89知识讲解波的传播的多解性基础

1、波的传播的多解性 【学习目标】 1. 理解波传播的时间周期性特征。 2. 理解波传播的空间周期性特征。 【要点梳理】 要点一、波的传播的多解性的形成原因 机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都 是形成波动问题多解的主要原因.解题时常出现漏解，现归类分析. 1. 波动图像的周期性形成多解 机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像 的形状则是相同的.机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对 应，即这三个物理量可分别表示为: S n S, t kT t , v s/t (n s)/

2、(kT t), 其中 n0，1,2, 3 L ； k0, 1,2, 3 L . 2 .波的传播方向的双向性形成多解 在一维条件下，机械波既可以向x轴正方向传播，也可以向 x轴负方向传播，这就是波传播的双 向性. 3波形的隐含性形成多解 许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态.这 样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解. 由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解.解题时要先建 立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解. 要点二、波的传播的多解性的解题方法 1.多解问题的解题技巧 (1)方向性不确定出现多解. 波总是

3、由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦 然.因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往 往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解. 【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中M点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置, 已知振动周期为0.8 S,问M至少过多长时间达到波峰位置？ 【解析】题设条件中没有给出 M点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分 情况讨论，当波向右传播时，M点向下振动，则至少经过 3T/4才能达到波峰；当波向左传播时，质 点M向上振动，则至

4、少需要 T/4才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案即至少再经过0.6 S或 0.2 S, M点到达波峰. (2)时间、距离不确定形成多解. 沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前 后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与 波长的关系，就会出现多解现象，学生解题时只按t小于T或x小于 来解，就会造成用特解取代 通解的现象. t时的波 【例】如图所示。实线表示 t时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过 形图线，已知波长为，求波的传播速度是多大？ y V / A/ f t 、/ ti1 0 丿

5、3 波向右传播的距 【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内, 离可能是 /4，5 / 4，9 /4，L 即(k 1/4) ( k 0, 1,2, 3 L)， 则可求出波速的通解.即 v x/ (3) 在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定, 学生在想不到所有可能的情况下，就会出现漏解. 【例】如图所示， 波形的隐含性形成多解. 就会形成多解, A B是一列简谐横波中的两点. 某时刻，A正处于正向最大位移处， 另一点B t (k 1/4) / t 4k 1/(4 t) (k 0, 12,3,L ). 恰好通过平衡位置向 合不等式：20

6、m V V 80 m，求波长 -y方向振动.已知 A B的横坐标分别为xA 0 , xB 70 m，并且波长符 【解析】根据题目中 曲线波形). 10 60 A点和B点的位置，作出 A B间的两种最简波形图(如图中的实、虚两种 4n 1 所以波长通式为 曽，其中 n 0 1,2 3 L ,将 n O12 依次代入通式解得 1 由实线最简波形图写出这种情况的通式为Xb Xan ，得70 4 71 21 m 或 31 m 139 280 m, 56 m, 31-m, L ,由已知20 m 80 m的限制条件，波长应为 9 或56 m，且该波向-X方向传播。 由虚线最简波形，写出这种情况的通式为Xb

7、 Xa n得 70 4n ，所以波长的 0, 1,2, 3 L依次代 入通式解得 4 70 Ym ,其中 n 0, 1,2, 3 L 4n 3 80 m 15 93 - m, 40 m , 25 m , L 由已知 20 m 311 且波向 X方向传播. 71 即波长 可能为21 m , 31-m, 56 m , 139 5 的限制条件，波长应为 25 m或40 m , 11 5 25 m , 40 m . 11 2. 波动的周期性理解要点 内容 (1 )质点振动路程的周期性 S n4A S (n 0,1,2L ) (2)传播距离的周期性: X n X (n 0, 1 , 2L ) (3)传播

8、时间的周期性: t nT t (n 0, 1 , 2 L ) (4)传播速度可能的多解性： X n X X 说明或提示 (1)式中A为振幅, 过的路程 (2)式中为波长， 部分距离，如 X S为不足一次全振动通 x是不足一个波长的那 /4等 (3)式中T为周期， 部分时间，如 t T/4等 t是不足一个周期的那 (4)式中n 0 v T t nT t t 【典型例题】 类型一、波的周期与双向性引起多解的问题 例1.一列横波在某时刻的波形图如图中实线所示，经 2 10- 2s后的波形如图中虚线所示，则该 波的波速v和频率f可能是() A . V 为 5 m/s B. V 为 35 m/s C.

9、f 为 50 Hz D . f 为 37.5 Hz 【思路点拨】假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系 列结论. 【答案】A、B、D 【解析】由两时刻的波形图可以直接读出: 0.3 m . 左传播时波传播的最小距离为 右、向左可能传播的距离分别是: 若波向右传播时波传播的最小距离为0.1 m ；若波向 0.4 m,考虑到波形图的时间、空间周期性知，这列波向 s右(n 0.1) m 0.4n 0.1 (n0, 1,2, 3 L ) s左 (n0.3) m 0.4n 0.3 m,( n0, 1,2, 3 L ) 向右、 向左传播对应的周期分别为 T右、 T左，则:

10、 2 102s nT右右 右4右 (n (n 0, 1,2 3 L ) (20n 5)m/s , (20n 15)m/s , f 右50n 12.5 f 左50n 37.5 B、D三项正确. 令n取不同的值可得 A、 【总结升华】由于没有明确波的传播方向，则两波形所间隔的时间与周期的关系是不明确的，解 此类问题，可以假设向右传播，对问题进行处理，得出一系列结论，然后再假设向左传播得出一系列 结论. 举一反三：【高清课堂：波的传播的多解性例11 【变式11有一列沿水平绳传播的简谐横波，频率为 10Hz ,振动方向沿竖直方向.当绳上的质点 p到达其平衡位置且向下运动时，在其右方相距 0.6m处的质

11、点Q刚好到达最高点.由此可知波速和 传播方向可能是（） A、8m/s ,向右传播 C、24m/s ,向右传播 B、8m/s, D、24m/s , 向左传播; 向左传播; 【答案1 BC 【高清课堂：波的传播的多解性 【变式21在波的传播直线上有两个介质质点A B ,它们相距60cm,当A质点在平衡位置处向 上振动时，B质点处于波谷位置.若波速的大小为24m/s,则波的频率可能值是（） A. 30Hz B. 410Hz C. 400Hz D. 490Hz 【答案】ABD 【解析】向右传播： 1 0.6m （n -） 4 (n 0.6 24 06 40n 向左传播: 0.6m (n 3) (n 0

12、.6 f 40n30 . 对左右传播方向的频率分别代入 (n 0, 1,2 3 L ）可得ABD正确。 类型二、波的传播方向不确定引起的多解 x轴传播的一列简谐横波在t= 0时刻的波形图, 例2. （ 2015嘉兴校级期中）如图所示，实线是沿 虚线是这列波在t= 0.2 s时刻的波形图已知该波的波速是0.8 m/s ,则下列说法正确的是（） B .这列波的周期是 C 这列波可能是沿 A .这列波的波长是 0.125 s x轴正方向传播的 D . t= 0时，x= 4 cm处的质点的速度方向沿 y轴负方向 【答案】D 【解析】由图象可知该波的波长为12 cm,选项A错误；波的周期T=-= 0s

13、= O.15s，选项 v 0.8 B错误；若波沿 x轴正方向传播则满足t=(n+ -)T(n=0,1,2,3 )，把周期和时间间隔代入解得n 3 不符合条件，所以选项 C错误；由C选项错误可知这列波是沿 x轴负方向传播的，所以在 t = 0时，x =4 cm处的质点的速度方向沿 y轴负方向.答案为 D. 举一反三：【高清课堂：波的传播的多解性例21 【变式】如图所示，实线是一列简谐横波在t 0时刻的波形图，虚线是这列简谐横波在t 0.2s时 (2) 若波沿 (3) 若波沿 x轴正方向传播，波速是多大？波动周期是多大? x轴负方向传播，波速是多大？波动周期是多大? (1) 10cm 24cm s

14、 0.18 0.9m/s T - 0.24 4 一s t 0.2 v 0.9 15 s 0.06 0.3m/s T - 0.24 0.8s t 0.2 v 0.3 【答案】 (2) v (3)v 该直线上的 例3.一列简谐横波沿直线传播， 表示平衡位置在 a b两点处质点的振动曲线从图示可知( a、b两点相距4.42 m 图中实、虚两条曲线分别 ). 0.1 m D. a点一定比b点距波源近 C .此列波的传播速度可能是 34 m/s 为 0.1 s, 【答案】A、C 【解析】本题考查机械波和机械振动有关的知识，本题为中等难度题目.由振动图像可得其周期 可得其振动频率为 3 10 10 Hz

15、, a和b相距4.42 m,由图像可知: Sab 4.42 n 1( n0, 1,2 3 L ) Sab 4.42 n 2(n0, 1,2 3 L ), 【思路点拨】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。 所以 44.2 10n 3 44.2 10n 7 . 在前一个等式中若 n 13.4 , v 34m/s , T a和b哪个质点更靠近波源，我们是无法判断的. 【总结升华】有些问题我们可以判断，但有些问题我们却不能判断。 类型三、传播时间与周期关系不确定引起的多解 例4.一列简谐横波图像如图所示，t1时刻的波形如图中实线所示，t2时刻的波形如图中虚线所 示，已知 t t2-1,0.

16、5 s，求: (1 )这列波的可能波速的表达式？ (2) 若波向左传播，且 3T t4T ,波速多大? (3) 若波速V 68 m/s ,则波向哪个方向传播？ 【答案1见解析 【解析1 (1 )未明确波的传播方向和 当波向右传播时： V右 y 当波向左传播时： (n X) V左 t t与T的关系，故有两组系列解. 8n 2, m/s 0.5 (n 8n 6, m/s 0.5 (2)明确了波的传播方向，并限定 即n 3,代入得 (n 3T t4T ,设此时间内波传播距离为s,则有3 s4 , V左 4 4n 3 m/s 4 (4 3 3) m/s 60 m/s (3)由给定的波速，则给定时间 t

17、内波传播距离 x V -168 0.5 m 34 m 故波向右传播. 【总结升华】未明确波的传播方向时，要分别对向左、向右做出运算；当给定方向后即可选定该 方向上的运算式；给定波速是要按给定条件判断波的传播方向。 举一反三：【高清课堂：波的传播的多解性例31 【变式11如图所示,实线为一列沿x轴正方向传播的简谐波在 t 0时的波形，而虚线是该波在 t 0.5s时的波形，此列波的周期大于 0.3s而小于0.5s，该波的波速为() A 6m/s 【答案】B 【解析】由图可知4m。根据t 0和t 0.5s的波形有 0.5 (n -)T 4 T徭 n - 4 有题设知 0.3T 0.5 (n 代入得

18、0.752 n - 4 n1.35 (n 0,1,2, 3 取整数n 0, 0时， 5.6m, T 5.6 V 20 2 4 1时， 2.4m , T 0.28s； 20 0.12s. 选项 AB正确. 举一反三：【高清课堂：波的传播的多解性 【变式3】一根张紧的水平弹性长绳上的 例5】 a b两点，相距14.0m , b点在a点的右方。当一列简 谐 横波沿此长绳向右传播时，若a点的位移达到正极大时，b点的位移恰为零，且向下运动。经过 1.00s后，a点的位移为零，且向下运动，而b点的位移恰达到负极大。则这简谐横波的波速可能等于 4.67m/s h B. 6m/s / C. 10m/s D. 14m/s 【答案】 【解析】 波长关系: AC 根据题意 14.0m=(n+3) (n 0, 1,2 3 L ) 波长为 14 周期关系: 1s 周期为 波速关系: (k (k 0, 14 14(4k 4n 3 分别代入（n 0, 1,2 3 L )和(k 0, 1,2 3 L) ,只有n 0, k 0和n 1, k 1符合要 求，选项AC正确。 类型四、由条件的不确定引起的多解问题 x轴正方向传播，波速为V。若某时刻在波 例5.（2015福建卷）简谐横波在同一均匀介质中沿