八级数学上册 第2章 三角形 2.3 等腰三角形第1课时 等腰（边）三角形的性质教学课件（新版）湘教版

1、2.3 等腰三角形 第2章 三角形 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第1课时 等腰（边）三角形的性质 1.理解并掌握等腰三角形、等边三角形的性质； （重点） 2.能运用等腰（边）三角形的性质进行有关的证明 和计算.（重点、难点） 学习目标 导入新课导入新课 情境引入 思考：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁 上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角 板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底 边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰腰腰腰 底边底边

2、顶角顶角 底角底角底角底角 讲授新课讲授新课 等腰三角形的性质一 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去 阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形 展开，得到的三角形ABC有什么特点？ 互动探究 A A B B C C AB=ACAB=AC 等腰三角形等腰三角形 折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴 是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出 其中重合的线段和角. 重合的线段重合的角 A C B D AB与与AC BD与与CD AD与与AD B 与与C. BAD 与与CAD ADB 与与ADC 等腰三角形是轴

3、对称图形. 猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性 质吗？ 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分 线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(“等边对等角”). 总结归纳 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分 线重合(简称为“三线合一”). 画出任意一个等腰三角 形的底角平分线、这个 底角所对的腰上的中线 和高，看看它们是否重 合？ A BC D E F A B C D 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的

4、角平分线、中线和高互相重合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （X） （X） （X） （X） （） （） A BCD ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形性质定理完成下列填空. 在ABC中， AB=AC时， （1）_ = _，_= _. (2) AD是中线， _ ，_ =_. (3) AD是角平分线， _ _ ，_ =_. 1 2 2BDCD ADBC BD 1 BCADCD 1.等腰三角形的顶角一定是锐角. 2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以. 3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边. 5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重

5、合. 6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. X X X X 判一判 例1 已知：如图，在ABC中，AB=AC，点D，E在 边BC 上，且AD=AE.求证：BD=CE. 证明 ： 作AFBC，垂足为点F， 则AF是等腰ABC和等腰ADE底 边上的高，也是底边上的中线. BF=CF， BF-DF=CF-EF， DF=EF， 即 BD=CE. F 典例精析 方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一 些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边 上的中线是常见的辅助线 （2）设A=x,请把 ABC的内角和用含 x的式子表示出来. A BC D x 2x 2x 2x 例2 如图，在AB

6、C中 ，AB=AC，点D在AC上， 且BD=BC=AD，求ABC各角的度数. 解析：（1）观察BDC与A、ABD的关系， ABC、C呢？ BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD, ABC= C= BDC=2 A, C= BDC=2 A. A+ ABC+ C=180 , x+2x+2x=180 , A BC D 解：AB=AC，BD=BC=AD， ABC=C=BDC， A=ABD. 设A=x,则BDC= A+ ABD=2x, 从而ABC= C= BDC=2x, 于是在ABC中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180 ， 解得 x=36 ， 在ABC中， A=36，ABC=C=72. x

7、2x 2x 2x 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得 到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可 考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x. 【变式题】如图，在ABC中，AB=AD=DC， BAD=26，求B和C的度数. 解：AB=AD=DC， B= ADB，C= DAC. 设 C=x，则 DAC=x， B= ADB= C+ DAC=2x. 在ABC中， 根据三角形内角和定理得 2x+x+26+x=180， 解得x=38.5. C= x=38.5， B=2x=77. 例3 等腰三角形的一个内角是50，求这个三角形的 底角的度数. 解：当50的角是底角

8、时，三角形的底角就是50； 当50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的 内角和定理易得底角是65. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内 角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情 况讨论 等边三角形的性质二 类比探究 A B C A B C 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC B=C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC B=C AC=BC A=B A=B=C=60 内角和为 180 性质： 等边三角形的三个内角相等，且都等于60. 已知：AB=AC=BC ， 求证：A= B=C= 60. 证明： AB=AC. B=C .( 同理 A=C

9、 . A=B=C. A+B+C=180, A= B= C=60 . A B C A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边 三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平 分线都“三线合一”. 顶角的平分线、 底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 例5 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC 延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE， 求CED的度数 解：ABC是等边三角形， ABCACB60. ABE40， EBCABCABE604020. BEDE， DEBC20， CEDACBD40. 方法总结：

10、等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是 60，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结 合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质. 当堂练习当堂练习 2.如图，在ABC中，AB=AC，过点A作ADBC， 若1=70，则BAC的大小为（） A40 B30 C70 D50 A 1.等腰三角形有一个角是90，则另两个角的度数分别 是 （） A30，60 B45，45 C45，90 D20，70 B 3.如图，lm，等边ABC的顶点B在直线m上，边 BC与直线m所夹锐角为20，则的度数为（） A60 B45 C40 D30 C 4.(1)等腰三角形一个底角为为75, ,它的另外两个角为

11、_ _； (2)等腰三角形一个角为36, ,它的另外两个角为 _； (3)等腰三角形一个角为120, ,它的另外两个角为 . . 75, 30 72,72或或36,108 30，30 5.如图，在ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， B = 30，求 BAD 和 ADC的度数. A B C D 解：AB=AC，D是BC边上的中点， C= B=30， BAD = DAC，ADC = 90. BAC =180 - 30-30 = 120. 1 2 BADBAC= 60. 6. 如图，点P为等边ABC的边BC上一点，且 APD= 80，AD=AP，求DPC的度数. 解：ABC是等边三角形， C=60. AD=AP, APD=ADP=80， DPC =ADP-C=20. 7.如图，已知ABC为等腰三角形，ABAC，BD、CE 为底角的平分线，且DBCF，求证：ECDF. DBCECB. DBCF，ECBF， ECDF. 证明：AB