1ana即12是等差

12、数列an( )令 g(n) S2 n 1 Sn11 1.4n 14n 58n 1g(n 1) g(n)0，g(n)在 n N* 上单调递减，1414m28 g(n) max g(1).恒成立 ? m ，4545303又 m N，正整数m 的最小值为 10.10 已知数列 an 是首项 a11 ，公比为1的等比数列，设bn 15log 3an t，常数 t N * .3333( )求证： bn 为等差数列；( )设数列 c 满足 c a b ，是否存在正整数k，使 c，c ， c成等比数列？若存在，nnn nk1kk 2求 k， t 的值；若不存在，请说明理由【答案】( )证明： an 3 n，

13、 bn 1 bn 15log3an n 1 5，3a bn 是首项为 b1 t 5，公差为 5 的等差数列( )cn (5n t) 3n，令5n t x，则 cn x n，33n 1n2cn 1 (x 5) 3 3 ， cn 2 (x 10)3 3，若 ck2 cn 1cn2 ，则n2( x 5)3n 1(x 10) 3n 2，(x3 )333化简得 2x2 15x50 0，解得 x 10 或 5(舍 )，2进而求得n 1， t 5，综上，存在n 1， t 5 适合题意11 在数列 an 中， a1 1， an 1 2an2n 1.( )设 bnan 1 an 2，(n N * )，证明：数列

14、 bn 是等比数列；( )求数列 an 的通项 an.6 / 18【答案】( )由已知 an 12an 2n 1得 an 2 2an 1 2n 3 ，得 an 2 an 1 2an 12an 2设 an 2 an1 c 2(an 1 an c)展开与上式对比，得 c 2因此，有an 2 an 12 2(an 1 an2)由 bn an 1 an2，得 bn 1 2bn，由 a1 1， a2 2a13 5，得 b1a2a1 2 6，故数列 bn 是首项为6，公比为2 的等比数列( )由 ( )知， bn 62n1 32n则 an 1 an bn2 32n 2，所以 an a1 (a2 a1) (

15、a3 a2) (an an1 ) 1 (3 21 2) (3 22 2) (3 2n 12) 1 3(2 22 23 2n 1) 2(n 1)an 32n 2n 3，当 n 1 时， a1 321 21 3 6 5 1，故 a1 也满足上式故数列 an 的通项为 an 32n 2n 3(n N* )12 在数列 a1，a111* 且 n2)n 中， a16nan1 n(nN2231( )证明： an 3n 是等比数列；( )求数列 an 的通项公式；1( )设 Sn 为数列 an 的前 n 项和，求证 Sn2.【答案】an 111111n1（an n 1）3n 1113223( )由已知，得1

16、12 an 3n 是等比数列an 3nan 3nnn1 ，则 A1111 1，且 q1( )设 A a 3na 1 6 3 22则 An (1)n ， 27 / 18an1n1n，可得 an1n1n 3223( )Sn ( 11 11) (12 12) (1n 1n)2323231（ 1 1n）1（ 1 1n ） 223311121311 1 1 123n 2n1nnn 22 22 322613 已知数列 an 满足 a1 2， an 12an n 1(nN * )( )证明：数列 an n 是等比数列，并求出数列 an 的通项公式；( )数列 bn 满足： bnn(n N * )，求数列 b

17、n 的前 n 项和 Sn.2an 2n【答案】( )证法一：由an 1 2an n1 可得 an 1 (n 1) 2(an n)，又 a1 2，则 a11 1，数列 ann 是以 a1 1 1 为首项，且公比为2 的等比数列，则 an n 12n1， an 2n 1 n.an 1（ n1）2an n 1（ n 1）2an2n证法二：nn nan 2，a nan又 a1 2，则 a1 1 1，数列 ann 是以 a1 1 1 为首项，且公比为则 an n 12n1， an 2n 1 n.( ) bnnn， bn n nn 2nn22a2a 2n11)1Sn b1 b2 bn 2(2 n( )n2

18、2211213 (n1)(1 n1)n1 Sn ()2() n(222222 的等比数列，11111111 1（） n1 由，得Sn221 1 (n22 ( )2 ( )3 ()n n()n11 n()n222221 21 n12)(2)，Sn 2 (n 2)( 1)n.214 在数列 an 中， a1 1， 2nan 1( n1)an，n N* .8 / 18an( )设 bn n ，证明：数列 bn 是等比数列；( )求数列 an 的前 n 项和 Sn.【答案】bn 1an1n1( )因为bn1 ，nn所以 bn 是首项为11，公比为 2的等比数列( )由 ( )可知an1n1， n 1，

19、即 annn22234nSn 1 2 22 23 2n 1，上式两边乘以 12，得1123n 1n2Sn 22223 2n 12n ，两式相减，得1111 1nn2n1 n，2S 1 2 222321 2 n2Sn 2 2n ，2 n所以 Sn 4 2n 115 设数列 annnn 的前 n 项和为S ，且 S (1 ) a，其中 1， 0.( )证明：数列 a 是等比数列；n1， bn f(bn 1)( n N * ， n2)，求数列 bn( )设数列 an 的公比 q f()，数列 bn 满足 b12的通项公式【答案】( )由 Sn (1 ) an? Sn 1 (1) an1(n 2)，相

20、减得： an anan 1，an(n 2)，an 11 数列 an 是等比数列( )f( ) ， bnbn?11 1，11 bn 1bnbn 1 11 2，公差为 1 的等差数列；bn 是首项为 b111 bn 2 (n 1)n 1， bnn 1.16 在等差数列 an 中， a1030， a20 50.9 / 18( )求数列 an 的通项 an；( )令 bn2an 10，证明：数列 bn 为等比数列；( )求数列 nbn 的前 n 项和 Tn.【答案】( )由 ana1 (n 1)d， a10 30， a20 50，a1 9d 30得方程组，解得 a1 12， d 2.a1 19d 50

21、 an 12 (n 1) 2 2n 10.( )由 ( )得 bn 2an 10 22n 10 1022n 4n， bn 14n 1 4bn4n bn 是首项是 4，公比 q 4 的等比数列( )由 nbn n4n得： Tn 14242 n4n4Tn 142 (n1) 4n n4n1相减可得： 3Tn 4 42 4n n4n1 4（ 14n） n4n1 3（ 3n 1） 4n 14Tn917 已知 ann39 是等差数列，其前n 项和为 S ，已知 a 11， S 153，( )求数列 a 的通项公式；n( )设 a log2b ，证明 b 是等比数列，并求其前n 项和 T .nnnn【答案】

22、a 2d 111( )98解得： d 3， a15, an 3n29a1 2d 153( )bn 2an， bn 1 2an 1an 2an1 an 23 8，bn2 bn 是公比为8 的等比数列又 b1 2a1 32,Tn 32（ 1 8n） 32(8n 1)1 8718 在数列 an 中， a1 3， an 2an1 n 2(n2，且 n N* )( )求 a2，a3 的值；( )证明：数列 an n 是等比数列，并求 an 的通项公式；10 / 18( )求数列 an 的前 n 项和 Sn.【答案】( ) a13，an 2an 1 n2(n2，且 n N * )， a2 2a1 2 26

23、，a 2a23 2 13.3( )证明：an n（ 2an 1 n 2） n（ n 1） n1aan1n 1 2an 1 2n 2 2，an 1 n1数列 ann 是首项为 a1 14，公比为2 的等比数列 an n 42n 12n 1，即 an 2n 1 n， an 的通项公式为 an 2n1 n( n N* )nnn 1 n(nN *)，( ) a 的通项公式为a 2Sn (22 2324 2n1)(1 2 3 n)22（1 2n） n（ n 1）122 2n 2 n2 n8. 219 已知数列 an 满足 a1 2， an 13an 2(n N* )( )求证：数列 an 1 是等比数列

24、；( )求数列 an 的通项公式【答案】( )证明：由an 1 3an 2 得 an 1 1 3(an 1)，从而 an1 1 3，an 1即数列 an1 是首项为 3，公比为3 的等比数列( )由 ( )知， an 1 33n 13n? an 3n 1.20 已知数列 an1n 1n2n1， Snn 满足 a 2， a4a为 a 的前 n 项和( )设 bnan 2n，证明数列 bn 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；nnn2 ， n 1，2， 3， ，证明：i3( )设 TSnT 2.i111 / 18【答案】( )因为 bn 1 an1 2n 1(4an 2n 1) 2n1 4(a

25、n 2n ) 4bn，且 b1 a1 24，所以 bn 是以 4 为首项，以q 4 为公比的等比数列所以 bn b1qn 14n，所以 an 4n 2n.( )Sn a1 a2 an (4 42 4n) (2 22 2n) 43(4n1) 2(2n 1) 13(2 n 1)2 32n 1 2 13(2n 1 1)(2n 1 2)23(2 n 1 1)(2n1) ，nn11所以 Tn 2 32 3，n2n 1n（ 2n1 1）（ 2n 1）22 1 1S 2因此n3 n113113Ti2i 1n n1 121n 1 .i12 122 12 1221 已知数列 an 的前 n 项和为nnn*)S，且 S 4a 3(nN( )证明：数列 a 是等比数列；n( )若