高中数学必修4苏教版第二章平面向量复习与小结教案

1、必修四第二章平面向量的总复习教学目标掌握并应用向量的加法，减法，数乘，数量积线性运算掌握向量共线定理，平面向量基本定理，向量的坐标表示教学重点：向量的数量积应用教学难点：利用向量的数量积求最值，夹角教学方法：“三学一教”四步教学法教具准备：多媒体教学过程：（一）明标自学1、向量的加法如何作图？2、作图中如何作出向量的减法？3、向量的数量积运算如何计算？4、向量的共线定理内容是什么？5、平面向量基本定理是什么？6、向量的坐标如何表示，怎样运用其进行计算？（二）知识梳理1、向量的加法已知向量 a 和 b ，如何作出 abaab向量加法的三角形法则 :bab 将向量平移使得它们首尾相连 和向量即是第

2、一个向量的首指向第二个向量的尾aC向量加法的平行四边形法则 :以同一起点 O为起点作已知向量a 和 b ，再以这两个A ab向量作为邻边做平行四边形，则以O为起点的对角线就是向量的和ob2、向量的减法（ 1） a b a ( b)（ 2） AB AC CBB3、实数与向量的积一般地，我们规定实数与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：（1）aa（2）当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反。由（ 1）可知，当0 或 a 0 时，a 0类比实数乘法的运算律向量数乘的运算律：设 a 、 b 为任意向量，、为任意实

3、数，则有：结合律：第一分配律：第二分配律：4、向量的共线定理(a)()a()aaa(ab)ab一般地，对于两个向量向量a （ a0 ）， b ，如果有一个实数，使 ba a 0 , 那么 b 与a 是共线向量；反之，如果b 与 a (a0) 是共线向量，那么有且只有一个实数，使 ba.5、平面向量基本定理如果 e 、 e是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对12实数1、 2, 使 a=1e1+ 2e2.定理说明 : (1)我们把不共线向量e1、e2 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底(2) 基底不唯一 , 关键是不共线 ;(3) 由定理可将任一向量 a

4、 在给出基底 e1、 e2 的条件下进行分解 ;(4) 基底给定时 , 分解形式唯一 .当 e1 和 e2 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解6、向量的数量积已知两个非零向量a 与 b ，它们的夹角为，我们把数量 a b cos量积（或内积） ，记作： a b ，即： a b = a b cos我们规定：零向量与任一向量的数量积为0 即： 0 a0注意：（ 1）符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“”代替；（ 2）这是一种新的运算（ 3） ab 表示数量而不表示向量，与实数a b 不同 ；（ 4）注意公式变形，知三求一 .（ 1）向量的模长和两点间距离公式：a a2或 aa

5、 aar(x, y)rx2y2rx2y 2 ；向量的模： a| a |2| a |两点间的距离公式：若A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 uuur( x2x1 )2( y2y1 )2；AB(2 ） . 两向量夹角公式的坐标运算：设 a 与 b 的夹角为(0180 ) ，则a bcosabrr180 ) ，则设 a (x1, y1 ), b (x2 , y2 ) ，且 a 与 b 的夹角为(0x1 x2y1 y2，其中2y12，22cosx10x2y20y12x2 2y2 2x127、向量的坐标（ 1）设向量 a( x , x), b( y1, y2),R,a与b夹角为 ，则

6、12a b (x1 x2 , y1y2 )a b (x1x2 , y1y 2 )a(x1 , y1 )a / bx1 y2x2 y10a bx1 x2y1 y20a ?bx1 x2y1 y2cosx1x2y1 y2x12y12 ?x2 2y2 2（ 2）设 P(x1 , y1 ), Q (x2 , y2 ), 则 PQ OQ OP ( x2x1, y2y1 )（ 3）设向量 a( x, y), 则 | a |2x 2y 2 ,| a |x2y 2;叫做 a 和 b 的数二、例题讲解例 1、 ABCD是梯形， AB CD，且 AB=2CD,M、 N 分别是 DC和 AB 的中点，已知，,ABaA

7、Db试用、 表示MN。（解：1）abMNba4例 2、已知 ABC 顶点的直角坐标分别为A(3,4)、 B(0,0)、 C (c,0) .（ 1）若 c 5 ，求 sin A 的值 ;（ 2）若 A 是钝角，求 c 的取值范围 .uuuruuuruuur解： (1) AB( 3, 4) , AC (c 3, 4)当c=5时， AC (2, 4)uuur uuur6 161 进而 sin A1 cos22 5cos A cos AC, ABA5 2 555(2) 若 A为钝角，则AB AC= -3(c-3)+( -4)2 253显然此时有 AB和 AC不共线，故当A为钝角时， c的取值范围为 2

8、5 ， +)3r(cos,sinr,sin) ，其中 0例 3已知 a) ， b (cos(1) 求证： rr与 rr 互相垂直；abab(2) 若 ka b与 akb 的长度相等，求的值 ( k 为非零的常数 ) 证明：（ 1）rrrrr 2r 2(cos2sin2)(cos2sin2) 0Q (ab)g( ab )abrr与 rr 互相垂直abab（ 2）b(k coscos, k sinsin；ka)ak b(cosk cos,sink sin)k ark 212k cos()bark 212k cos()kb而k212k cos()k 212k cos()cos()0 ，2三、当堂检测1 、设 0 2, 已知两个向量=(cos ，sin ),=(2+sin ，2- cos) ，则向量长度的最大值是 _2设，(3,2)，用 a ，b 作基底可将 c 表示c paqb，a ( 1,2) b(1, 1)