数学归纳法经典例题详解

1、例 1用数学归纳法证明：1111n1335572n12n12n1证明：n=1 时，左边等式成立111 ，右边211 ，左边 =右边，3313假设 n=k 时，等式成立，即：1111k1335572k12k12k1当 n=k+1 时111111 3 35 5 72k 1 2k 12k 1 2k 3k12k12k12k32k 23k12k1k12k12k32k12k3k1k12k32 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦成立，综合上述，等式成立 .例 2是否存在一个等差数列 an ，使得对任何自然数 n，等式： a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并证明你的结论解：将

2、n=1，2，3 分别代入等式得方程组a16a12a224，a12a23a360解得 a1=6，a2=9，a3=12，则 d=3故存在一个等差数列an=3n+3，当 n=1，2，3 时，已知等式成立下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an，对大于3的=3n+3自然数，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因为起始值已证，可证第二步骤假设 n=k 时，等式成立，即 a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么当 n=k+1 时， a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3 =(k+1)(k2+2k+

3、3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1( k+1)+2这就是说，当n=k+1 时，也存在综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式 a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立111n例 3证明不等式 12N)23n(n证明：当 n=1 时，左边 =1，右边 =2左边 右，不等式成立。假设时，不等式成立，即，那么当时，时，不等式也成立。由，知，对一切大于1 的自然数 n，不等式都成立。例 6. 若不等式都成立，求正整数对一切正整数a 的最大值，并证明你的结论。n解析：取，。令，得，而，所以取，下面用数学归纳法证明，（1）时，

4、已证结论正确（2）假设时，则当时，有，因为，所以，所以，即时，结论也成立，由（ 1）（ 2）可知，对一切，都有故 a的最大值为25。，* 例 7已知数列 an 满足 a1=0，a2=1，当 nN 时，an+2=an+1+an求证：数列 an 的第 4m+1 项(mN)能被 3 整除证明：当 m=1 时，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被 3 整除当 m=k 时， a4k+1 能被 3 整除，那么当 n=k+1 时，a4(k+1)+1 =a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假设 a4k+1 能被 3 整除，又 3a4k+2 能被 3 整除，故 3a4k+2+2a4k+1能被 3 整除因