高中数学解析几何专题(精编版)

1、高中解析几何专题（精编版）1. （天津文）设椭圆 x2y21(a b 0)的左、右焦点分别为1，F2。点 P(a,b)a2b2F满足 | PF2 | | F1F2 |.（）求椭圆的离心率e；（ ） 设 直 线PF2 与 椭 圆 相 交 于A ， B 两 点 ， 若 直 线PF2 与 圆(x1)2( y3) 216 相交于 M，N 两点，且 | MN |5 | AB | ，求椭圆的8方程。【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线的方程、 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、 直线与圆的位置关系等基础知识， 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想， 考查解决问题能力与

2、运算能力，满分 13 分。（）解：设 F1 ( c,0), F2 (c,0)( c0) ，因为 | PF2 | | F1 F2|，c2c0, 得 c所以 (ac) 2b22c ，整理得211（舍）aaa或 c1 , 所以 e1 .a22（）解：由（）知 a2c,b3c，可得椭圆方程为3x24 y212c2 ，直线 FF 的方程为y3( xc).2A ， B 两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组3x24y212c2 ,消 去 y 并 整 理 ， 得y3( xc).x28x10,c,5x28cx0 。解得 x10, x285c ，得方程组的解5y13c, y23 3 c.5不妨设 A8 c, 3

3、3 c， B(0,3c) ，5523 c216 c.所以 | AB |8 c33c555于是 | MN |5 | AB |2c.8圆心1, 3到直线2 的距离d|333c |3 | 2c |PF22.242 ，所以 3 (2因为 d 2| MN|c) 2c216.24整理得 7c212c 520，得 c26 （舍），或 c 2.71所以椭圆方程为x2y2161.122. 已知椭圆 G : x226 ，右焦点为（ 22y21(a b 0) 的离心率为2 ,0 ），斜率ab3为 I 的直线 l 与椭圆 G交与 A、B 两点，以 AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2 ）.（ I ）求椭圆 G的

4、方程；（ II ）求 PAB 的面积 . 【解析】解：（）由已知得 c22, c6 .a3解得 a23.又 b2a2c24.所以椭圆 G的方程为 x2y21.124（）设直线 l的方程为 y xm.yxm由 x 2y 2得124123m20.4x 6mx12设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )( x1 x2 ), AB中点为 E( x0 , y0 ) ，则 x0x1 x23m ,24my0x0m4因为 AB是等腰 PAB的底边，所以 PEAB.2m所以 PE的斜率 k41.33m4解得 m=2。此时方程为 4212x0.x解得 x13, x20.所以 y1

5、1, y22.所以 |AB|= 3 2 .此时，点 P（ 3，2）到直线 AB： x y 20 的距离 d| 3 2 2 |3 2 ,22所以 PAB的面积 S=1 | AB | d9 .2223. ( 全国大纲文 ) 已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x2y21 在 y 轴正半轴上的2焦点，过F 且斜率为 -2 的直线 l 与 C 交与 A、 B 两点，点 P 满足uuuruuuruuur0.OAOBOP（）证明：点P在 C上；（ II ）设点 P 关于 O的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、Q四点在同一圆上。【解析】 22解：（I ）F（0，1），l 的方程为 y2x 1 ，

6、2y2代入 x1并化简得24x222x 1 0. 2 分设 A( x1 , y1), B(x2 , y2 ), P( x3 , y3 ),则 x126 , x226 ,44x1 x22 , y1 y22( x1 x2 ) 2 1,2由题意得 x3( x1x2 )2 , y3( y1 y2 )1.2所以点 P 的坐标为 (2 ,1).22经验证，点 P 的坐标为 (, 1) 满足方程x2y21, 故点 P 在椭圆 C 上。2（ II ）由 P(2 , 1) 和题设知， Q (2 ,1)22PQ的垂直一部分线 l1 的方程为y2 x.2设 AB的中点为 M，则 M ( 2 , 1) ，AB的垂直平

7、分线为 l2 的方程为4 2y2 x1 .24由、得 l1, l2 的交点为 N (2 , 1)883| NP |(22 )2( 11) 23 11 ,2888| AB |1 (2) 2 | x2x |3 2,12| AM |324,| MN |(22 ) 2( 1 1)23 3 ,48288| NA | AM |2| MN |2311 ,8故 |NP|=|NA| 。又 |NP|=|NQ| ，|NA|=|NB| ，所以 |NA|=|NP|=|NB|=|MQ| ，由此知 A、P、B、Q四点在以 N为圆心， NA为半径的圆上。4. （全国新文）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y x2 6x 1

8、 与坐标轴的交点都在圆 C 上（I ）求圆 C的方程；（II ）若圆 C与直线 x ya0 交于 A，B 两点，且 OAOB, 求 a 的值【解析】解：（）曲线yx26x1 与 y 轴的交点为（ 0， 1），与 x 轴的交点为（ 32 2,0),(322,0).故可设 C 的圆心为（ 3， t ），则有32(t 1)2(2 2) 2t 2 , 解得 t=1.则圆 C 的半径为32(t1) 23.所以圆 C 的方程为 (x3) 2( y1)29.（）设 A（x1, y1）， （），其坐标满足方程组：B x2 , y2xya0,(x3) 2( y1)29.消去 y，得到方程2x 2(2a8)xa

9、2a10.2由已知可得，判别式5616a420.a因此， x1,2(82a)5616a4a 2, 从而4a2 0x1 x24 a, x1 x22a120,，可得x x2yy2由于 OA OB11又 y1x1a, y2x2a, 所以2x1 x2a(x1x2 )a20.由，得 a1，满足0, 故 a1.5. （辽宁文）如图，已知椭圆C1 的中心在原点 O，长轴左、右端点 M，N 在 x 轴4上，椭圆 C2 的短轴为 MN，且 C1，C2 的离心率都为 e，直线 l MN，l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 A，B，C， D（I ）设 e1 ，求 BC 与 AD

10、 的比值；2（II ）当 e 变化时，是否存在直线l ，使得 BOAN，并说明理由【解析】解：（I ）因为 C1 ，C2 的离心率相同，故依题意可设C1 : x2y 2a2b2设直线 l : xA(t , aa2b1,C2 : b2y2x21,( a b 0)a4a2t (| t | a)，分别与 C， C 的方程联立，求得12t 2 ), B(t, ba2t 2 ).4 分a当 e1 时 , b3 a, 分别用 yA , yB 表示 A，B 的纵坐标，可知22| BC |:| AD |2 | yB |b236 分2 | yA |a2.4（ II ）t=0 时的 l 不符合题意 . t 0 时

11、， BO/AN 当且仅当 BO的斜率 kBO与 AN的斜率 kAN相等，即ba2t 2aa2t 2atbt,a解得 tab 21 e2a.a2b2e2因为 | t |a, 又 0e1,所以 1e21,解得2e 1.e22所以当 0e2 时，不存在直线 l ，使得 BO/AN；2当 2e1 时，存在直线 l使得 BO/AN. 12分26. （江西文）已知过抛物线 ypx( p) 的焦点，斜率为的直线交抛物线于 A( x , y ) 和 B( x , y )( xx ) 两点，且 AB,（1）求该抛物线的方程；（2） O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OC OAOB ，求的值【解析】 19

12、（本小题满分 12 分）5（ 1）直线 AB的方程是 y22( xp ) ，与 y22 px 联立，从而有 4x22p25 px0,所以： x1x25p4由抛物线定义得： | AB |x1x2p9,所以 p=4，从而抛物线方程是y28x.（ 2）由 p4, 4x25 pxp20 可简化为x25x 4 0, 从而 x11, x24,y12 2, y24 2,从而 A(1, 22), B(4, 42)uuur设 OC( x3 , y3 )(122)(4,42)(41,422 2)又 y328x3 ,即22(21)28(41),即 (21)241解得0, 或2.7. （山东文） 22（本小题满分14

13、 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C : x2y21 如图所示，斜率为3k( k0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 E ，射线 OE 交椭圆 C 于点 G ，交直线 x3 于点 D( 3, m) （）求 m2k 2 的最小值；（）若2OD ?OG，OE（ i ）求证：直线 l 过定点；（ ii ）试问点 B ， G 能否关于 x 轴对称？若能，求出此时 VABG 的外接圆方程；若不能，请说明理由【 解 析 】 22 （ I） 解 ： 设 直 线l的方程为 ykxt (k0) ，由题意， t0.ykxt ,由方程组x2得y21,3(3k

14、 21)x26ktx 3t23 0，由题意0 ，所以 3k 21t 2.设 A( x1 , y1), B(x2 , y2 ) ，由韦达定理得 x16kt, 所以 y1y22tx2213k 2.3k1由于 E 为线段 AB的中点，因此3kt, yEt,xE213k 23k16此时 kOEyE1 .所以 OE所在直线方程为 y1x,xE3k3k又由题设知 D（ -3 ，m），令 x=-3 ，得 m1 ，即 mk=1，所以 m2k 2k2mk2, 当且仅当 m=k=1时上式等号成立，此时 由0 得 0t 2, 因此 当 m k1且0t 2 时，22mk 取最小值 2。1 x,（ II ）（i ）由（

15、 I ）知 OD所在直线的方程为 y将其代入椭圆 C的方程，并由 k0,3k解得 G (3k,1) ，又 E(3k1,t), D ( 3, 1) ，3k 213k213k 23k21k由距离公式及 t0 得2(3k)2(1)29k21|OG |3k 23k 2,3k 2111|OD |( 3)21)29k 21(k,k|OE |(3kt)2(t)2t9k 2 13k21,3k213k21由 | OG |2 | OD | | OE | 得 t k ,因此，直线 l的方程为 yk( x 1).所以，直线 l 恒过定点 ( 1,0).（ii）由（ i）得 G (3k,1)3k23k 211若 B，G

16、关于 x 轴对称，则 B(3k,1).3k 23k 211代入 yk( x1)整理得 3k 21k3k 21,即 6k 47k 210，解得 k 21 （舍去）或 k 21,6所以 k=1，此时 B(3 , 1 ), G (3 , 1 ) 关于 x 轴对称。2222又由（ I ）得 x10, y11, 所以 A（ 0， 1）。ABG 的外接圆的圆心为（ ，），由于 ABG 的外接圆的圆心在x轴上，可设d 0因此 d 21 (d3) 21 , 解得 d1 ,242故 ABG 的外接圆的半径为 rd 215 ，27所以 ABG 的外接圆方程为 (x1)2y25.248. （陕西文） 17（本小题满

17、分 12 分）设椭圆 C:x2y 21 a b 0过点（ ， ），离心率为 3a2b20 45（）求 C的方程；（）求过点（ 3，0）且斜率为 4 的直线被 C所截线段的中点坐标。5【解析】 17解（）将（ 0，4）代入 C 的方程得 161b=4a2b2b2又ec3得9a5a225即 1169 ， a=5a225C 的方程为 x2y212516（）过点 3,0且斜率为 4 的直线方程为 y4x3 ，55设直线与的交点为x1, y1 ， x2 , y2 ，将直线方程 y4x 3代入的方程，得25x2x31，2525即 x23x80 ，解得x13241 ， x2341 ，2x1x23AB的中点坐

18、标 x，22yy1y22 x1x266 ，255即中点为3 ,6。25注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。29.（上海文） 22（16 分）已知椭圆 C : x 2 y2 1（常数 m 1），点 P 是 C 上 m的动点， M 是右顶点，定点 A 的坐标为 (2,0) 。（ 1）若 M 与 A 重合，求 C 的焦点坐标；（ 2）若 m 3 ，求 | PA | 的最大值与最小值；（ 3）若 | PA | 的最小值为 | MA |，求 m 的取值范围。2【解析】 22解：m2 ，椭圆方程为 xy21， c4134左右焦点坐标为 (3,0),(3,0) 。8m3 ，椭圆方程为 x2y21，设 P(

19、 x, y) ，则9x2| PA |2 ( x 2)2y2(x 2)218 ( x9) 21 ( 3 x 3)9942x9 时 | PA |min2 ；x3 时 | PA |max5 。42 设动点 P(x, y) ，则| PA |2 ( x 2) 2y2(x 2) 21x2m21( x2m2) 24m215( m x m)mm2m21m2当 xm 时， | PA | 取最小值，且 m210 ，2m2m且 m 1m2m21解得 1m12 。10. （四川文） 21（本小题共 l2 分）22过点 C(0 ，1) 的椭圆 x2y2 1( a b 0) 的离心率为3 ，椭圆与 x 轴交于两ab2点

20、A(a,0) 、 A( a,0) ，过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D，并与 x 轴交于点 P，直线 AC与直线 BD交于点 Q（ I ）当直线 l 过椭圆右焦点时，求线段 CD的长；uuur uuur（）当点 P 异于点 B 时，求证： OP OQ 为定值本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力解：（）由已知得 b1,c3 ，解得 a 2 ，所以椭圆方程为 x2y2 1 a24椭圆的右焦点为 (3,0)，此时直线 l 的方程为 y31 ，代入椭圆方程得x37 x28 3 x0 ，解得 x10, x283 ，代入直线 l 的方程得

21、y11, y21 ，所以77D( 8 3 , 1 ) ，77故 | CD |( 8 30) 2( 11)216 777（）当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符设直线 l 的方程为 ykx1(k0且k1) 代入椭圆方程得 (4 k21)x28kx 0 21 4k 2解得 x1 0, x24k8k，代入直线 l 的方程得 y1 1, y2，214k24k21所以 D点的坐标为 (8k,1) 4k214k21又直线 AC 的方程为 xy1，又直线 BD 的方程为 y12k ( x 2) ，联立得224kx4 k,y2k1.9因此 Q( 4 k,2k1) ，又 P( 1,0) kuuuruuur1所

22、以 OPOQ (,0)( 4k,2 k 1)kuuuruuur故 OP OQ 为定值11. （浙江文）（22）（本小题满分动点。过点 P 做圆 C 2 : x2( y4 15 分）如图，设 P 是抛物线 C1 ： x2y 上的2的两条切线， 交直线 l ： y3 于 A, B3) 1两点。（）求 C2 的圆心 M 到抛物线C1 准线的距离。（）是否存在点 P ，使线段 AB 被抛物线 C1 在点 P 处得切线平分，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 1

23、5 分。（）解：因为抛物线C 的准线方程为：y114所以圆心 M到抛物线C1 准线的距离为： |1114( 3) |.4（）解：设点P 的坐标为 ( x0 , x02 ) ，抛物线 C1 在点 P 处的切线交直线 l 于点D。再设 A， B， D的横坐标分别为 xA , xB , xC过点 P( x , x2 )1 的切线方程为：00的抛物线 Cy x022x0 ( x x0 )（1）当x01时，过点（ ， ）与圆2 的切线 PA为：y 115P 1 1C(x 1)17 , xB8可得 xA1, xD1, xAxB2xD1515当 x1（ ， ）与圆2的切线 PA为：0时，过点Cy1( x 1

24、)P1117 , xD8可得 xA1, xB1, xAxB2xD17 , xB15xA1, xD1, xAxB2xD15所以 x0210设切线 PA， PB的斜率为 k1 ,k2 ，则PA : y x02k1 (x x0 )（2）PB : y x02k2 ( x x0 )（3）将 y3分别代入（ 1），（ 2），（3）得xDx023( x0 0); xAx0x023x0x0230)2x0k1; xBk1( k1 ,k210从而 xAxB2x0( x023)( 11 ).k1k2又 | x0 k1x023 |1k121即 ( x021)k122( x023) x0 k1(x023) 21 0同理

25、， (x021)k222( x023) x0 k2( x023)210所以 k1 , k2 是方程 ( x021)k 22( x023) x0 k( x023)210 的两个不相等的根，从而 k1k22(3x2 )x0 , k1k2(3x2 )21x0200.1x021因为 xAxB2 x0所以 2x0(3211x023111x0 )(k1)x0,即k2.k2k1x0从而2(3 x02 )x01( x023)21x0进而得 x048, x04 8综上所述，存在点P 满足题意，点 P 的坐标为 ( 4 8, 22).12. （重庆文） 21（本小题满分 12 分。（）小问 4 分，（）小问 8

26、分）如题（21）图，椭圆的中心为原点 0，离心率 e=2 ，一条准线的方程是 x 2 22（）求该椭圆的标准方程；uuuuvuuuvuuuv（）设动点 P 满足： OPOM2ON ，其中 M、N 是椭圆上的点，直线OM与 ON的斜率之积为1 ，问：是否存在定点 F，2使得 PF 与点 P 到直线 l ： x2 10 的距离之比为定值； 若存在，求 F 的坐标，若不存在，说明理由。【解析】 21（本题 12 分）解：（I）由 ec2 , a22 2,a2c解得 a2, c2, b2a2c22 ，故椭圆的标准方程为x2y21.4 2（ II ）设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ，则由 uuur uuuur uuurOP OM 2ON得(x, y)(x1 , y1 )2( x2 , y2 ) ( x12 x2 , y1 2 y2 ),即x x12x2 , y y12 y2 .因为点 M，N在椭圆 x22 y24 上，所以11x122 y124, x222 y224 ，故 x22y2( x124x224x1 x2 ) 2( y124 y224 y1 y2 )( x22 y2 ) 4( x22 y2 ) 4( x x22