电磁场理论第章

1、电子科技大学 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场当场源不随时间变化时，激发不随时间变化的静态场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第3章静态场分析章静态场分析 3.1 静电场的静电位及其微分方程静电场的静电位及其微分方程 3.1.1 静电场的静电位静电场的静电位 基本方程基本方程0 0 SVC ddVd DSEl DE DE 电子科技大学 边界条件边界条件 2112 2121 0 ntt nSnnS EE DD eEE

2、eDD 或或 或或 2112 0 = nnn DDeDD 对于理想介质，有对于理想介质，有 或或 在静电场情况下，由，即静电场可以在静电场情况下，由，即静电场可以 用一个标量的梯度来表示。标量用一个标量的梯度来表示。标量 称为标量位或标量电位。称为标量位或标量电位。 0 EE 33 1 4 q q rrr rr E由由空空间间中中点点电电荷荷 产产生生的的电电场场和和得得 1 = 44 qq qC rr E点点电电荷荷 产产生生的的电电位位 任意常数任意常数 电位的定义电位的定义 电子科技大学 对于连续分布电荷，有对于连续分布电荷，有 1 4 1 4 1 4 V S S l l dVC R d

3、SC R dlC R r r r r r r 体电荷体电荷 面电荷面电荷 线电荷线电荷 4 q C r rr 1 1 4 N i i i q C r rr 位于位于r处的点电荷处的点电荷 位于不同位置位于不同位置r i的的 N个点电荷个点电荷 电子科技大学 d El将将两两端端点点乘乘，则则有有 dddxdydzd xyz Ell 上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得 QQ PP ddPQ El P、Q两点两点 间的电位差间的电位差 电场力电场力 做的功做的功 关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位

4、差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U表示表示 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关 3.1.2 电位差电位差 电子科技大学 显然，电位函数显然，电位函数 不是唯一确定的，可以加上任意一个常数不是唯一确定的，可以加上任意一个常数 仍表示同一个电场，即仍表示同一个电场，即 CC E设设 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为为使空间各点电位具有确定值，可以选定空

5、间某一点作为 参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的 电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即 选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差) 两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点同一个问题只能有一个参考点 电子科技大学 2 DE 标量泊松方程标量泊松方程 在均匀、线性和各向同性的介质

6、中，利用在均匀、线性和各向同性的介质中，利用 有有 E 2 00 在在无无源源空空间间中中， 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 3.1.3 电位的微分方程电位的微分方程 电子科技大学 S n 在在导导体体表表面面，有有 常常数数， 理想导体是等位体理想导体是等位体 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分 别为别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 l P1 P21212 0 El 21 1212 1212 nS S nnnn 由由 和和 ，得得eDDDE 理想介质表面理想介质表面 电子科技大

7、学 点电荷：设点电荷点电荷：设点电荷q在原点，参考点在原点，参考点Q，场点，场点 (电位考察点电位考察点)P， 选择路径选择路径PM Q(路径可以任意选择路径可以任意选择)进行积分，有进行积分，有 3 0 2 00 4 111 44 Q P MQQ P PMM r r PQ q ddd r qq dr rrr r ElElr O Q rP M P rQ 积分贡积分贡 献为零献为零 0 4 QP P q r r 选参考点位于无穷远处，即令，得选参考点位于无穷远处，即令，得 0 4 q r 由由此此得得到到点点电电荷荷电电位位的的一一般般表表达达式式 00 44 qq R r rr 对于位于 的点

8、电荷，电位表达式为对于位于 的点电荷，电位表达式为 3.1.4 电位的表达式电位的表达式 电子科技大学 线电荷：设线电荷线电荷：设线电荷 l在原点，参考点在原点，参考点Q，场点，场点 (电位考察点电位考察点)P， 沿如前路径进行积分，有沿如前路径进行积分，有 2 0 00 2 1 ln 22 Q P MQQ l P PMM r Q ll r P ddd r r dr rr r ElElr 如果选择参考点在如果选择参考点在rQ=，得，得 P P= =，显然不合理。，显然不合理。 如果选择如果选择rQ=1=1，得，显然这种形式最简单。，得，显然这种形式最简单。 0 1 ln 2 l P P r 0

9、 1 ln 2 l r 由此得到线电荷电位的一般表达式由此得到线电荷电位的一般表达式 00 11 lnln 22 ll R rr r对于位于 的线电荷，电位表达式为对于位于 的线电荷，电位表达式为 电子科技大学 面电荷面电荷(例例3-1)：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。：无限大面电荷产生的电场在空间均匀分布。 设均匀电场设均匀电场E0，场中任意两点，场中任意两点P1和和P2的电位差为的电位差为 22 11 2100 0021 PP PP dd ElEl E RErr 12021 P Err 设设参参考考点点在在 点点，则则 202 1 1 0 2 cos 0 E r r r E r若若

10、设设参参考考点点在在无无穷穷远远处处，即即， 无无意意义义。 如如设设参参考考点点在在原原点点，即即，则则有有 000 cosE r EErr 由由此此得得到到面面电电荷荷电电位位的的一一般般表表达达式式 其其中中 为为电电场场与与的的夹夹角角 R P2 P1 dl E0 r1 r2 O 电子科技大学 例例 3-2 电偶极子的电位和电场强度电偶极子的电位和电场强度。电偶极子由空间。电偶极子由空间 两个等量异号的点荷组成如图。两个等量异号的点荷组成如图。 解：设电偶极子中心位于座标原点，解：设电偶极子中心位于座标原点，p=ql。 空间任意点空间任意点M处的电位可以看成是由两个处的电位可以看成是由

11、两个 点电荷产生，即有点电荷产生，即有 -q +q R+ O R- r Mz l 0 11 4 q RR r 当场点当场点M到电偶极子的距离到电偶极子的距离rl时，得时，得 2 11cos cos ,cos 22 lll RrRr RRr 223 000 coscos 444 qlp rrr p r r 253 00 3cos1 44 ql rrr p r rp E 电子科技大学 3.1.5 电位的多极展开电位的多极展开 零极子零极子 处于一个几何点的电荷系统称为零极子，其电性质只需用总处于一个几何点的电荷系统称为零极子，其电性质只需用总 电量电量q表示，其电位为表示，其电位为 0 1 4 q

12、 rr 电偶极子与电偶极矩电偶极子与电偶极矩 电偶极子：两个等值异号相距微小距离的点电荷系统，总电电偶极子：两个等值异号相距微小距离的点电荷系统，总电 量量Q0，用电偶极矩，用电偶极矩p=ql表示其电特性表示其电特性 电荷系统的电偶极矩：并不是只有电偶极子才有电偶极矩电荷系统的电偶极矩：并不是只有电偶极子才有电偶极矩 , ii V i qdV prprr离离散散: :连连续续: : O r (r) V p与座标系有关；对称系统与座标系有关；对称系统p0； p和和Q是不是不 同的物理量；同的物理量；Q0的电荷系统仍可能产生电位的电荷系统仍可能产生电位 电子科技大学 电偶极子场：电偶极子场： 3

13、0 1 4r p r r 电荷系统的电偶极矩场：只需将电偶极子场中的电荷系统的电偶极矩场：只需将电偶极子场中的p用相应电用相应电 荷系统的电偶极矩代入即可，显然有荷系统的电偶极矩代入即可，显然有 2 1 r 电四极子与电四极矩电四极子与电四极矩 电四极子：两个大小相同、方向相反的电偶极子电四极子：两个大小相同、方向相反的电偶极子p构成的构成的 系统，系统，Q0，p0，电特性用电四极矩表示。，电特性用电四极矩表示。 电四极矩张量：共有电四极矩张量：共有9个分量，表示为个分量，表示为 x y z O Qxx x y z O Qxz x y z O Qyz 3 , ijij i j QQ e e 电

14、子科技大学 电四极子场：电四极子场： 2 3 0 111 4 xz pl x Q zrr 对于分量对于分量 电荷系统的电四极矩场：任何电荷系统都有电四极矩，其电荷系统的电四极矩场：任何电荷系统都有电四极矩，其 电位为电位为 23 3 , 0 111 24 ij i j ij Q x xrr 电荷系统电位的多极展开电荷系统电位的多极展开 任意电荷系统有可能具有任意电荷系统有可能具有Q，p，Qij，其电位可表示成，其电位可表示成 0 1 4 V dV r r rr O r (r) V r R P l 012 rl rrrr 当当时时，上上式式可可以以展展开开为为 式中各项分别为各级电极子产生的电位

15、，随着式中各项分别为各级电极子产生的电位，随着r增加，高阶项可增加，高阶项可 忽略。忽略。r很大时，可将有限区域中分布的电荷等效成点电荷。很大时，可将有限区域中分布的电荷等效成点电荷。 电子科技大学 q C 导体所带电荷与导体电位之比导体所带电荷与导体电位之比 电容电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与只与导体几何性质和周围介质有关，与q和和 无关无关 如空气中半径为如空气中半径为a的孤立带电球，的孤立带电球， 0 0 4 4 qq Ca a 与与q和和 无关无关 12 q C 孤立导体：孤立导体： 双导体组成的电容器双导体组成的电容器 同样地，电容同样地，电容C只与导体几何性质和介质有关只

16、与导体几何性质和介质有关 如平行板电容器如平行板电容器 0 0 12 SS S SSqS C Eddd 与与q和和 无关无关 3.2 导体系统的电容导体系统的电容 3.2.1 电容的定义与计算电容的定义与计算 电子科技大学 例例3-5如图所示的平行双线传输线，导线的半径为如图所示的平行双线传输线，导线的半径为a， 两导线的轴线相距为两导线的轴线相距为D，且，且Da。试求传输线单位长。试求传输线单位长 度的电容。度的电容。 解：由于解：由于Da，近似认为电荷均匀分布，近似认为电荷均匀分布 在导体表面，且可将导线看成线电荷，在导体表面，且可将导线看成线电荷， 则利用高斯定理得则利用高斯定理得x轴上

17、的电场分布轴上的电场分布 0 11 2 l x x xDx Ee 00 11 ln 2 D aD a ll x aa Da Uxdxdx xDxa Ee 两两导导线线间间的的电电位位差差为为 00 lnln l l C DaD U aa 两导线间单位长度两导线间单位长度 的电容为的电容为 y l x P x D a - l 电子科技大学 单个导体上的电量单个导体上的电量qC 双导体时，一个导体上的电量双导体时，一个导体上的电量 1212 qC 如果把大地看成如果把大地看成 0=0的导体，则单个导体存在时，导体上的导体，则单个导体存在时，导体上 的电量为的电量为 00 qC 两个导体存在，且考虑

18、大地影响时，相当于两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于3个导体的情况，个导体的情况， 其中一个导体上的电量为其中一个导体上的电量为 11212101 qCC 其中其中C12为导体为导体1，2间的电容，间的电容，C10为导体与大地间的电容为导体与大地间的电容 N个导体存在，导体个导体存在，导体i上的电量与它和其它导体之间的电位上的电量与它和其它导体之间的电位 差（包括大地）有关，即有差（包括大地）有关，即有 1 1,2,3, N iijijiii j j i qCCi 3.2.4 部分电容部分电容 电子科技大学 物理意义：物理意义： 导体系统中各导体间都存在电容导体系统中各导体间都存在电容 各

19、导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部各导体的电荷正比于导体间的电位差，其比例系数称为部 份电容份电容 关于部份电容关于部份电容Cij的讨论的讨论 Cij为导体为导体i与导体与导体j之间的电容；而之间的电容；而Cii为导体为导体i本身的电容，即本身的电容，即 与大地间的电容，可写成与大地间的电容，可写成Cii=Ci0=Ci Cij=Cji （ij），对称性（互易性），对称性（互易性） Cij只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有关，只与导体的几何形状、介质性质和各导体的相对位置有关， 与各导体所带电量无关与各导体所带电量无关 电子科技大学 例例1 两个同心导体球壳，半径分别

20、为两个同心导体球壳，半径分别为a和和b，离地很远。，离地很远。 求部分电容。求部分电容。 解：由于球壳离地很远，可以认为电荷在导解：由于球壳离地很远，可以认为电荷在导 体表面均匀分布。两个球壳上的电量分别为体表面均匀分布。两个球壳上的电量分别为 11212111 22121222 qCC qCC 由于由于C12，C21，C11，C22与与q1，q2无关，可任意选择无关，可任意选择q1和和q2值。值。 令令q1 =0， q2 =1，得，得 12 0 1 4b 121111 0 1 000 4 CCC b 静电屏蔽静电屏蔽 2122220 0 1 104 4 CCCb b 孤立球的电容孤立球的电容

21、 C22 b a C12=C21 C11 电子科技大学 121212 000 11 1,0, 444 ba qq abab 令令 0 12112 0 4 10 4 abba CC abba 得得 210 00 0 2112 1 04 44 4 ba Cb abb ab CC ba 或或 同心球电容同心球电容 电子科技大学 3.3.1 电场能量电场能量 讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关 从零状态开始充电，充电结束时，电荷为从零状态开始充电，充电结束时，电荷为 、电位为、电位为 充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子充电过程中，电荷与电

22、位同比增加，比例因子 ，即充电过，即充电过 程中某一时刻电荷与电位分别为程中某一时刻电荷与电位分别为和和 充电过程由充电过程由 = 0到到 = 1，由无数个充电单元，由无数个充电单元d 组成组成 对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送对于系统中的一个单位体积，在每个充电单元，电源将输送 电荷电荷 d ，同时做功，同时做功()( d )，此功将转换为电场的能量，此功将转换为电场的能量 所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加，即外电源所以，在一个充电单元中，整个系统能量的增加，即外电源 为此所做的功为为此所做的功为 e VV dWddVddV 3.3 静电场能量和静电力静电场能量

23、和静电力 电子科技大学 充电完成后，系统的总能量为充电完成后，系统的总能量为 11 00 1 2 ee VV WdWddVdV 对于电荷分布于曲面上的情况，有对于电荷分布于曲面上的情况，有 1 2 eS S WdS 能量密度能量密度 电场能量分布于整个电场空间。利用电场能量分布于整个电场空间。利用 , DE 11 22 11 22 e VV SV WdVdV ddV DDD DSE D AAA 电子科技大学 当当V无穷大时，由于无穷大时，由于S包括了整个电场空间，其外部没有电场包括了整个电场空间，其外部没有电场 存在，所以没有电场穿出存在，所以没有电场穿出S，即在，即在S上上D0，第一项为零，

24、得，第一项为零，得 1 2 e V WdV E D 由此得电场的能量密度为由此得电场的能量密度为 1 2 e w E D 对于线性各向同性介质，有对于线性各向同性介质，有 2 2 111 222 1 2 e VVV e WdVdVE dV wE E DE E 空间任意点的能量密空间任意点的能量密 度由当地的电场决定度由当地的电场决定 电子科技大学 关于静电场能量表达式的补充说明关于静电场能量表达式的补充说明 讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场讨论的是充电完成系统稳定后的情况，所以只适用于静电场 积分区域为存在电荷分布的空间，由于在无电荷分布的区域积分区域为存在电荷分布的空间，

25、由于在无电荷分布的区域 积分为零，所以积分也可以为整个空间积分为零，所以积分也可以为整个空间 能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电能量是分布在有电场存在的整个空间，并非仅仅存在于有电 荷分布的区域，所以荷分布的区域，所以被积函数被积函数 不代表能量密度不代表能量密度 被积函数被积函数 代表能量密度，说明有场存在的地方即会有能代表能量密度，说明有场存在的地方即会有能 量量 1 2 1 2 E D 电子科技大学 对对N个点电荷组成的系统，电荷体密度为个点电荷组成的系统，电荷体密度为 ii i q rrr 11 22 11 22 eii VV i eiiii ii WdVqdV Wq

26、q rrrrr r 利用利用 函数的挑选性函数的挑选性 点电荷相互作用能点电荷相互作用能 对对N个带电导体组成的系统，各导体的电位为个带电导体组成的系统，各导体的电位为 i，电量为，电量为qi， 表面积为表面积为Si，则导体系统的电场能量为，则导体系统的电场能量为 11 22 11 22 i i i i eSSi SS i iSii S ii WdSdS dSq 3.3.2 带电导体系统的能量带电导体系统的能量 3.3.3 点电荷系统的相互作用能点电荷系统的相互作用能 电子科技大学 例例3-7 原子核是一个带电为原子核是一个带电为q的点电荷，周围均匀分布的点电荷，周围均匀分布 有带负电的球形电

27、子云。电子云的半径为有带负电的球形电子云。电子云的半径为r0，其总电，其总电 量为量为q。求原子模型的结合能。求原子模型的结合能。 解：结合能解：结合能=电子云自能电子云自能+云与核的相互作用能。云与核的相互作用能。 由高斯定理得电子云产生的电场由高斯定理得电子云产生的电场 0032 0 00 , 44 rr qrq rrrr rr EeEe q -q r0 0 0 20 22 2 2200 32 0 0 000 0 1 22 3 44 242420 VV r r WdVE dV qrqq r drr dr rrr E D 自自 电电子子云云的的自自能能 为为 0 0 32 00 0 000

28、0 3 0 448 r r qrqq ddrdr rrr El 电电子子云云在在原原子子核核 产产生生的的电电位位为为 电子科技大学 1212 11221221 12 11 22 111 222 e eee WdVdV dVdVdV WWW 互互 D EDDEE D ED ED ED E 3.3.4 电荷分布在外电场中的能量电荷分布在外电场中的能量 带电体的自有能和相互作用能带电体的自有能和相互作用能 设两个带电体电荷密度分别为设两个带电体电荷密度分别为 1和和 2，产生的电位和电场分产生的电位和电场分 别为别为 1和和 2，E1和和E2。则总电场为。则总电场为E=E1+E2，电场总能量为，电

29、场总能量为 其中：其中：We1和和We2分别为带电体分别为带电体1和和2的自有能量，分别对应各自的自有能量，分别对应各自 所产生的电场；所产生的电场； We互 互为两个带电体的相互作用能，在线性各向 为两个带电体的相互作用能，在线性各向 同性介质中有：同性介质中有： 12211221 121221 e WdVdVdVdV 互互 其中利用了其中利用了 D ED E D EE ED E 电子科技大学 带电体在外电场中的能量带电体在外电场中的能量 带电体在外电场中的能量，即为带电体与产生外场的电荷之带电体在外电场中的能量，即为带电体与产生外场的电荷之 间的相互作用能。设外电场对应的电位为间的相互作用

30、能。设外电场对应的电位为 e，带电体的电荷密带电体的电荷密 度为度为 ，则带电体在外电场中的能量为则带电体在外电场中的能量为 ee V WdV 互互 当电荷分布在一个小区域内，且电位当电荷分布在一个小区域内，且电位 e缓慢变化时，可将电位缓慢变化时，可将电位 e在在=0处按泰勒级数展开为：处按泰勒级数展开为： 2333 111 1 =000 2 1 000 + 2 eeieije iij iij eee xx x xx x ： r rrr 123eeee WWWW 互互 总电量的能量总电量的能量 电偶极矩的能量电偶极矩的能量 电四极矩的能量电四极矩的能量 电子科技大学 3.3.5 静电力静电力

31、 静止电荷间的作用力一般总可以用库仑定律求得，但对于许静止电荷间的作用力一般总可以用库仑定律求得，但对于许 多实际问题，用库仑定律计算非常复杂，通常可用虚位移法。多实际问题，用库仑定律计算非常复杂，通常可用虚位移法。 虚位移法：假设带电体在电场的作用下发生一个位移（假想虚位移法：假设带电体在电场的作用下发生一个位移（假想 的），电场能量将发生改变（电场做功，能量改变），根据能的），电场能量将发生改变（电场做功，能量改变），根据能 量的变化情况可以求出带电体所受的力。量的变化情况可以求出带电体所受的力。 设有设有N个带电导体组成的系统，第个带电导体组成的系统，第i个导体在电场力个导体在电场力Fi

32、的作用的作用 下发生位移下发生位移i，电场力做功为，电场力做功为 A=Fii，此时系统静电场能量，此时系统静电场能量 的变化为的变化为 We。如果各导体与外电源相联，则此时外电源将对。如果各导体与外电源相联，则此时外电源将对 系统提供能量系统提供能量 Ws。由能量守恒定律，得。由能量守恒定律，得 siie WFW 外界提供的能量外界提供的能量=电场对导体做功电场对导体做功+系统能量的增加系统能量的增加 电子科技大学 111 222 eiieiiii iii WqWqq 由 由 可见，系统静电能量的改变分别由电荷和电位的变化引起。可见，系统静电能量的改变分别由电荷和电位的变化引起。 各导体不与电

33、源相连，即各导体不与电源相连，即 qi = 0 由于各导体不与电源相连，导体系统与外界隔绝，没有能量交由于各导体不与电源相连，导体系统与外界隔绝，没有能量交 换，即换，即 Ws= 0，则有，则有 0 i ee iieii ii q const WW FWFF 各导体与电源相连，即各导体与电源相连，即i = 0 为保持各导体电位不变，电源将向导体为保持各导体电位不变，电源将向导体i提供电量提供电量 qi，同时即，同时即 提供能量提供能量 i qi，则有，则有2 siie i WqW 2 e eiieiiei i const W WFWFWF 电子科技大学 例例2 求平行板电容器板间作用力。设极板

34、面积为求平行板电容器板间作用力。设极板面积为S，两，两 极板之间填充空气。极板之间填充空气。 解：解： 111 222 e WqqqU 下下下下上上上上 x +q -q =U =0 x 22 00 1 22 e x q const q const Wqq Fx xxSS 方法方法2：通电后不断电，极板电位不变。：通电后不断电，极板电位不变。 00 U qSES x 00 S q UExxx S 方法方法1：通电后断电，极板上电量不变。：通电后断电，极板上电量不变。 2 0 22 0 2 00 1 2 22 e x const const WSU F xxx SUqq UExx xSS 电子科技

35、大学 3.4 恒定电场及其基本方程恒定电场及其基本方程 3.4.1 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程 恒定电场由密度不随时间变化的电荷产生，但电荷并非静恒定电场由密度不随时间变化的电荷产生，但电荷并非静 止，即止，即J0。此时有。此时有 0000 t JEE 均匀介质均匀介质 0 EE 2 0 12 2112 12 122112 0 0 0 0 ntt nnn EE JJ nn 或或 由由 或或 eEE E J eJJ 基本方程基本方程 边界条件边界条件 恒定电场与静电场有相似的特性，即同样为无旋场，得恒定电场与静电场有相似的特性，即同样为无旋场，得 电子科技大学 3.4.2 焦尔定理焦尔

36、定理 设导体内的电荷密度为设导体内的电荷密度为 ，运动速度为，运动速度为v，则在，则在dt时间内电场时间内电场 力对力对dV体积元中的电荷体积元中的电荷 dV所做的功为所做的功为 dWdVdtdVdtdVdt E VV EJ E 由此得体积元由此得体积元dV中的损耗功率为中的损耗功率为 dPdV J EP J E 功率密度功率密度 电场对电荷做功消耗的功率电场对电荷做功消耗的功率 3.4.3 电阻电阻 在导电媒质中，电流在导电媒质中，电流I从一个电极流向另一个电极，两电极从一个电极流向另一个电极，两电极 间电流间电流I与电压与电压U之比称为电导，即之比称为电导，即 I G U U R I 电子

37、科技大学 0J 恒定电场（源外）恒定电场（源外）静电场（无源区）静电场（无源区） 0D 0 EE0 EE JE DE 2 0 2 0 S dI JS S dq DS 1212 , nntt JJEE 1212 , nntt DDEE 静电静电 E D q C 恒定恒定 E J I G 恒定电场与静电场比拟恒定电场与静电场比拟 电子科技大学 关于恒定电场的进一步说明关于恒定电场的进一步说明 与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静与静电场性质相同，但产生的源不同，分别为运动电荷和静 止电荷，但其密度都不随时间变化止电荷，但其密度都不随时间变化 恒定电场同时存在于导电体外和导电体内，其

38、表面同时有法恒定电场同时存在于导电体外和导电体内，其表面同时有法 向和切向分量，电场不垂直于表面，此时导电体不是等位体向和切向分量，电场不垂直于表面，此时导电体不是等位体 电场矢量在分界面上的折射关系电场矢量在分界面上的折射关系 E2 n 2 2 1 1 E1 1212 tantan 如如 21， 290， 10，电力线近，电力线近 似垂直良导体表面，近似等位体似垂直良导体表面，近似等位体 如介质如介质1为理想介质，为理想介质， 10，J1=0， 导电体一侧中只有切向电流和切向电场导电体一侧中只有切向电流和切向电场 恒定电场问题可利用对应量变换，先恒定电场问题可利用对应量变换，先 变成静电场问

39、题求解，最后再换回来变成静电场问题求解，最后再换回来 由由J 的边界条件可得的边界条件可得 电子科技大学 例例3 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，填充介质，填充介质 0， 具有漏电现象。同轴线外加电源电压为具有漏电现象。同轴线外加电源电压为U，求漏电介，求漏电介 质内的质内的 、E、J和单位长度的漏电电导。和单位长度的漏电电导。 解：内外导体内解：内外导体内E=0，且表面，且表面 是等位面，介质中电位只是是等位面，介质中电位只是r 的函数，满足拉氏方程为的函数，满足拉氏方程为 U z r a b 1 0ln dd rArB r drdr ,0ln ln r ar b

40、Ub U b ar 由由 ln rr dU drrb a Eee 0 2 22 ln U IrJr E b a 0 0 2 ln I G Ub a ln r U rb a JEe 电子科技大学 例例4一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别 为为 1、 1和和 2、 2，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电。求介质面上的自由电 荷密度。荷密度。 U 1 d 2 d 11 , 22 , z O 解：解：极板是理想导体，为等极板是理想导体，为等 位面，电流沿位面，电流沿z方向。方向。 1212nn JJJJJ 由由 12 12 1122 , JJJJ E

41、E 1 1212 121122 1212 dddd UUUE dE dJJU 21nnS DD 由由 12 12 12 , SS DJDJ 下下上上 211221 21 212112 S DDJU dd 介介 电子科技大学 例例5 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a和和b，其间填充电导，其间填充电导 率为率为 的导电介质，求单位长度的绝缘电阻。的导电介质，求单位长度的绝缘电阻。 b a 解：先变成静电场。内外导体间解：先变成静电场。内外导体间 ln 22 bbb ll aaa qqb Udddr ra D Err 211 ln ln2 l qb CR Ub aGa 2 l r

42、q r De 例例6 求半径为求半径为a的金属导体球形接地器的接地电阻。土的金属导体球形接地器的接地电阻。土 壤的电导率为壤的电导率为 。 I a J 解：导体深埋，不考虑地表对接地电阻的影响解：导体深埋，不考虑地表对接地电阻的影响 22 444 rr a III Ud rra JeEeEr 1 4 4 U RGa Ia 电子科技大学 r1 r2 0 I 例例7 在一块厚度为在一块厚度为h的导电板上，由两个半径为的导电板上，由两个半径为r1和和r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0的两半径割出一段环形导电媒质。的两半径割出一段环形导电媒质。 计算沿计算沿 方向的两个电极间的电阻。方向的两个电极

43、间的电阻。 解：设两极板间电压为解：设两极板间电压为U0，则电流沿，则电流沿 方向方向 流动，电位流动，电位 只是变量只是变量 的函数，即有的函数，即有 2 01222 1 0 0 d CC rd 0 0010020 ,0,UCUCU 由由 00 0 00 UU U rr JEee 2 1 002 001 ln r Sr UhUr IdShdr rr J e 00 21 ln U R Ihr r 电子科技大学 3.5 静磁场的矢量磁位及其微分方程静磁场的矢量磁位及其微分方程 3.5.1 静磁场的矢量磁位静磁场的矢量磁位 恒定磁场及其源（恒定电流）不随时间变化，有恒定磁场及其源（恒定电流）不随时

44、间变化，有 00 CS S dd d HlJSHJ BSB BH 2112 2121 0 nnn nSttS BB HHJ 或 或 或 或 eBB eHHJ 静磁场的基本方程静磁场的基本方程 边界条件边界条件 对于理想介质，表面不存在传导电流对于理想介质，表面不存在传导电流 2112 0 ntt HH或或eHH 电子科技大学 式中，式中，A即磁场的矢量磁位，也称为即磁场的矢量磁位，也称为矢量位。矢量位。 0 BBA 矢量磁位的定义矢量磁位的定义 磁场是无源场，可以引入一个矢量来描述磁场，即磁场是无源场，可以引入一个矢量来描述磁场，即 由由 矢量位的任意性矢量位的任意性 与标量位与标量位 一样，

45、矢量位一样，矢量位A也不是唯一确定的，它加上任意也不是唯一确定的，它加上任意 一个标量一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即 AAABAAA设设 对矢量位的限制对矢量位的限制 矢量位矢量位A的任意性是因只规定了其旋度，没有规定其散度造的任意性是因只规定了其旋度，没有规定其散度造 成。为得到确定的成。为得到确定的A，可对，可对A的散度加以限制，即，的散度加以限制，即， 称为库仑条件。另外，还有洛仑兹条件。称为库仑条件。另外，还有洛仑兹条件。 0A 电子科技大学 3.5.2 静磁场的矢量磁位的微分方程静磁场的矢量磁位的微分方程 BJ 2 0 BBAAJAAJ

46、由由 2 0 AAJ令令 2 00 JA在在无无源源区区 泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 3.5.3 静磁场的矢量磁位的表达式静磁场的矢量磁位的表达式 在直角坐标系中，矢量位在直角坐标系中，矢量位A的各分量满足标量泊松方程，即的各分量满足标量泊松方程，即 2 1,2,3 ii AJi 其中其中1, 2, 3分别对应分别对应x, y, z 与静电场标量位与静电场标量位 满足的泊松方程比较，可得满足的泊松方程比较，可得Ai之解，即之解，即 22 14 1 4 iii i ii V V AAJ J JAdV dV r r rr rr 电子科技大学 4 V dV J r A rr 矢矢形形

47、式式的的解解为为：量量 满足满足 0 A 对面电流和细导线电流回路，矢量位对面电流和细导线电流回路，矢量位A的解为的解为 44 S SC Id dS Jrl AA rrrr 面电流：细导线回路：面电流：细导线回路： 用矢量位计算磁通量用矢量位计算磁通量 SSC ddd BSASAl 矢量位的边界条件矢量位的边界条件 2112 21 12 0 11 ntt nS AA 或或eAA eAAJ 电子科技大学 补充内容：矢量位的多极展开补充内容：矢量位的多极展开 在静电场中，体电荷产生的电位可展开为各级电极子电位的在静电场中，体电荷产生的电位可展开为各级电极子电位的 叠加。同样，对体电流产生的矢量位，

48、也可以进行多极展开。叠加。同样，对体电流产生的矢量位，也可以进行多极展开。 0 4 V dV J r A r rr 体电流的矢量位：体电流的矢量位： O r J(r) V r R P l 2 , 1111 2! iij ii j iij rl xx x r P rxx xr rr 当当时时，即即场场点点 距距离离电电流流分分布布区区域域 很很远远，且且电电流流分分布布在在有有限限区区 1 1 域域，有有 012 A rArArAr矢矢量量位位可可以以展展开开为为 式中各项对应各级磁极子。对应磁零极子的第式中各项对应各级磁极子。对应磁零极子的第1项等于零；对应项等于零；对应 磁偶极子的第磁偶极子

49、的第2项等于一个电流环的矢量位。随着项等于一个电流环的矢量位。随着r增加，高阶增加，高阶 项可忽略。项可忽略。r很大时，可将体电流等效成一个电流环。很大时，可将体电流等效成一个电流环。 电子科技大学 例例8 求无限长线电流求无限长线电流I的矢量位和磁场。设电流沿的矢量位和磁场。设电流沿+z方向方向 流动。流动。 解：用静电场标量位比较法求解。解：用静电场标量位比较法求解。由无限长线电荷的电位由无限长线电荷的电位 0 ln10 2 l rCrC 如如取取参参考考点点在在，则则 00 ln 22 z z AII ArCB rr 0 2 l r E r 显显然然与与线线电电的的电电 荷荷场场相相似似

50、 关于矢量位关于矢量位A 的补充说明的补充说明 线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单线电流的矢量位与电流方向一致，求解比较简单 对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂对体分布电流，需要直接从泊松方程求解，其过程比较复杂 引入矢量位引入矢量位A是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能是为了简化求解磁场，但只有对复杂问题才能 显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜显示出其优越性，对于简单问题，还是直接求解磁场为宜 电子科技大学 回路回路C通有电流通有电流I，空间磁场，空间磁场B，且，且BI，则，则B在回路在回路C所围面所围面 积中产生的磁通积中产生的磁通 I，即，即

51、 LILIL 其其中中系系数数 为为自自感感系系，数数或或自自感感。 对于粗导体，自感对于粗导体，自感L内自感内自感Li外自感外自感Lo 内自感内自感 iii LI 其中为穿过导体内其中为穿过导体内，部的磁通部的磁通 外自感外自感 ooo LI 其其中中为为穿穿过过导导体体外外部部，区区域域的的磁磁通通 C I 细回路细回路 i C I o 粗回路粗回路 自感自感 3.6 电感电感 3.6.1 电感的定义电感的定义 电子科技大学 例例3-13 求同轴电缆单位长度的自感。设内导体半径为求同轴电缆单位长度的自感。设内导体半径为 a，外导体厚度可忽略不计，其半径为，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，

52、空气填充。，空气填充。 解：先求内自感。解：先求内自感。 设电缆中的电流为设电缆中的电流为I，由安培环路定律得，由安培环路定律得 a 0 b 22000 22 222 ii IrI Br Jrra rraa 0 2 2 =1 ii dSdr Ir dB dSdr a 穿穿过过沿沿轴轴向向单单位位长长度度的的矩矩形形面面积积元元 的的磁磁通通为为 2 2 3 0 4 2 i iii r dIII a IrI ddddr Ia 与交链的只是电流 的一部分，即与交链的只是电流 的一部分，即 与相应的磁链为与相应的磁链为 电子科技大学 再求外自感。由安培环路定律得内外导体间的磁感应强度为再求外自感。由

53、安培环路定律得内外导体间的磁感应强度为 00 22 oo II Barbddr rr 00 ln 22 b oo a IIb ddr ra 0 ln 2 o o b L Ia 单单位位长长度度的的外外自自感感 00 ln 82 io b LLL a 单单位位长长度度的的自自感感 0 8 i i L I 单单位位长长度度的的内内自自感感 3 00 4 0 28 a ii IrI ddr a 电子科技大学 两个回路两个回路C1和和C2，分别通有电流，分别通有电流I1和和I2，C1在空间产生的磁在空间产生的磁 场场B1，B1在回路在回路C1和和C2所围面积的磁通分别为所围面积的磁通分别为 11 和和

54、 21，即，即 1111111111111 ,L ILILC其中为回路的自感其中为回路的自感 21211212121 2121 1 12 M IM MLCC LI 其其中中即即为为回回路路和和的的互互感感系系数数或或互互感感 121221212122 121221 M IML MLCC I 类类似似地地有有： 其其中中即即为为回回路路和和的的互互感感系系数数或或互互感感 互易性：互易性：M12=M21=M 互感的符号：当互感的符号：当 11 与与 12同方向时，取正，反之取负同方向时，取正，反之取负 互感的特性：与回路几何性质、相对位置和周围介质有关，互感的特性：与回路几何性质、相对位置和周围

55、介质有关， 与电流无关与电流无关 互感互感 电子科技大学 N个回路系统的电感个回路系统的电感 12 1 N iiiiNij j iijjijj MiIj 其其中中：为为 回回路路在在 回回路路上上产产生生的的磁磁通通，即即有有 1122 11 NN iijiiiNNijj jj M IM IMIM I , , , ijij iiii i jjiML jiiML 其其中中：当当, ,即即为为两两回回路路间间的的互互感感 当当, ,即即为为 回回路路的的自自感感 电子科技大学 1 222 01 1 12 211112 4 C SSC Id R ddd l A BSASAl 由由 和和 12 12

56、0112 21 12 012 21 12 4 4 CC CC Idd R dd M R ll ll纽曼纽曼 公式公式 两个回路两个回路C1和和C2，分别通有电流，分别通有电流I1和和I2，周围是空气。，周围是空气。C1在在 空间产生的矢量位为空间产生的矢量位为A1，磁场为，磁场为B1= A1，且，且 C1 C2 R12 I1dl1 I2dl2 2 1 V LdV I A J纽纽曼曼公公式式可可以以用用来来求求粗粗回回路路的的自自感感： 3.6.2 纽曼公式纽曼公式 电子科技大学 电感与感应电动势的关系电感与感应电动势的关系 回路中的磁通发生变化时，由法拉第电磁感应定律，回路中回路中的磁通发生变

57、化时，由法拉第电磁感应定律，回路中 将产生感应电动势。由于磁通与回路的自感或互感成比例，所将产生感应电动势。由于磁通与回路的自感或互感成比例，所 以感应电动势与自感和互感也有关系。以感应电动势与自感和互感也有关系。 对两个回路的情况，回路对两个回路的情况，回路C1和和C2的自感和互感电动势定义为的自感和互感电动势定义为 111 1111111 222 2222222 ddId L IL dtdtdt ddId L IL dtdtdt 122 1212212 211 2121121 ddId L IL dtdtdt ddId L IL dtdtdt 3.7 静磁场能量和磁场力静磁场能量和磁场力

58、3.7.1 电流回路系统的能量电流回路系统的能量 电子科技大学 单个电流回路的能量单个电流回路的能量 d dt 回路回路C中的电流中的电流i由由0变成变成I，dt 时间内时间内i变化变化di，并引起磁通量，并引起磁通量 变化变化d ，从而在回路中出现感应电动势，从而在回路中出现感应电动势 。 由于回路中出现的感应电动势由于回路中出现的感应电动势 将阻止电流将阻止电流i的增加，必须由外的增加，必须由外 电源附加一个反向电压电源附加一个反向电压U= ，保证电流，保证电流i增加。所以，外电源增加。所以，外电源 在在dt 时间内使电流时间内使电流i增加增加di所做的功为所做的功为 ddi dWiUdt

59、i dtidtiLdtiLdi dtdt 电源使电流电源使电流i由由0增加为增加为I所做的功为所做的功为 2 0 1 2 I m WLidiLI 将以磁场能量的方将以磁场能量的方 式储存在回路中式储存在回路中 电子科技大学 两个电流回路的能量两个电流回路的能量 设两个回路设两个回路C1和和C2中的电流中的电流i1和和i2均由其初始值均由其初始值0变成变成I1和和I2。 在此过程中，外电源要对回路系统做功，此功将作为磁场能量在此过程中，外电源要对回路系统做功，此功将作为磁场能量 储存在回路系统中。储存在回路系统中。 首先假定首先假定i2=0，使，使i1由由0 I1。在。在dt 时间内时间内i1改

60、变量为改变量为di1，引起，引起 两个回路中的磁通量两个回路中的磁通量 11和和 21改变改变d 11和和d 21，并在回路中产生，并在回路中产生 感应电动势感应电动势 1和和 2。 由于由于 1会阻止会阻止C1中电流中电流i1的增加，所以须在的增加，所以须在C1上外加电压上外加电压U1= 1。同时，为了使。同时，为了使C2中的电流中的电流i2保持为零，也须在保持为零，也须在C2上外加电上外加电 压压U2= 2。所以，外电源在。所以，外电源在dt 时间内所做的功为时间内所做的功为 111111111222 0 mm dWi U dtidti L didWi U dt 外电源使外电源使i1由由0