材料力学正应力分析[课件材料]

1、1知识分析 1 1、与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 2 2、平面弯曲时梁横截面上的、平面弯曲时梁横截面上的正应力正应力 3 3、斜弯曲时梁横截面上的、斜弯曲时梁横截面上的正应力正应力 4 4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 第第4 4章章 弹性杆件横截面上的正应力分析弹性杆件横截面上的正应力分析 5 5、基于最大正应力的强度计算、基于最大正应力的强度计算 2知识分析 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 1 1、横截面面积、横截面面积 常见的横截面有：常见的横截面有： 矩形矩形 A

2、 = hb ; 圆形圆形 A = R ; b h R 2 2、静矩、形心、静矩、形心 截面面积对轴的矩称为静矩：截面面积对轴的矩称为静矩： 图形几何形状的中心称形心：图形几何形状的中心称形心： ; ; A CiiZ Cii A Y yAydAS zAzdAS ; ; i Cii AY C i Cii AZ C A ZA A zdA A S Z A yA A ydA A S Y 3知识分析 3 3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径、惯性矩、极惯性矩、惯性半径 惯性矩惯性矩- 惯性半径惯性半径- 极惯性矩极惯性矩- 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 ; ; 2 2 A Z

3、 A Y dAyI dAzI ; ; A I i A I i z Z y Y ; ; 222 zyP III yxr 系为：惯性矩与极惯性矩的关由 4知识分析 4 4、常见形体的惯性矩、极惯性矩、常见形体的惯性矩、极惯性矩 a a、矩形截面的惯性矩、矩形截面的惯性矩 b b、圆形截面的惯性矩、圆形截面的惯性矩 C C、圆环截面的惯性矩、圆环截面的惯性矩 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 ; 12 ; 12 3 3 bh I hb I Z Y ;);1 ( 64 4 4 D dD II zy b h d y z ; 64 4 d II ZY y z d y z D

4、 d 5知识分析 d d、圆形截面的极惯性矩、圆形截面的极惯性矩 e e、圆环截面的极惯性矩、圆环截面的极惯性矩 4 4、形心主惯性矩、形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩，图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩， 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 ; 32 4 d I P ;);1( 32 4 4 D dd I P 6知识分析 例例4-14-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy ;Iz ; 解：由负面积法解：由负面积法, , Iz=H b / 12 h b / 12 = b( H - h) / 12; Iy =

5、b H / 12 b h / 12 = b( H - h) /12; 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 b h z y H 7知识分析 小鸟小鸟 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质 8知识分析 与与 应应 力力 分分 析析 相相 关关 的的 截截 面面 图图 形形 几几 何何 性性 质质 9知识分析 1 1、平面弯曲的概念、平面弯曲的概念 梁的对称面：梁的横截面具有梁的对称面：梁的横截面具有 对称轴，所有相对称轴，所有相 同的对称轴组成同的对称轴组成 的平面。的平面。 形心主轴平面：形心主轴平面：所有所有相相同的形同的形 心主轴心主

6、轴组组成的成的平平 面。面。 平面弯曲：所有外力都作用在梁平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同一主轴平面内的同一主轴平面内， 梁的轴线在该平面中梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线。弯曲成曲线。 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 10知识分析 纯弯曲：梁的横截面上只有弯纯弯曲：梁的横截面上只有弯 矩作用的情况，如梁的矩作用的情况，如梁的BCBC 段。截面上只有正应力。段。截面上只有正应力。 横向弯曲：梁的横截面上既有横向弯曲：梁的横截面上既有 剪力也有弯矩，如梁的剪力也有弯矩，如梁的ABAB 段。因而其上既有正应力段。因而其上既有正应力 也有切应力。也有切应力。 平平面弯曲时梁

7、横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 CB l/5 F A l/5 M F F Fl/5 F D 3l/5 FQ FAyFDy + + - x x 11知识分析 2 2、纯纯弯曲时梁的正应力分析弯曲时梁的正应力分析 纯纯弯弯曲梁曲梁的正应力分的正应力分析需要三个步骤：析需要三个步骤： 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 12知识分析 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 M M 中性轴中性轴 a a、应用平面假设确定应变分布、应用平面假设确定应变分布 1 1） 弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面

8、上面缩短、 下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截 面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我 们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线 称为中性轴。称为中性轴。 13知识分析 2 2）梁弯曲时的平面假设）梁弯曲时的平面假设 梁变形后周边表面梁变形后周边表面的的横向线仍然是直横向线仍然是直 线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截 面在变形前后仍然保持为平面，只是相对面在变

9、形前后仍然保持为平面，只是相对 转过一个角度转过一个角度 d 。 3 3）沿梁横截面高度方向正应力表达式：）沿梁横截面高度方向正应力表达式： 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 dx d 1 y dx d y dx dx 14知识分析 b b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 由虎克定律由虎克定律 将上述应变公式带人得：将上述应变公式带人得： = E 即：正应力与高度坐标成线性关系即：正应力与高度坐标成线性关系 = -E y / 其中其中 表示该点的曲率半径，它如何表达呢？表示该点的曲率半径，它如何表达呢？ 平平面弯曲时梁横截面上的正

10、应力面弯曲时梁横截面上的正应力 15知识分析 c c、应用静力方程确定正应力公式、应用静力方程确定正应力公式 由由 由由 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 y x z A z y x z AA z A x MdAy E yydA E MyA 2 - d ）（ Mz z z z A I ME MdAy E 2 16知识分析 将将 带人公式带人公式 得正应力公式：得正应力公式： 正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比； 与与截截面的惯性矩成反比。应力分布如图：面的惯性矩成反比。应力分布如图： 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面

11、上的正应力 y x z A z y x Mz z z I yM y E - z z I ME 17知识分析 d d、中性轴在横截面上的位置、中性轴在横截面上的位置 中中性性轴通过横轴通过横截截面的面的形形心，并且垂直于心，并且垂直于形形心主轴。心主轴。 e e、最大正应力公式与弯曲截面模量、最大正应力公式与弯曲截面模量 对于横截面上正应力最大值对于横截面上正应力最大值 其中其中 Wz = Iz / ymax 称为弯曲截面系数；称为弯曲截面系数； 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 z z z z W M I yM max max max max 18知识分析 弯曲截面系数

12、弯曲截面系数: : Wz = Iz /ymax ; l* *矩形截面的弯曲截面系数矩形截面的弯曲截面系数: : Wz = b h / 6 ; l* *圆形截面的弯曲截面系数圆形截面的弯曲截面系数: : Wz = d / 32 ; l* *圆环截面的弯曲截面系数圆环截面的弯曲截面系数 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 ;);1 ( 32 4 3 D dD Wz 19知识分析 f f、梁梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式平面弯曲后轴线曲率的计算公式 公式公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度 成反比。成反比。 3 3

13、、弯曲正应力公式的应用与推广、弯曲正应力公式的应用与推广 a a、梁上最大正应力位置的判定、梁上最大正应力位置的判定 需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素；需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素； b b、纯弯曲、纯弯曲正应力公正应力公式式可以可以推广到横向弯曲推广到横向弯曲 纯纯弯曲正应力公弯曲正应力公式在式在横向弯横向弯曲也是近似适用的。曲也是近似适用的。 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 z z EI M 1 z z z z W M I yM max max 20知识分析 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 例题例题4-2 4-2 受均布荷载简支梁

14、如图受均布荷载简支梁如图, ,已知梁的截面为矩形已知梁的截面为矩形 b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.试求最大弯矩截试求最大弯矩截 面面B上上1 1、2 2两点的正应力。两点的正应力。 C B q A l/2l/2 h b h/4 z y 2 1 21知识分析 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 解：解：1 1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置 MZB = q l / 8; 2 2、计算正应力、计算正应力 1 1点的正应力：点的正应力： 为拉伸应力为拉伸应力 2 2点的正应力：点的正应力： 为压缩正应力为压缩正

15、应力 C B q A Fq M h b h/4 z y 2 1 Pa I yM z z 6 323 1 102 .42 12 03. 002. 0 4 03. 0 8 45. 01010 Pa I yM z z 6 323 2 103 .84 12 03. 002. 0 2 03. 0 8 45. 01010 l/2 l/2 x x + + - 22知识分析 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 C B FP A 200 150 96.4 z y 50 1 50 例题例题4-3 4-3 丁字截面简支梁受力如图丁字截面简支梁受力如图, ,已知梁的参数：已知梁的参数： 试求最大

16、弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。 48 1002. 1;4 .96;2;32mmImmymlkNF zcP 形心坐标 l/2l/2 23知识分析 平平面弯曲时梁横截面上的正应力面弯曲时梁横截面上的正应力 C B FP A l/2 Fq M 200 150 96.4 z y 50 1 50 解：解：1 1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。 MzB=Fp l / 4 =16 kNm; 2 2、计算最大弯矩截面上最大正应力、计算最大弯矩截面上最大正应力 最大拉伸正应力：最大拉伸正应力： 位置在梁的下边缘处位置在梁的

17、下边缘处 最大压缩正应力：最大压缩正应力： 位置在梁的上边缘处。位置在梁的上边缘处。 思考：思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力， 设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？度地发挥了材料的强度潜力？ x Pa I yM z z 6 438 33 max max 109 .24 )10(1002. 1 106 .1531016 Pa I yM z z 6 438 33 max max 1012.15 )10(1002. 1 104 .961016 MZ max

18、+ max Fpl/4 l/2 + + - x x 24知识分析 斜斜弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 1 1、产生斜弯曲的加载条件、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲 称斜弯曲。如图：称斜弯曲。如图： FP2 FP1 变形平面变形平面 合力作用平面合力作用平面 y z 25知识分析 斜斜弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 2 2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力 当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横截当梁的受到外力作用在竖直

19、平面和水平面同时弯曲，梁横截 面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：面上的正应力可以应用叠加法确定。如图： 其最大正应力：其最大正应力： 公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。 y z C y z C );(; _ maxmax y y z z y y z z W M W M W M W M max + max 26知识分析 斜斜弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：圆形截面斜弯曲梁的最大正应力： 例例4-44-4 图示矩形截面梁已知：图示矩形截面梁已知：b=90mm; h=180mm; Fp1

20、=800N; Fp2=1650N; l=1m; 试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。 ; ; 22 _ max 22 max W MM W M W MM W M yz yz 27知识分析 ;98. 9)( ;98. 9 626 max max_ max 2 2 2 1max max max MPa W M W M MPa bh lF hb lF W M W M z z y y PP z z y y 解：解：1 1、确定梁截面上的内力分量，确定梁截面上的内力分量，梁梁 的内力如图：最大弯矩在固定端处。的内力如图：最大弯矩在固定端处。 Mymax = -Fp1l ;

21、 Mzmax = -Fp2l ; 2 2、确定梁根部截面上最大正应力作确定梁根部截面上最大正应力作 用点：用点：如图如图 , ,A 点处是两拉应力相加；点处是两拉应力相加； B 点处是两压应力相加。点处是两压应力相加。 3 3、计算最大正应力、计算最大正应力: : 斜斜弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力 FP1 FA1 MAy FQ My FP2 FA2 MAz FQ Mz x x x x x x z z 2FP!l FP2l My Mz AA BB y y - - - - max + max 28知识分析 纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，纵向载荷作用线平行于杆件的轴线， 但不重

22、合，这种载荷称为偏心载荷。但不重合，这种载荷称为偏心载荷。 将载荷向截面形心简化得到两个内力将载荷向截面形心简化得到两个内力 分量：分量：FNx 0 ; Mz0; 其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力： 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 ;-; - maxmax ）（ A F W M A F W M NN FP FP FP FP Mz Mz 29知识分析 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 例例4-54-5 图示开口链环由直径图示开口链环由直径d=12mm的园钢制

23、作而成。的园钢制作而成。 试求：试求： 1 1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力；）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力； 2 2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？）、当链环焊接成闭口状态应力如何？ 800N800N 800N 800N 21mm 30知识分析 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 解：解：1 1、计算开口链环直段部分横截面上、计算开口链环直段部分横截面上 最大应力，受力如图；横截面上弯矩：最大应力，受力如图；横截面上弯矩： 横截面上正应力横截面上正应力（如图所示）（如图所示） 800N 800N 800N 800

24、N Mz );(121015800 3 NmM z ;6 .63 1012 8004 1012 1232 ;77.8 1012 8004 1012 1232 6263 - max 6-26-3 max MPa A F W M MPa A F W M N N c max+ max 31知识分析 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 课外练习：课外练习：4-14-1；4-54-5；4-94-9；4-144-14 2 2、计算闭口链环直段部分横截面上最大应计算闭口链环直段部分横截面上最大应 力，受力如图：横截面上只有拉应力。力，受力如图：横截面上只有拉应力

25、。 比较两种形式链环的正应力大小相差近比较两种形式链环的正应力大小相差近 2222倍。倍。 ;57. 3 4 2 MPa d F A F NN 400N 800N 800N 800N 400N c 32知识分析 课堂练习课堂练习4-14-1 图示矩形截面柱，图示矩形截面柱，已知：外加载荷已知：外加载荷FP以及横以及横 截面尺寸截面尺寸。 试求试求 ABED 截面上四个角点上的正应力截面上四个角点上的正应力。 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。 33知识分析 解：解：1

26、 1、确定截面上的内力分量，在确定截面上的内力分量，在ABDE横横 截面将柱截开由力的平移定理截面将柱截开由力的平移定理将力将力平移到横平移到横 截面的形心处，内力如图截面的形心处，内力如图： 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 );(201025. 0108 . 4 );(29104. 0108 . 4 ;108 . 4 3 3 3 NmM NmM NF y z N ;10192 6 12. 008. 0 ;10128 6 08. 012. 0 ;106 . 908. 012. 0 33 2 36 2 23 mW mW mA y z 34知识分析

27、 2 2、判断最大应力作用位置：、判断最大应力作用位置： 在内力作用下在内力作用下A、E 分别是最大压应分别是最大压应 力和拉应力作用点力和拉应力作用点 3 3、计算、计算ABDE各点的应力，作图：各点的应力，作图： 弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 ;375. 0 ;375. 1 ;625. 1 ;2.625- MPa W M W M A F D MPa W M W M A F B MPa W M W M A F E MPa W M W M A F A y y Z ZN y y Z ZN y y Z ZN y y z zN 点应力： 点应力：

28、点应力： 点应力： 35知识分析 基于最大正应力的强度计算基于最大正应力的强度计算 1 1、基于最大正应力的强度条件、基于最大正应力的强度条件: : max 2 2、强度计算的主要步骤：、强度计算的主要步骤： a a、计算杆件的约束力；、计算杆件的约束力； b b、作杆件的内力图；、作杆件的内力图； c c、根据内力、横截面、材料等因素确定可能的危险点；、根据内力、横截面、材料等因素确定可能的危险点； d d、应用强度条件进行强度计算：、应用强度条件进行强度计算： 对于塑性材料：对于塑性材料：max ; 对于脆性材料：对于脆性材料：max + + + +; max ； 36知识分析 基于最大正

29、应力的强度计算基于最大正应力的强度计算 例例4-64-6 图示圆轴图示圆轴ABAB段是空心的，已知段是空心的，已知 D = 60mm; d=40mm，尺尺 寸和外力，寸和外力， = =120MPa ；试分析圆轴强度是否安全。；试分析圆轴强度是否安全。 3kN5kN 2.93kN 5.07kN ACBD 300 1000400 37知识分析 基于最大正应力的强度计算基于最大正应力的强度计算 解：解：1 1、作内力图、作内力图 2 2、判断可能的危险截面是、判断可能的危险截面是C C、B B横截面；横截面； 3 3、计算危险截面上的最大正应力：、计算危险截面上的最大正应力： 4 4、对轴进行强度校

30、核：、对轴进行强度校核： 轴的强度是安全的。轴的强度是安全的。 2.93kN 5kN 5.07kN 3kN 2.93kN3kN -2.07kN FQ -0.9kNm 1.17kNm M A C B D ;87.52 ) 06. 0 04. 0 (1 )1060( 109 . 032 ;1007.55 )1060( 1007. 132 433 3 6 33 3 MPa W M B MPa W M C 截面上： 截面上： ;87.52 ;12055.07: max max MPaB MPaMPaC 截面： 截面 + - + + 38知识分析 基于最大正应力的强度计算基于最大正应力的强度计算 2Fp

31、 Fp 6001400 A C B 例例4-74-7 由铸铁制作的悬臂梁尺寸如图，由铸铁制作的悬臂梁尺寸如图，FP=20kN, ,材料的许用材料的许用 应力应力 试校核梁的强度。试校核梁的强度。 200 150 96.4 z y 50 1 50 ;100;40MPaMPa ;1002. 1 48 mmI z c 39知识分析 基于最大正应力的强度计算基于最大正应力的强度计算 解：解：1 1、作内力图、作内力图 2 2、判断可能的危险截面是、判断可能的危险截面是A A、B B横截面；横截面； 3 3、计算危险截面上的最大正应力：、计算危险截面上的最大正应力： 4 4、对梁进行强度校核：、对梁进行

32、强度校核： 梁的强度是安全的。梁的强度是安全的。 -20kN 40kN 20kN 20kN -20kN Fq -12kNm 16kNm M A C B ;07.18 101002. 1 10)4 .96250(1012 ;12.15 101002. 1 104 .961016 ;1009.24 101002. 1 10)4 .96250(1016 128 33 max 128 33 max 6 128 33 max MPa I yM B MPa I yM MPa I yM A z dB z aA z bA 截面上： 截面上： ; ;07.18 ;4012.15 ;10024.09: maxmax max max max MPaB MPaMPa MPaMPaA 截面： 截面 16kNm x MZ x MZ B截面应力分布截面应力分布 A截面应力分布截面应力分布 + - + - max maxmax max 40知识分析 基于最大正应力的强度计算基于最大正应力的强度计算 例例4-84-8 图示行车梁由图示行车梁由32a32a热轧工字钢制成，已知起吊时热轧工字钢制成，已知起吊时 重物与重物与 y 轴之间的夹角轴之间的夹角 =5; = 160MPa ，试校，试校 核梁的强度。核梁的强度。 80kN 80kN 40kN 40kN A CB z 40004000 y