高三数学第一学期期末考试卷

1、高三数学第一学期期末考试卷一、填空题（本大题共12 小题，每小题4 分，满分 48 分）1 arccos(21 )。2函数 ylg(1x 2 ) 的定义域为。3不等式 1x1 的解为。4已知 cos54 ,( , 32 ) ，则 cos 2。5计算： ( 11ii )100。6函数 f (x) 2 xb 的反函数经过点（2， 3），则 b=。7数列 a n 中，若 a1=1， an-1 an=n（ n 2），则 a4 =。8 （理）在极坐标系中， O是极点， A ( 2, 58) ， B ( 2, 38（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为) 则 AOB的形状为。天。工序abcdef紧前工

2、序-abccd,e工时数 ( 天 )2245439 有 4 条线段，长度分别为3、 5、7、 8，从这 4 条线段中任取 3 条，则所取3 条线段能构成三角形的概率是。10在 Rt ABC中，B4 ， cos A 53 ，则边 c 长为。11方程 sin x41 x 的解的个数是。12有穷数列 a n ，Sn 为其前 n 项和，定义 TnS1 S2 S3Sn为数列 a n 的“凯森和” ，n如果有 99 项的数列 a1、 a2、 a3、 a99 的“凯森和”为1000，则有 100 项的数列1 、a1、 a2、 a3、 a4 、 a99 的“凯森和” T100 =。二、选择题（本大题共4 题，

3、每小题4，满分共16 分）13“ ( A C )( BC ) ”是“ AB ”的（）（ A）充分非必要条件；（ B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（ D）既非充分又非必要条件。14复数 z1=2+i ， z2=1-i ，则 z1 z2 在复平面内的对应点位于（）（ A）第一象限；（ B）第二象限；（ C）第三象限；15函数 y sin( x（ A）2,4（ B）3,6（ C）4,4（ D）,544（ D）第四象限；) 的部分图象如图，则、可以取的一组值是（）；Y；O123X；16已知：命题p：函数命题 q：函数ylog0.5(x22x a) 的值域为；Ry(52a) x 是减函数；若 p

4、或 q 为真命题， p 且 q 为假命题，则实数a 的取值范围为（）（ A） a 1；（ B） a2；（ C） 1 a 2；（ D） a1 或 a2 。三、解答题（本大题共4 小题，满分86 分）17（本题满分12 分）关于x 的方程 x2(2i)x 1 mi0 (mR)有一实根为n，设复数z( 2m i ) ( 1 2 n i ) ，求 m、n 的值及复数z 的值。解：18（本题满分12 分）已知集合 A x | log 1| x3| log 16 ， B y | y sin x3 cosx, x ( 0, 2 ) ，22求 AB解：19（本题满分14 分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面

5、的问题：已知 a1, a2证明：构造函数f (x)2x 2因为对一切xR ， a1 a2 f ( x) (x 2(a1 a2 )x R，恒有 f ( x)1，求证 a12a2221 ，a1 ) 2( xa2 ) 2a12a2 22x 22x a12a2 2 0，所以48(a12a22 ) 0,从而得 a12a2221 ，（ 1）若 a1 ,a2 , an R ， a1 a2an 1 ，请写出上述结论的推广式；（ 2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。解：20（本题满分14 分）现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35 海里 / 小时，上海至青岛的航行距离约为

6、500 海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6 ），其余费用每小时 960 元。（ 1）把全程运输 y（元）表示为速度x（海里 / 小时）的函数；（ 2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：21（本题满分16 分）已知在数列 an 中， a1 1 ， a2n qa2 n 1 ， a2n 1 a2nd ( q 、 d R , q 0) 。（ 1）若 q =2， d =-1 ，求 a3 、 a4 ，并猜测 a2006 ；（ 2） 理 若 a2n 1 是等比数列，且 a2 n 是等比数列，求q 、 d 满足的条件；文

7、q 1，若 a2n 1 是等比数列，且 a2n 是等比数列，求 q 、 d 满足的条件；（ 3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第n 次运动的位移是 an ，质点到达点 Pn 。设点 P 4n 的横坐标为 x4 n ，若 d =0，若 lim x4n32 ，n求 q 。解：22（本题满分18 分）已知函数 f1 ( x)f ( x) ， f2 (x) f11( x) ， fn 1 (x)f n1( x), n为奇数；f1 fn (x - 1) , n为偶数。（1）若函数 f1( x)x ，求函数 f3 ( x) 、 f4 ( x) 的解析式；（ 2） 理 若函

8、数 f1 ( x)log 2 ( x) , x1, a ，函数 yf3 ( x)f 4 ( x) 的定义域是 1,2，求 a 的值；文 若函数 f1 ( x)log 2 ( x) , x1, a ，求函数 f 4 ( x) 的定义域；（3）设 f (x) 是定义在 R 上的周期为4 的奇函数，且函数 f ( x) 的图像关于直线 xa对称。当 x 0, 1 时， f ( x)x ，求正数 a 的最小值及函数 f (x) 在 -2,2上的解析式。解：高三数学第一学期期末考试卷解答一、填空题（本大题共12 小题，每小题4 分，满分 48 分）1 arccos(1 )2/3。22函数 ylg(1x

9、2 ) 的定义域为(-1,1)。3不等式 11 的解为x 0 或 x 1。x4已知 cos54 ,(3) ，则 cos 210。, 2105计算： ( 11ii )1001。6函数 f (x) 2 xb 的反函数经过点（ 2， 3），则 b= -6。7数列 a 中，若 a =1， aa =n（ n 2），则 a = 8/3。n1n-1n48 （理）在极坐标系中， O是极点， A (2, 58 ) ， B ( 2, 38角三角形。) 则 AOB的形状为等腰直（文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为16天。工序abcdef紧前工序-abccd,e工时数 ( 天 )2245439 有 4 条线段，

10、长度分别为3、5、7、 8，从这 4 条线段中任取 3 条，则所取3 条线段能构成三角形的概率是3/4。10在 Rt ABC中，B4 ， cos A32。5 ，则边 c 长为411方程 sin x41 x 的解的个数是7。12有穷数列 a ，S 为其前 n 项和，定义 TnS1S2 S3Sn为数列 an 的“凯森和” ，nnn如果有 99 项的数列 a 、 a 、 a 、 a 的“凯森和”为1000，则有 100 项的数列123991 、a1、 a2、 a3、 a4 、 a99 的“凯森和” T100 =991。二、选择题（本大题共4 题，每小题 4，满分共 16分）13“ ( A C )(

11、BC ) ”是“ AB ”的（ B）（ A）充分非必要条件；（ B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（ D）既非充分又非必要条件。14复数 z1=2+i ， z2=1-i ，则 z1 z2 在复平面内的对应点位于（ D）（ A）第一象限；（ B）第二象限；（ C）第三象限；（ D）第四象限；15函数 y sin(x) 的部分图象如图，则、 可以取的一组值是（ C）（ A）2,4；（ B）3,6；（ C）4,4；（ D）4,54；16已知：命题p：函数 y命题 q：函数 yYO12log 0.5 ( x22xa) 的值域为 R；(52a) x 是减函数；3X若 p 或 q 为真命题， p 且

12、q 为假命题，则实数a 的取值范围为（ A） a 1；（ B） a 2；（ C） 1a 2；三、解答题（本大题共4 小题，满分86 分）（ C）（ D） a 1 或 a2 。17（本题满分 12 分）关于 x 的方程 2(2)x1mi0()ximR 有一实根为 n，设复数z ( 2m i ) (12ni ) ，求 m、 n 的值及复数 z 的值。解：实数 n 是方程 x2(2 i)x1 mi0 (m R) 的一个根， n2(2i)n 1mi0 (mR) , (4)(n1) 2(mn)i0， n=1， m=1, (8 )| z | ( 2mi)(12ni ) | | (2i)(12i) | |

13、2i |12i |55 5 . (12 )18（本题满分12 分）已知集合 A求 A B x | log 1 | x3 | log 1 6 ， B y | ysin x3 cosx, x( 0, 2 ) ，22解：由 | log 1 | x2ysin x 0 x 2 , AB =3 |log 12 6 ，得 | x3 cosx2 sin(x 3 x+ 3 56 ,6 , 2 (1,2=(1,3 |6 , (2) 解得 A(, 6 )( 2 ,) , (4)3 ) , (6) B =(1,2 (10),2 (12)19（本题满分 14 分）先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知 a1,a

14、2R ，a1a21，求证 a2a21 ，122证明：构造函数f ( x)(xa1 ) 2( xa2 ) 2f (x)2x22(a1a)xa2a22x 22xa2a221212因为对一切 xR，恒有 f ( x) 0，所以48(a12a22 ) 0,从而得 a12a2221 ，（ 1）若 a1 ,a2 , anR ， a1a2an1 ，请写出上述结论的推广式；（ 2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。解：（ 1）若 a1 ,a2 , anR ， a1a2an1，求证： a12a22an2n1 (4)（ 2）证明：构造函数f (x)( xa1 ) 2( xa2 )2( xan ) 2(6)nx

15、 22(a a2a) x a2a2a2(9 )1n12nnx 22xa12a22an2(11)因为对一切 xR，都有 f ( x) 0，所以 = 44n( a2a2a2 ) 0,12n从而证得： a12a22an2n1. (14)20（本题满分 14 分）现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35 海里 / 小时，上海至青岛的航行距离约为500 海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6 ），其余费用每小时960 元。（ 1）把全程运输y（元）表示为速度x（海里 / 小时）的函数；（ 2）为了使全程运

16、输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：设每小时燃料费用为m元，则 m=0.6 x2 (0 x 35) (2)由题意，全程所用的时间为500 小时，所以xy0.6x2500960500300( x1600) ， x(0,35(4)xxx故所求的函数为y300(x1600x ) ，x(0,35(6)（ 2）以下讨论函数y300(x1600x) ， x(0,35的单调性：设 0 x1 x2 35, (7)f (x1 ) f ( x2 )300(x11600300(x21600x1x2(10)x1)x2 ) 300x1 x2 ( x1 x2 1600)0 x1 x2 35， x1-x 20， x1x2

17、 0，x1 x2 1225x1x2-1600 0， f (x1 )f ( x2 ) 0f ( x1 )f ( x2 ) (12)函数 y300( x1600x ) ， x(0,35是减函数，故当轮船速度为35 海里 / 小时时，所需成本最小 .(14)注：未经证明，直接说函数y300( x1600x) ， x(0,35是减函数而得出结论, 扣 2 分 .21（本题满分 16 分）已知在数列 an 中， a11 ， a2nqa2 n1 ， a2n 1a2nd ( q 、 d R ,q0) 。（ 1）若 q =2， d =-1 ，求 a3 、 a4 ，并猜测 a2006 ；（ 2） 理 若 a2n

18、1 是等比数列，且 a2 n 是等比数列，求q 、 d 满足的条件；文 q1，若 a2n 1 是等比数列，且 a2n 是等比数列，求q 、 d 满足的条件；（ 3）一个质点从原点出发，依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，第n 次运动的位移是an ，质点到达点 Pn 。设点 P 4n 的横坐标为 x4 n ，若 d =0，若 lim x4n32 ，n求 q 。解：（ 1） a11, a22, a3a211,a42a32 ， (2)猜测 :a20062 .(4)（ 2）（理）由a2nqa 2n1 ， a2 n1a2 nd得 a2 n 1qa 2n1d ，当 d0时， a2n 1qa2 n

19、1 ，显然 a2n1 是等比数列，当 d0时，因为 a11 ，只有 a2 n 11 时， a2 n 1 才是等比数列 a2 n 1qa2n 1dq d 1，即 d0, q 0 ，或 q d 1 (6 )由 a2 nqa2 n 1 ， a2n1a2nd得 a2nqa 2n2qd (n 2),当 q1时， a2na2n2d (n 2) ，显然 a2 n 是等差数列，当 q1时， a2qa1q ，只有 a2 nq 时， a2 n 才是等差数列，a2 n 2q(a2 nd )q d1 ，即 q1，或 q d 1 (8 )综上， q 、 d 满足的条件是 qd1 (10)（文） a2n 1 是等比数列，

20、 a2n1qa2 n 1d ， d0, q0 ，或 qd1 (6) a2 n 是等差数列， a2n 2q(a2nd ) ， qd1(8) q 、 d 满足的条件是qd1 (10 )（ 3） a2n 1qa2 n1 ， a2 n 1q n1(12) x4a1a31q, x81 q q 2q 3 , , x4n1qq 2q 3q 2 n2q 2 n 1 .(14) lim x4n11q32 ， q21(16)n22（本题满分 18 分）已知函数 f1 ( x)f ( x) ， f 2 (x)f 11 (x) ， f n1 ( x)fn1( x), n为奇数；f1 f n (x -1) , n为偶数

21、。（1）若函数 f1( x)x ，求函数 f3 ( x) 、 f4 ( x) 的解析式；（ 2） 理 若函数 f1 ( x)log 2 ( x) , x1, a ，函数 yf3 ( x)f 4 ( x) 的定义域是 1,2，求 a 的值；文 若函数 f1 ( x)log 2 ( x) , x1, a ，求函数 f 4 ( x) 的定义域；（3）设 f (x) 是定义在 R 上的周期为4 的奇函数，且函数f ( x) 的图像关于直线 xa对称。当 x 0, 1时， f ( x)x ，求正数 a 的最小值及函数f (x) 在 -2,2上的解析式。解：（ 1）f1 ( x)x, x0,) ， (1)f 2 ( x)f 11 ( x)x 2 , x 0,) ； (2)f3()f1f 2(x1)f1(x1) 2 x1,x1,)； (4 )xf4()f 31 ()x1,x0,). (6)xx（ 2）（理） f1 ( x)log 2 x, x1,a ， f 2 ( x)f11 ( x)2 x , x0, log 2 a ,(7)f 3 ( x)f1 f 2 ( x1)log 2 (2x1 )x1, x1, 1log