高三第二次模拟数学试题(文科2)

1、北京市西城区xx 年第二次抽样测试高三数学试卷（文科）本试卷分为第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共150 分，考试时间 120分钟 .第一卷 （选择题 共 40 分）一、选择题 （本大题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1设全集 s a, b, c, d , e ，集合 A a, c,B b,e ，则下面论断正确的是（）A A B SB ASBC SA BD SASB=2设 m R，向量 a=（ 1， m） . 若 |a|=2，则 m 等于（）A 1B 3C 1D 33若 p : lg( x1)0, q :| 1x |

2、2, 则 p是q的（）A 充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知函数 f (x)1 log ax(a0,且 a1), f 1 ( x)是 f (x) 的反函数 . 若 f1 ( x) 的图象过点（ 3， 4），则 a 等于（）A 2B3C 3 3D 25在正三棱锥 PABC 中， D ， E 分别是 AB，BC 的中点，有下列三个论断： ACPB ； AC/ 平面 PDE ； AB 平面 PDE .其中正确论断的序号为（）A 、B、C、D 、6若 ( x 1)4a0a x a x2ax 3ax4 , 则 aaa3a的值为（）1234124A 2B 1C 0D 17

3、设双曲线x2y 21( a 0,b 0) 的半焦距为c，离心率为5.若直线 ykx 与双曲线a2b24的一个交点的横坐标恰为c，则 k 等于（）9B934A 25CD 20558袋中装有 10 个球，其中有2 个红球、 3 个白球、 5 个黄球 . 若取出一个红球得5 分，取到一个白球得2 分，取到一个黄球得1 分 . 那么从袋中取出5 个球， 使得总分大于10 分且小于 15 分的取法种数为（）A 90 种B 100 种C 110 种D 120 种第二卷（非选择题共 110 分）二、填空题 （本大题共 6小题，每小题5 分，共30 分 . 把答案填在题中横线上 .）9已知 an 是等差数列，

4、 a13, a4a6 8,则 a9.10设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000 件，其中甲厂生产了1440 件. 现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500 件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取件玩具 .x2,则 y 的最大值是11设实数 x，y 满足y2,.xy3 0.x12若函数ysin( x) 是 R 上的偶函数，则的值可以是.（只要写出一个符合题意的值即可，不必考虑所有可能的情形）13已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD边长为1，高AA1=2，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是； A，B 两点的球面距离为.14按下列程序框图运算：规定：程序运行

5、到“判断结果是否大于244”为 1 次运算 .若 x=5，则运算进行次才停止；若运算进行 k (kNx）次才停止，则x 的取值范围是.三、解答题 （本大题共 6小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15（本小题满分12 分）已知为第二象限的角， sin3为第三象限的角，tan4,.53（ I）求 tan() 的值 .（ II ）求 cos(2) 的值 .16（本小题满分 12 分）在 20 件产品中含有正品和次品各若干件，从中任取2 件产品都是次品的概率是1 .19（ I）求这 20 件产品中正品的个数；（ II ）求从中任取 3 件产品，至少有 1 件次品的概率 .1

6、7（本小题满分14 分）如图，正三棱柱ABC A1B1C1 中， D 是 BC 的中点， AA 1=AB（ I）求证： AD B1D；（ II ）求证： A1C/平面 AB1 D；（ III ）求二面角 B AB1 D 的大小 .18（本小题满分14 分）设 aR ，函数f (x)x3x2xa .（ I）求 f ( x) 的单调区间；（ II ）当 x 0,2时 ,若 | f ( x) |2 恒成立，求a 的取值范围 .19（本小题满分14 分）设直线 l : yxx 2y21( a b 0) 相交于 A、 B 两个不同的点，与 x1与椭圆2b2a轴相交于点 F .（ I）证明： a2b 21

7、;（ II ）若 F 是椭圆的一个焦点，且AF2FB ，求椭圆的方程.20（本小题满分14 分）an 3,an时,设数列 an 的首项 a1 a(aR ），且 an 13n=1,2,3, .an4, an时,3（ I）若 0 a1,求 a2 , a3 , a4 , a5 ;（ II ）若 0an4 ，证明： 0an 14；（III）若0a2，求所有的正整数，使得对于任意nNx，均有an kan成立 .k北京市西城区 xx 年第二次抽样测试高三数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，人40 分1.B2.D3.A4.D5.C6.B7.A8.C二、填空题：本大题共6 上题

8、，每小题5 分，共30 分。8 510 12011212答案不唯一；结果是k( kZ )中的一个值即可；213 1（ 2 分），14 4（ 2 分），（2， 4 （ 3 分）3三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15（本小题满分 12 分）（ I）解：因为为第二象限的角，sin3，5所以， cos1sin 24 ，2 分5sin34 分tan.cos4又 tan4，3所以， tan()1tantan7 . 6 分tantan24（ II ）解：因为为第三象限的角，tan4，3所以， sin4 ,cos3 . 8 分55又 sin 22 sinc

9、os24 , cos212 sin 27 ， 10 分2525所以， cos(2)cos 2cossin 23. 12 分sin516（本小题满分 12 分）（）解：设这20 件产品中有 n 件次品，由题意得Cn2n( n1)1C202201919所以 n（ n 1）=20 ，解得 n=5 （舍去 n= 4）所以，这20 件产品中正品的个数为15。 6 分（）解：设从这 20 件产品中任取 3 件均是正品的事件为 A ，则至少有 1 件次品的事件为 A由 P( A)C15391 9 分C203228得 P( A)1P( A)137 .228所以，从中任取 3 件产品，至少有1 件次品的概率是

10、137 12 分22817（本小题满分 14 分）解法一（）证明：ABC A 1B1C1 是正三棱柱， BB 1平面 ABC ， BD 是 B 1D 在平面 ABC 上的射影在正 ABC 中， D 是 BC 的中点， AD BD ，根据三垂线定理得，AD B 1D（）解：连接A 1B，设 A 1B AB 1 = E，连接 DE. AA 1=AB 四边形 A 1ABB 1 是正方形， E 是 A 1B 的中点，又 D 是 BC 的中点， DE A 1C. 7 分 DE 平面 AB 1D， A1C 平面 AB1D ， A 1C平面 AB 1D. 9 分（）解：在面ABC 内作 DF AB 于点 F

11、，在面 A 1ABB 1 内作 FG AB 1 于点 G，连接DG. 平面 A1ABB 1平面 ABC ， DF 平面 A 1ABB 1， FG 是 DG 在平面 A 1ABB 1 上的射影， FG AB 1 ， DGAB 1 FGD 是二面角 B AB 1 D 的平面角 12 分设 A 1A = AB = 1 ，在正 ABC 中， DF=3 .4在 ABE 中， FG=34 BE= 3 2 ,8在 Rt DFG 中， tan FGDDF6 ，FG3所以，二面角 B AB 1 D 的大小为 arctan 6 . 14 分3解法二：建立空间直角坐标系 D xyz，如图，则 D (0,0,0),

12、A( 0, 3 ,0), B1 (1 ,0,1).22证明： AD(0, 3 ,0), B1 D (1 ,0, 1) ，22 AD B1 D 0 AD B1 D即 AD B1D 4 分（）解：连接 A 1B，设 A 1B AB 1 = E，连接 DE. A1 (0,3,1), E(1,3,1), C (1 ,0,0).24422A1C (1 ,3 , 1), DE ( 1 , 3 , 1),22442A1C2DE ,A1C / DE. 7 分DE平面 AB1 D , A1C平面 AB1 D ，A1C / 平面 AB1D . 9 分（）设 n 1( p, q, r ) 是平面 AB 1D 的法向

13、量，则 n1AD 0, 且n1B1D 0 ，故3q0, 1 pr0.取 r1, 得 n1( 2,0,1) ；22同理，可求得平面AB1B 的法向量是 n2( 3,1,0). 12 分设二面角BAB1 D 的大小 ，cosn1n215| n1| n2 |，5二面角 BAB1 D 的大小为 arccos15 . 14 分518（本小题满分14 分）（）解：对函数f (x) 求导数，得f ( x)3x 22x1 3 分令 f (x)0，解得 x1，或 x令 f (x)0，解得11.x3所以， f (x) 的单调递增区间为(14 分35 分,1)和 (1,) ；3f ( x) 的单调递减区间为（1 ，

14、 1） 6 分3（）解：由（）知，f (x) 在（ 0， 1）上单调递减，在（ 1， 2）上单调递增，所以， f (x) 在 0， 2上的最小值为 f(1)1 a 8 分由 f ( 0)a， f (2)2a，知 f (0)f (2)所以， f (x) 在 0， 2上的最大值为f (2)2a 10 分因为，当 x0,2时，| f ( x) | 22f ( x)21a22a2解得1a0 ，即 a 的取值范围是 1， 014 分19（本小题满分14 分）（）证明：将y x1代入 x 2y 21 ，消去 x，得a 2b 2( a2b 2 ) y 22b2 yb 2 (1a 2 )0 3 分由直线 l与

15、椭圆相交于两个不同的点，得4b 44b 2 (a 2b2 )(1a 2 )4a 2 b2 (a2b21) 0所以 a 2b21 5 分（）解：设A( x1 , y1 )， B( x2 , y2 )由，得2b 2b 2 (1a2 )y1y2a 2b2 ， y1 y2a 2b2 7 分因为AF2FB，得 y12 y2所以，y1y22b 2y2， y1 y2b 2 (1a 2 )2 y22a 2a2b 2消去 y2，得b2 (1a 2 )2(2b2) 2a 2b2a2b2化简，得 (a 2b 2 )( a21)8b 2 11 分若 F 是椭圆的一个焦点，则c=1，b2=a2 1代入上式，解得a 29 ， b 27 13 分22所以，椭圆的方程为2x22 y 21 14 分9720（本小题满分14 分）（）解；因为a1a(0,1)所以 a2=a1+4= a+4，且 a2（ 3， 4）所以 a3=a23= a+1，且 a3（ 0，1）所以 a4=a3+4= a+3，且 a4（ 3， 4）所以 a5=a43=a4 分（）证明：当 0an3时， an 1an 4所以， 1 an 14.6 分当 3an4， an 1an3所以，0an 11.综上，0an40an 14 8 分时，（）解：若 0a1( )a1，所以 k