人教版九年级数学下册第二十六章《反比例函数》教材分析文字讲义含例题及练习题及答案

1、第二十六章反比例函数教材分析练习及答案一. 本章的地位和作用函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点， 也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。应用反比例函数解决实际问题，尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一.反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的“变化和对应”思想有了深层的理解。 在应用反比例函数解决问题中，增

2、强应用数学知识的意识，体会数形结合、 转化、类比、归纳等数学思想方法。二.本章知识结构：实际问题建立数学模型函 数图 象反比例函数性 质确定函数解析式实际应用三.课程教学目标：1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义， 进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题； 并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式；3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反

3、映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法；四.教学重点与难点：教学重点：反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用 . 教学难点：反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用。五. 课时安排：（总课时约 9 课时）17.1反比例函数约3课时；17.2实际问题与反比例函数约 4课时；数学活动小结约2课时.六.教学建议：本章教学内容主要分为三大部分：第一部分：反比例函数的概念；第二部分：反比例函数的图象及其性质；第三部分：反比例函数的应用.根据这三部分教学内容，提以下几点教学建议：第一部分：反比例函数的概念：1.在引进反比例函数概

4、念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫。2.利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象。3.在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想变化对应.例 1.现有一批物资要自甲城运往乙城，已知甲城、乙城相距800km ，运输汽车的速度为 xkm ，运输的时间为 y 小时，写出运输时间y(小时 )与运输速度xkmhh关系式，并结合这个关系式，分析两个变量的相依关系

5、.800.解：关系式： yx分析：（ 1）当 x 越来越大时， y 越来越小；当 x 越来越小时， y 越来越大；（ 2）当给定一个x 的值时，相应的确定了一个y 的值。因此y 是 x 的函数。函数的形式为： yk (k 0的常数）.x教学中让学生多举几个生活中的类似实例，形成反比例函数概念。4.在抽象出反比例函数的概念之后，要引导学生体会：（1）当常数 k 0 时， xy=k 与 yk两种表达式是等价的，但前者是隐函数形式，xk ( 或 y kx 1作为反比例函数，应表示成显函数的形式：y)。x（2）允许将实例中的自变量x 与函数 y 互换（即 xk , ko ），可根据需要进行选择 .y（

6、3）定义中非零常数 k 及变量 x、 y 已经不再局限于只取正值，而允许取任意非零数值。要让学生弄清楚解析式中各字母的意义，自变量x 的取值范围。例 2. 当 m取什么数时，函数y(m 1) x m 2为反比例函数式？解：函数 y ( m 1) x m 2要为反比例函数式，则m21 ， m1, m10 , m1 m=-1此题是认识反例函数定义的等价形式ykx 1 (k0) ，由这个等价形式可得到m 21 且 m 1 0 ，求出 m=-1. 解决此类问题最容易忽略的就是k 0 条件，教学中要让学生注意。通过教学使学生掌握反比例函数的解析式的形式：（1） yk（ k 0 的常数）x（2） xyk

7、（ k0 的常数）（3） ykx 1 （ k0 的常数）第二部分：反比例函数的图象及其性质；函数的性质蕴涵于概念中， 对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识，教学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通过观察、 分析函数的图象， 自主地对反比例函数的图象及其性质作出直观描述。1.学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。师生互动议论，画出反比例函数图象。2. 利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数与形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征。3. 利用几何画板作出 k

8、 0 和 k 0 时的多个反比例函数图象，数形结合，让学生归纳概括出反比例函数的性质。反比例函数的性质：（1）反比例函数的图象是由两支曲线组成；即：反比例函数的图象是双曲线。（2）当 k 0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 的值随 x值的增大而减小；当k 0 时，两支曲线分别位于第二、四象限，在每一象限内，y 的值随 x 值的增大而增大；yyyy=xxxOxOOy=-x（3）反比例函数图象的两个分支无限接近x 轴和 y 轴，但永远不会与x 轴和 y 轴相交。（ 4）反比例函数的图象是对称图形；反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形； yk (k0)是轴对称图形，其对

9、称轴为y x和 yx 两条直线；x yk (k0)是中心对称图形，对称中心为原点（0， 0）。x yk 和yk 在同一坐标系中的图像关于x 轴、 y 轴成轴对称。xxy（5）反比例函数的几何意义：在反比例函数 yk (k 0) 的图象上任取一点M ，BMxx从几何意义上看，从点M 向两轴作垂线，两垂OA线段与坐标轴所围成的矩形的面积为定值k 。（ 6） k 越大，双曲线越远离原点。利用反比例函数的这些性质可解决一些相关的问题。例 3. 已知反比例函数y(k3) x k 5 的图象分布在二、四象限，求反比例函数的解析式.解：由题意可知：k514 ， 反比例函数的解析式为 y1k3 k。0x例 4

10、. 已知反比例函数 y( m 2)x m2 10 的图象，在每一象限内y 随 x 的增大而减小，求反比例函数的解析式.解：由题意可知:m210 1 m=3，反比例函数的解析式为1m20y。x例 5.P 是反比例函数 yky上一点，若图中阴影部分的xP矩形面积是5，求这个反比例函数的解析式 .解：由反比例函数的几何意义可知：k =5，Oxk反比例函数y的图象位于二、四象限，xk 0,k=-5.这个反比例函数为y5.x4例 6. 已知点 A（ -3 ， a),B(-1,b),C(3,c)都在反比例函数y的图象上，则 a、 b、c 的大xD小关系为（）A. a b cB.c b aC.b c aD.

11、c a b例 7. 反比例函数yk1 的图象经过点A（ -2 ，3），请问经过点A 的正比例函数 yk2 x 的x图象与反比例函数yk1 的图象还有其它交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理xyA（ -2，3）xOB（ 2， -3）由.解：有，因为正、反比例函数的图象均关于原点对称，且点A 在它们的图象上，所以A（ -2 ，3）关于原点的对称点B（ 2， -3 ）也在它们的图象上，所以，它们相交的另一个交点坐标为（2， -3 ）.第三部分：反比例函数的应用1. 确定反比例函数解析式 .由反比例函数的解析式可知：确定反比例函数解析式只需把待定系数k 求出来 . 因此，只需一个独立条件： （1

12、）图象经过的一个点的坐标； （ 2）适合解析式的一对对应值； （ 3）其它间接的条件等；例 8. 如图，已知一次函数 ykx b 的图象与反比例函数 ym的图象交于xA（ -2 ， 1）， B（ 1， n）两点 .y（ 1）求这两个函数解析式；（ 2）求 AOB的面积 .mA解：（ 1）反比例函数的图象经过点A、 B，yxxO 1m , m=-2,B22反比例函数为y；2x n=-2 ， B（ 1， -2 ）；1一次函数ykxb 的图象经过点A、 B，2kb1k1有2解之得：，k bb1一次函数为yx1 .（ 2） AOB的面积为 1。例 9. 已知 y 是 x 的反比例函数，且x=2 时，

13、y=-3.（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；（ 2）当 y=2 时，求 x 的值 .解：（ 1）设反比例函数为 yk (k0)xk把 x=2， y=-3 代入解析式得：3，k=-6,2 y 与 x 的函数关系式为y6.x（ 2）当 y=2 时， x=3.例 10.(07年北京 ) 在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k的图象与 y3y的图象关xx于 x 轴对称，又与直线yax2交于点 A（ m,3） , 试确定 a 的值 .解：依题意得，反比例函数yky3的解析式为。xx因为 点 A（ m， 3）在反比例函数3的图象上，yx所以 33m=-1 。即点 A 的坐标为（ -1， 3）。，解得

14、m因为点 A（ -1， 3）在直线y=ax+2 上，所以3=-1a+2,所以a=-1。2. 实际问题与反比例函数 .在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题， 关键是数学建模。 一般地建立函数模型有两种思路： （ 1）通过问题提供的信息， 知道变量之间有什么函数关系， 在这种情况下， 可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可。（ 2）从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式。实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限

15、制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段， 教学中要重视。 这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的。3例 11. 某水池每小时的注水量Q（ mh ）与注满水池所需的时间图所示 .（1）求蓄水池的蓄水量，并写出Q与 t 的函数关系式；（ 2）若注满水池需用 8h，则它每小时的注水量是多少？（ 3）若需要 4h 内注满水池，则每小时的注水量该如何控制？t （ h）之间的函数关系如3Q( m h )（4）若该水池注水管的注水能力最大为6m3h ，则注满水池至少需要多少时间？3P解：（ 1）由题意知：蓄水量=Qt=3 12=36( m3 ).Q与 t 的函数关系式为： Q36（t 0

16、） .36t4.5(3/ )（2）当 t=8h 时， Q=mh8即 :8h，则它每小时的注若注满水池需用水量是 4.5 m3.hO12t(h)（ 3）当 t=4h 时， Q=36/4=9（ m3 / h ） .即 : 若需要 4h 内注满水池，则每小时的注水量应控制在不低于9 m3.（ 4）当 Q=6m3时， 6= 36 ， t=6h.ht6m36h.即：若该水池注水管的注水能力最大为h ，则注满水池至少需要例 12. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（千帕）是气球体积 V（立方米）的反比例函数，其图象如图.（ 1）写出 p 与 V 的函数关系式；（ 2）当气球内

17、的体积为 0.8 立方米时，气球内的气压是多少？（ 3）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？解：（ 1）由题意知，气球内气体的气压 p（千帕）是气球体积 V（立方米）的反比例函数，根据题意，设p= k .P（千帕）V图象过点A（1.5,64 ）,把 V=1.5,p=64 代入解析式得：k=96. p 与 V 的函数关系式为： p96.V（ 2）当 V=0.8 立方米时， p=120 千帕 .（ 3）解法一：由p=144 千帕，得 V= 962 ，1443气球内的气压大于144 千帕时，气球将爆炸，所以200150 A(1.5,64)100

18、50O0.511.52V （立方米）p144 ,由图象可看出，p 随 V 的增大而减小，2 V32即：当气球的体积 Vp144千帕，立方米时，气球内的气压3气球就不会爆炸。解法二：当气球内的气压大于144 千帕时，气球将爆炸，p 144 ， p 与 V 的函数关系式为： p96. 96V144 ，V962 V144 V.23当气球的体积 Vp144 千帕，气球就立方米时，气球内的气压3不会爆炸。例 13. （ 07 年辽宁）某服装厂承揽一项生产夏凉小衫1600 件的任务，计划用 t （t 4）天完成 .（ 1）写出每天生产夏凉小衫 w（件）与生产时间 t （天）之间的函数关系式；（2）由于气温

19、提前升高，商家与服装厂商议调整计划，决定提前4 天交货，那么服装厂每天要多做多少件夏凉小衫才能完成任务？解：（ 1）根据题意得： wt=1600,w 与 t 之间的函数关系式为：w1600 (t 4) .t（ 2）根据题意有： 160016006400，t 4tt (t4)答：调整计划后，服装厂每天要多做6400件夏凉小衫才能完成任务。t (t4)例 14. 某厂从 2001 年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产不断降低，具体数据如下表：（ 1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数和反比例函数中确定那种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出

20、它的解析式；（2）按照这种变化规律，若2005 年已投入资金5万元.年度2001200220032004 预 计生产成本投入技改资金x （万元）2.5344.5每 件 比产品成本 y （万元）7.264.542004 年降低多少万元？如果打算在 2005 年把每件成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01 万元）解：（ 1）假设 y 与 x 是一次函数关系，设y kx b2.5kb7.2把表中数据：（ 2.5,7.2）、（ 3， 6）代入解析式得：，3kb 6k2.4 y2.4x 13.2 .解之得：，b13.2再把（ 4,4.5 ）代入上式，左边右边， y 与 x

21、 不是一次函数.假设 y 与 x 是反比例函数关系，设 ym，xm把表中数据：（ 3， 6）代入解析式得：6， m=18,183 y.x再把（ 4,4.5 ）代入上式，左边=右边，y 与 x 是反比例函数， y1818；可用 y表示其变化规律 .xx（ 2）当 x=5 万元时， y=3.6 万元， 4-3.6=0.4( 万元 )生产成本每件比2004 年降低 0.4 万元 .当 y=3.2 万元时， x=5.625 万元， 5.625-5=0.625 0.63 （万元）还需投入 0.63 万元。3. 反比例函数与其它知识的综合应用.在综合应用问题中 , 关注题意的分析过程，培养学生阅读、审题能

22、力.在整个解决问题中，重视数形结合的数学思想方法研究问题，重视函数图象的重要作用,利用数与形的相互转化寻找解题的思路。例 15. 如图，已知反比例函数yk (k0)的图象经过点 A(3, m) ，过点 A 作 AB x 轴xy于点 B，且 AOB的面积为3 .（1）求 k 和 m的值；A（2）若一次函数y=ax+1 的图象经过点A，Cx并且与 x 轴相交于点 C，B O求 ABC的面积 .解：（ 1）由题意知： AOB的面积为3 ，由反比例函数的几何意义得：k23 ， k 0, k23 .反比例函数为y23，x反比例函数图象经过点A (3, m) ，23， m=2. m3（ 2）一次函数 y=

23、ax+1 的图象经过点A( 3,2) ， 23a 1, a3，3 y31 ，交 x 轴于点 C(3,0) ，x32 3，AB=2，S ABC1BC AB1BC=2232 23.2例 16.（ 2008年，浙江义乌）已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（33,3 ），点 B 的坐标为（6，0）.（ 1）若三角形OAB 关于 y 轴的轴对称图形是三角形 O A B ，请直接写出 A、 B 的对称点 A 、B 的坐标；（ 2）若将三角形 OAB 沿 x 轴向右平移 a 个单位，此时点 A 恰好落在反比例函数 y6 3 的图象上，x求 a 的值；（ 3）若三角形 OAB 绕点

24、 O 按逆时针方向旋转度（ 090）.当 = 30o 时点 B 恰好落在反比例函数 yk 的图象上，求 k 的值x问点 A、 B 能否同时落在中的反比例函数的图象上，若能，求出的值；若不能，请说明理由 .解：（1） A (33,3), B (6,0)，（ 2） 点A( 3 3,3)，63y3 3x x 2 3 , a 5 3 .（3） 300相应 B 点的坐标是( 3 3,3) ， . k9 3 .能 .93中的反比例函数为 yx当600 时，相应 A , B 点的坐标分别是 ( 3 3, 3),(3, 3 3)，当600 时，相应 A , B 两点落在反比例函数上。七 . 参考练习：（一）选

25、择题：（1) 下列函数中，是反比例函数的是（）A. x( y 1)1B.1C.1D.1y1y2yxx3x（2）已知反比例函数的图象经过点（a,b ），则它的图象一定也经过点（）A. （ -a,-b ）B.(a,-b)C.(-a,b)D.(0,0)（3）如果反比例函数yk）的图象经过点（ -3， -4），那么函数的图象应在（xA. 第一、三象限B. 第一、二象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限（4）若 y 与 -3x 成反比例， x 与 4 成正比例，则y 是 z 的（）zA. 正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定（5）若反比例函数y( 2m 1) xm22 的图象在第二、四象限

26、，则m 的值是（）A. -1或 1B. 小于1 的任意实数C.-1D.不能确定2（6）函数 y=x+m 与 ym (m 0)在同一坐标系内的图象大致位置是（）xyyyyOxOxOxOxy（7）如图，设 P 是函数 y4P在第一象限的图象上任意一点，xOx点 P 关于原点的对称点为P ，过 P 作 PA平行于 y 轴，P过 P 作 P A 平行于 x 轴， PA与 P A 交于 A 点，则 PAPA的面积为（）（ 7）题A.2B.4 C.8D.随 P 点的变化而变化（ 8）若 A(-3,y1 ) ,B (2, y2 ) ,C（1, y3 ) 三点都在函数 y1的图象上， 则 y1 , y2 ,

27、y3 的x大小关系是（）A. y1y2y3B.y1y2y3C.y1 y3y2D.y1y2y3（9）已知点 A（ -3 ， a),B(-1,b),C(3,c)都在反比例函数y4a、 b、c 的大的图象上，则x小关系为（）A. a b cB.c b aC.b c aD.c a b(10)(08 年，山东济南 ) 如图：等腰直角三角形ABC位于第一象限， AB=AC=2，直角顶点 A 在直 y=x 上，其中 A 点的横坐标为1，且两条直角边AB、 AC分别平行于 x 轴、y 轴，若双曲线yk( k0)xyC与 ABC 有交点，则 k 的取值范围是（）A 1 k 2B 1 k 3ABC 1 k 4D

28、1 k 4（二）填空题：O1x（1）写出下列各反比例函数中的k 值：第 10题图 y51时， k=_； y2时， k=_； y3x时， k=_；xx（2）收音机刻度盘的波长l 和频率 f 分别是用米（ m）和千赫兹（ kHz ）为单位标刻的，波长 l 和频率 f 满足关系式300000f，这说明波长 l 越大，频率 f 就越_.l（3）正比例函数 y=2x 与反比例函数 y82， 4），则它必有另一个交的图象有一个交点（x点_.（4）已知一次函数y=2x-5 的图象与反比例函数yk ( k0) 的图象交于第四象限内一点xP（ a,-3a ）, 则这个反比例函数的解析式为 _.（5）已知点 A（

29、 x1, y1 ) ，B( x2 , y2 ) ，都在反比例函数 y2m30 x2x的图象上，且当 x1时，有 y1y2 ，则 m的取值范围是 _.（6）若反比例函数yk (k0) 的函数值 y 在 x=1 处时，当自变量x 增大 2，函数值 y 相x应减小2 ，则 k=_.3m1（7）已知反比例函数m的取值范围是 _.y的图象在第一、三象限，则x（8）（ 2008 年，甘肃兰州）如图12，已知双曲线yk（ x0 ）经过矩形 OABC 的边 AB， BC 的中EyCBx点 F， E ，且四边形 OEBF 的面积为 2，则 kFOx(8) 题A（三）解答题：1已知正比例函数ykx 的图象与反比例函数5k）的图象有一y（ k 为常数， k 0x个交点的横坐标是2（1）求两个函数图象的交点坐标；（2）若点 A(x ， y ) ， B( x ， y ) 是反比例函数5 kxx ，试比y图象上的两点，且1122x12较 y1，