高三数学第一次调研考试3

1、高三数学第一次调研考试数学试卷答案评分标准讲评设想A 必做题部分一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70分1 已知集合 A=1 ，2， 3 ，集合 B=2 ， 3， 4 ，则 A B=答案： 1 ，2， 3， 4 2 已知复数 z 满足 (1i) z 1 i ，则 z答案：i 3 函数 y12sin( x) 的最小正周期 T=23答案：44 双曲线 x2y21的渐近线方程为916频率答案： y4组距x0.01630.0125 为了了解初中生的身体素质，某地区随机抽取了n 名学生进行跳绳测试，根据所得数据画样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右第一小组的频数是100，则 n0.0

2、080.004次数05075 100 125 150（第 5 题）答案： 10006 袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是开始1 s 1， i 3答案：97 运行如图所示的程序，则输出结果为否s 10000答案： 13输出 i是8 数列 an 中， a1=2，a2=1， 211(n2， n N)，ssia nan1an1结束则其通项公式为 an=i i+2答案： 2 （第 7 题）n9 在 ABC 中，若 sin A:sin B :sin C5:7:8，则B答案： 310已知 PA，PB ，PC 两两互相垂直， 且 PAB、 PAC、 PBC 的面积

3、分别为1.5cm2 ，2cm2，6cm2，则过 P，A，B，C 四点的外接球的表面积为cm2 （注S球4r 2 ，其中 r 为球半径）答案： 26讲评建议： 当三线互相垂直时，联想构造长方体长方体的对角线即为外接球的直径11若不等式xx 1a 0 在 1，2上恒成立，则a 的取值范围为42答案： a 0讲评建议： a4x2x1在 1xx 1) min=( (2x2)min =0， 2上恒成立， a( 421) 1x2y2uuuruuuur12设椭圆2b21(a b0)的两个焦点分别为F1 ， F2 ，点 P在椭圆上，且PF1PF20 ，atan PF1 F22，则该椭圆的离心率等于答案：5 3

4、讲评建议： 设 PF 1=m，则 PF2=2 m， 2c=PF12PF225m ， 2a=3 m， e2c 2a13给定 anlog ( n1) ( n2)（ n Nx），定义乘积 a1a2 Lak为整数的 k（ kN x）叫做“理想数” ，则区间 1， xx 内的所有理想数的和为答案： 2026讲评建议： 换底公式： log a Nlog bNaklg( k2)m，mN xk 分 a1a2 L为整数， k2 2log b alg 2别可取 222,232,242,L，最大值m2 xx ，m 最大可取 10，故和为 22+23+ +210- 18=20262uuuruuuruuur0 ，则 O

5、AB 与 OBC 的面积之比为14已知点 O 在 ABC 内部，且有 OA2OB4OC 答案： 4 1Cuuuuruuuruuuuruuuruuuruuur讲评建议： 如图，作向量 OC4OC ， OB2OB ， OAOA 则CA11111S OBCS AOB S OBC8S OB CS OB AS OB AO4884BAB二、解答题：本大题共6 小题，共90 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤C1NA1B115（本小题满分12 分）如图，直三棱柱ABC- A1B1C1 中， ACB=90，M ， N 分别为 A1B，B1C1 的中点（ 1）求证 BC平面 MNB 1；（ 2）求证平

6、面 A1CB平面 ACC1A1答案：（ 1）因 BC B1C1， 2 分且 B C1平面 MNB ，4 分11BC平面 MNB 1 ，故 BC平面 MNB 16 分（ 2）因 BC AC，且 ABC - A1B1C1 为直三棱柱，8 分故 BC平面 ACC1A1因 BC平面 A CB， 10 分1故平面 A CB 平面 ACC A 12 分111讲评建议： 必修 2 中的立几初步，必须控制难度，注重答题规范16（本小题满分12 分）已知向量 a(1 tan x,1) ， b(1 sin 2 xcos2x,0) ，记 f (x) a b （ 1）求 f(x)的解析式并指出它的定义域；（ 2）若

7、f (2(0,f ( ) )，且) ，求852答案：（ 1） a(1 tan x,1),b(1sin 2 xcos2 x,0) ， f (x)a b(1tan x)(1sin 2xcos 2x)2 分cos xsin x(2cos 2x2sin xcos x)2(cos2 xsin 2 x) 2cos2 x 4 分cos x定义域为x x kk Z 6 分,2（ 2）因 f (22)2cos(2)，即 cos(2) 0，845410故 272 9 分为锐角，于是 sin(2)1044 f () = 2cos22cos(2)442cos(22sin(28 12 分)cos4)sin=5444讲评

8、建议： 第（ 1）问中，必须注意tan x 中 x 的条件限制第（ 2）中，学生常会将“2cos(2) ”展开，并结合2cos 22sin 21 ，求解方程组，104求 cos2的值但三角恒等变换中，“三变”应加强必要的训练17（本小题满分 15 分）已知表中的对数值有且只有两个是错误的x1.53567891427lgx3a- b+c2a- ba+c1+ a- b- c2(a+c)3(1- a- c）2(2a- b) 1- a+2b 3(2a- b)（ 1）假设上表中lg3=2 a- b 与 lg5= a+c 都是正确的，试判断lg6=1+ a- b- c 是否正确？给出判断过程；（ 2）试将

9、两个错误的对数值均指出来并加以改正（不要求证明）答案：（ 1）由 lg5= a+c，得 lg2=1 - a- c3 分 lg6=lg2+lg3=1 - a- c+2a- b=1+ a- b- c，6分满足表中数值， 也就是 lg6 在假设下是正确的7分（ 2） lg1.5 是错误的，9 分正确值应为 3a- b+c- 111 分lg7 是错误的，13分正确值应为 2b+c15分讲评建议： 变题：第（ 1）小题直接换为： “求证 lg3 的对数值是正确的” ，该怎样证明？（反证法，即先假设 lg3=2a- b 是错误的，然后推出 lg9， lg27 均是错误的即可）注意表中的数据，lg5 与 l

10、g7 至少有一个错误的本题旨在考查数据处理、推理与证明的能力，考查对数的运算。问题背景新颖，具有公平性，体现新课标的理念，体现创新性18（本小题满分15 分）设函数f ( x)( x1)22k ln x （ 1）当 k=2 时，求函数 f( x)的增区间；（ 2）当 k 0 时，求函数 g(x)= f ( x) 在区间（ 0， 2上的最小值答案： 18解：（ 1） k=2 ， f (x)( x 1)24ln x 则 f ( x) = 2x24 3 分x2 (x1)(x2) 0，（此处用“”同样给分）5 分x注意到 x0，故 x1，于是函数的增区间为(1,) （写为 1,) 同样给分） 7 分（

11、 ）当 时，g(x)= f ( x) = 2x2kk 4k 2 ， 9分2k 02g(x)= 2( x) 2xx当且仅当 x=k 时，上述“”中取“ =”若k (0,2 ，即当 k 4,0)时，函数 g(x)在区间 (0,2 上的最小值为4 k 2 ； 11 分若 k - 4，则 g ( x) 2(1k) 在(0,2 上为负恒成立，x2故 g(x) 在区间 (0,2 上为减函数，于是 g(x)在区间 (0,2 上的最小值为g(2)=6 - k 13 分综上所述，当k 4,0) 时，函数 g(x)在区间 (0,2 上的最小值为 4 k 2；当 k - 4 时，函数 g(x)在区间 (0,2上的最

12、小值为 6- k 15 分讲评建议： 本题涉及对数函数的导数，引导师生重视诸如对数函数、三角函数等导数的运算基本不等式的使用必须注意对取“=”条件的验证分类讨论，必须要有分有合，也就是最后必须合19（本小题满分 18 分）x2 y10 0,在平面区域x2 y6 0, 内有一个yy2xy7 0圆，向该区域内随机投点，将点落在圆x- 2y+10=0BMMP内的概率最大时的圆记为2x- y- 7=0A（ 1）试求出 M 的方程；O（ 2）设过点 P（ 0，3）作 M 的两条切xCxOD线，切点分别记为A， B；又过 Px+2y- 6=0N作 N： x2+y2- 4x+y+4=0 的两条（图 1）（图

13、 2）切线，切点分别记为C，D 试确（第 19 题）定 的值，使 AB CD答案：（ 1）设 M 的方程为 (x- a)2+(y- b)2=r 2(r 0)，则点 (a， b)在所给区域的内部 2 分a2b105r ,a2b68 分于是有5r ,2ab7r .5（未能去掉绝对值，每个给2 分）解得a=3，b=4 ，r =5 ，所求方程为 (x- 3)2+(y- 4)2=510 分（ 2）当且仅当 PM PN 时， AB CD14 分1 3因 kPM23 ，解得=6 18 分3，故 kPN2当 =6 时， P 点在圆 N 外，故=6 即为所求的满足条件的解（本验证，不写，不扣分）讲评建议： 为了

14、减少计算量，本题中的三直线，两条互相垂直，两条关于水平直线对称因而也可以通过求角平分线的交点而得出圆心事实上，一条水平线为y=4，两条互相垂直直线的角平分线所在直线的斜率为 tan(3(tan2) ，直线方程为 y3x 13 ，两直线交于点)4（ 3， 4），即为圆心，后利用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径本题中涉及线性规划，几何概型等考点，但仅是给出它们的背景，不要深入挖掘将知识点有机组合而成的综合问题，是命题的一种趋势本题中的两处关于评分的说明，须正确的对待20（本小题满分 18 分）已知数列 an 满足 a12 ， an12(11 )2 an ， n Nxn（ 1）求数列 an 的通

15、项公式；n（ 2）设 bnan ，求bi ；ni1（ 3）设 cn ，求证nci17 nani 124答案：（ 1）由已知，得an1 22an2，an是公比为2 的等比数列，首项为 a1( n1)nn2an2n1， an22n22nnann2n nbi =1 212 223 23L n 2n ， （ 2） bnni 1nbi = 1 222 23L (n 1) 2nn 2n 1 ， 2i1n2122232nn 2n1 ， - ，得-bi =Li 1nbi = 2(12n )n2n 1= ( n1)2n 12 i1（ 3）当 n 2 时， cnn1n =n 1nn 1n =1 n 11 n an

16、n2n( n1)2n(n 1)2( n 1)2n22 6 分12 分nn111ni 1 11i ci = c1c2c3ci =()i 1i 42824i 4 2( i 1) 2i=11111 17 18 分28243 23n2n24讲评建议： 本题问题叙述简捷，形式优美，体现数学的形式美、内在美第（ 1）问，也可采用迭代法来完成，理科生还可使用数学归纳法来实施第（ 2）问，仍作为压轴问题，旨在强调数列中的一些重要方法n3第（ 3）问，若将结论减弱为ci 则所提供的解法中，只须保留原来的两项，或者也可i 14以直接将1n ，从第 3 项起，放大为1n n 22考生不能放弃压轴题，这也算是命题的一

17、种意图B附加题部分一、选做题：本大题共4 小题，请从这4 题中选做2 小题，如果多做，则按所做的前两题记分每小题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤1 （几何证明选讲 ）如图， O 的半径 OB 垂直于直径AC，M 为 AO 上一点， BM 的延长线交 OB于 N，过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P（ 1）求证： PM2=PAPC ；（ 2）若 O的半径为 23 ， OA=3 OM ，求 MN 的长MPCAON（第 1 题）答案：（ 1）连结 ON PN 切 O 于 N， ONP =90 ONB+ BNP=90 OB=ON， OBN=ONB BO AC于 O，

18、 OBN + BMO=90 BNP=BMO= PMN ， PM=PN PM2=PN2=PAPC6分（ 2） OM=2， BO= 2 3 ， BM =4 BMMN=CM MA=( 2 3 +2)( 2 3 - 2)=8 ， MN =210 分122 （矩阵与变换 ）求矩阵 M5的特征值和特征向量23122答案： 矩阵 M 的特征值满足方程52 80，32解得矩阵 M 的两个特征值14,22 4 分4 代人方程 (1)x(2) y0 ，得 5 x2 y0 ，则可取21 4 的一个特征向量将 1为属于5将 22 代人方程 (1) x( 2) y0 ，得 x2 y0 ，则可取2 为属于22 的一个特征

19、向量9 分112综上所述： M5有两个特征值14,22 ，23属于 14 的一个特征向量为2，属于 22 的一个特征向量为2 10 分513 （坐标系与参数方程）已知圆的极坐标方程为53 cos5sin，求它的半径和圆心的极坐标答案：5 3 cos5sin可表示为253cos5sin ，化为直角坐标方程为x2y25 3x 5 y0 ，即 ( x5 3) 2( y5) 225 ，6 分22因此该圆的半径为5，圆心的直角坐标为5358 分(,) ； 22所以圆的半径为 5，圆心的极坐标为 (5,10 分) 64 （不等式选讲 ）求函数y5 x1102x 的最大值答案： 函数的定义域为1,5 ，且 y0y 5 x125x 52( 2) 2( x 1) 2( 5 x)227 4 6 3 6分当且仅当2x 155 x 时，取“ =”，8分即 x127时函数取最大值 6 3 10分27二、必做题：本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤5 答案：（ 1） P( X2)C52C1325 4 分C8328（ 2）对随机变量X 来说，这是一个二项分布，于是P( X k )C3