2019届高考数学一轮复习 第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算课件 文

1、第一节平面向量的概念及其线性运算 总纲目录 教材研读 1.向量的有关概念 考点突破 2.向量的线性运算 3.共线向量定理 考点二平面向量的线性运算 考点一平面向量的有关概念 考点三共线向量定理的作用 1.向量的有关概念向量的有关概念 名称定义备注 向量既有大小大小又有方向方向的量;向量的大 小叫做向量的长度长度(或模模) 向量由方向和长度确定,不受位置影 响 零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于1个单位个单位的向量非零向量a的单位向量为 平行向量方向相同相同或相反相反的非零向量0与任意向量 平行平行或共线 共线向量方向相同或相反方向相同或相反的非零向量又叫做共线 向量

2、相等向量长度 相等相等且方向 相同相同的向量两向量不能比较大小 相反向量长度 相等相等且方向 相反相反的向量0的相反向量为0 | a a 教材研读教材研读 2.向量的线性运算向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算 三角形三角形法则 平行四边形平行四边形法则 (1)交换律:a+b=b+a; (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c) 减法若b+x=a,则向量x叫做a与b 的差,求两个向量差的运算, 叫做向量的减法 三角形三角形法则 数乘实数与向量a相乘,叫做向 量的数乘 (1)|a|=|a|;(2)当0时,a的方向与a的方向 相同相同;当0时,a的方向与a

3、的方向相反相反;当= 0时,a=0 (a)=()a; (+)a=a+a; (a+b)=a+b 向量运算的常用结论向量运算的常用结论 (1)在ABC中,D是BC的中点,则=(+); (2)O为ABC的重心的充要条件是+=0; (3)四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点,则+=2. AD 1 2 AC AB OA OB OC AB DC EF 3.共线向量定理共线向量定理 向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得b=a. 1.下列说法正确的是() A.就是所在的直线平行于所在的直线 B.长度相等的向量叫相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量

4、AB CD AB CD C 答案答案C包含所在的直线与所在的直线平行和重合两 种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零 向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以 是所在直线互相平行的向量,故D错. AB CD AB CD 2.如图,D,E,F分别是ABC各边的中点,则下列结论错误的是() A.= B.与共线 C.与是相反向量 D.=| EF CD AB DE BD CD AE 1 2 AC D 答案答案D根据向量的有关概念可知,=,=-,= ,|=|. EF CD AB DE BD CD AE 1 2 AC AE 1 2 AC 3.对于非零

5、向量a,b,“a+b=0”是“ab”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案答案A若a+b=0,则a=-b,故ab; 反之,ab/a+b=0. A 4.在四边形ABCD中,=,且|=|,那么四边形ABCD为() A.平行四边形B.菱形 C.长方形D.正方形 AB DC AB BC 答案答案B=,则四边形ABCD为平行四边形.又|=|,则四边 形ABCD为菱形,故选B. AB DC AB BC B 5.在 ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则= (用a,b表示). AB AD AN NC MN 答案答案-a+b 1 4 1 4 解析

6、解析由=3,得=(a+b),又=a+b,所以=- =(a+b)-=-a+b. AN NC AN 3 4 AC 3 4 AM 1 2 MN AN AM 3 4 1 2 ab 1 4 1 4 6.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-3a)共线,则=. 答案答案- 1 3 解析解析由题意知存在kR,使得a+b=k-(b-3a), 所以解得 , 13 , k k 1 , 3 1 . 3 k 典例典例1给出下列命题: 若|a|=|b|,则a=b; 若A、B、C、D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四 边形的充要条件; 若a=b,b=c,则a=c; 两向量a、b相等的充要条件是|a|

7、=|b|且ab; 如果ab,bc,那么ac. 其中真命题的序号为. AB DC 考点一平面向量的有关概念考点一平面向量的有关概念 考点突破考点突破 答案答案 解析解析不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同,因此由| a|=|b|推不出a=b. 正确.若=,则|=|且. 又A、B、C、D是不共线的四点, 四边形ABCD是平行四边形. 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB平行DC且与方向相同,因 此=. AB DC AB DC AB DC AB DC AB DC 正确.a=b,a、b的长度相等且方向相同. b=c,b、c的长度相等且方向相同. a、c的长度相等且方向相同,a=c.

8、不正确.当ab,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故 | |,ab a b 不是a=b的充要条件. 不正确.若b=0,则a与c不一定共线. 规律总结规律总结 理解向量有关概念的五个关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共 线. 1-1判断下列四个命题: 若ab,则a=b;若|a|=|b|,则a=b;若|a|=|b|,则ab;若a=b,则|a|=|

9、b|. 其中正确的个数是() A.1B.2C.3D.4 A 答案答案A只有正确. 1-2设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件 是() A.a=-bB.ab C.a=2bD.ab且|a|=|b| | a a| b b 答案答案C因为向量的方向与向量a相同,向量的方向与向量b相 同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D. 当a=2b时,=,故a=2b是=成立的充分条件. | a a| b b | a a| b b | a a 2 |2 | b b| b b| a a| b b C 考点二平面向量的线性运算考点二平面向量的线性运算 命题方向命题视角 向量的线性

10、运算用基底表示向量 根据向量的线性运算求参数已知向量的基底表示,利用平面向量基本定理求 参数的值 典例典例2(1)(2018福建福州质检)设D为ABC所在平面内一点,=3, 则() A.=-+B.=- C.=+D.=- (2)在四边形ABCD中,=,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE 的延长线与CD交于点F,则() A.=+B.=+ C.=+D.=+ BC CD AD 1 3 AB 4 3 AC AD 1 3 AB 4 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC AD 4 3 AB 1 3 AC BC AD AF 1 3 AC 2 3 BD AF 2 3 AC 1 3 BD AF 1

11、 4 AC 2 3 BD AF 2 3 AC 1 4 BD 命题方向一向量的线性运算命题方向一向量的线性运算 解析解析(1)=+=+=+=+(-)=-+ .故选A. (2)在四边形ABCD中,因为=,所以四边形ABCD为平行四边形,如 图所示.由已知得=,由题意知DEFBEA,则=,所以 =(-)=, 所以=+=+=+,故选B. AD AB BD AB BC CD AB 4 3 BC AB 4 3 AC AB 1 3 AB 4 3 AC BC AD DE 1 3 EB DF 1 3 AB CF 2 3 CD 2 3 OD OC 2 32 BDAC 3 BDAC AF AC CF AC 3 BD

12、AC 2 3 AC 1 3 BD 答案答案(1)A(2)B 典例典例3(1)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD为BC边上的高,O为 AD的中点,若=+,其中,R,则+等于() A.1B.C.D. (2)在ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x= ,y=. AO AB BC 1 2 1 3 2 3 AM MC BN NC MN AB AC 命题方向二根据向量的线性运算求参数命题方向二根据向量的线性运算求参数 答案答案(1)D(2);- 1 2 1 6 解析解析(1)由题意易得=+=+, 2=+,即=+. 故+=+=. (2)由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为

13、BC的中 点,作出草图如下: AD AB BD AB 1 3 BC AO AB 1 3 BC AO 1 2 AB 1 6 BC 1 2 1 6 2 3 AM MC BN NC 则有=(+), 所以=-=(+)-=-, 又因为=x+y, 所以x=,y=-. AN 1 2 AB AC MN AN AM 1 2 AB AC 2 3 AC 1 2 AB 1 6 AC MN AB AC 1 2 1 6 方法技巧方法技巧 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则. (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用 三角形法则

14、;求首尾相连向量的和用三角形法则. (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表 示出来,进行比较求参数的值. 提醒:注意应用初中平面几何的知识,如平行线分线段成比例定理、相 似三角形的性质等,可以简化运算. 2-1在ABC中,N是AC边上一点且=,P是BN上一点,若=m +,则实数m的值是. AN 1 2 NC AP AB 2 9 AC 1 3 答案答案 1 3 解析解析因为=,所以=,所以=m+=m+, 因为P是BN上一点,所以B,P,N三点共线,所以m+=1,则m=. AN 1 2 NC AN 1 3 AC AP AB 2 9 AC AB 2 3 AN 2 3 1 3

15、 典例典例4设两个非零向量a与b不共线. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. AB BC CD 考点三共线向量定理的应用考点三共线向量定理的应用 解析解析(1)证明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b), =+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5, ,共线,又它们有公共点B, A,B,D三点共线. (2)ka+b与a+kb共线, 存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b. 又a,b是两个不共线的非零向量, AB BC CD BD BC CD AB AB BD k-=k-1=0

16、.k2-1=0.k=1. 探究探究若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 解析解析因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数,使ka+b=(a+kb)(0), 所以所以k=1. 又0,k=,所以k=-1. 故当k=-1时,两向量反向共线. , 1, k k 规律总结规律总结 (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线. (2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立. 3-1已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则() A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线 AB BC CD 答案答案B=+=2a+