高等数学考研知识点总结9

1、第九讲二重积分一、考试要求1、理解（了解）二重积分的概念，了解二重积分的基本性质。2、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。3、会计算无界区域上的较简单的二重积分（数三、四）二、 内容提要n1、定义f ( x , y)dlimf (i ,i )iDd0i 12、 性质1） 线性运算性质2） 积分可加性：f ( x, y) df (x, y)df ( x, y)dD1D2D1D23）如果在 D 上 f(xy)g(xy)则f (x, y)dg(x, y)d4）设 M、m分别是 f ( xDD为 D的y) 在闭区域 D 上的最大值和最小值面积 则有 mf ( x, y)dM5 ）设函数 f (

2、 xy) 在闭D区域 D 上连续为 D 的面积则在 D 上至少存在一点 () 使得f ( x, y)df ( , )D3、几何意义二、重要公式与结论二重积分的对称性质1) D 关于 x 轴对称f ( x, y)d0,f ( x, y)f ( x, y)2 f ( x, y) d , f ( x, y)f ( x, y)DD1D1 为 D 的上半平面。2) D 关于 y 轴对称0,f ( x, y)f ( x, y)f ( x, y)d2 f ( x, y) d , f ( x, y)f ( x, y)DD2D2 为 D 的右半平面。3) 轮换对称性：若 x, y 互换后区域 D 不变，则f (

3、 x, y)dxdyf ( y, x)dxdyDD1三、典型题型与例题题型一、基本概念及性质例 1、设闭区域 D : x 2y 2y, x0. f(x,y)为 D上的连续函数，且f (x, y)1x2y 28f (u, v)dudv.D求 f(x,y).例 2、（ 0534）设 I 1cos x 2y 2 d , I 2cos(x2y 2 )d , I 3cos(x 2y 2 ) 2 d ,DDD其中 D(A) I 3(C) I 2( ,)x2y21，则xyI 2I1（B） I1I 2I 3 .I 1I 3 .(D)I 3 I 1I 2 .例 3、（ 10123）nnnlimn in2j2ni

4、1j 1(A)1dxx1dy .(B)1dxx1dy.1x1y21x10000y(C)1dx11y dy .(D)1dx11dy .【】001x1001x1y2【答案】 应选 (D).【分析】 用二重积分（或定积分）的定义 .【详解】 因为nnnnnnlim22limi 1j 1(ni )(nj)i 1j1 n(1i ) n 2 1(j ) 2 nnnnnn11limi ) 1 ( j ) 2 n2ni 1j 1 (11nn1dx1dy ,0 (1x)(1y20)所以应选 (D).2题型二、 二重积分的基本计算(1) 利用直角坐标计算 d =dxdyD: axb,1 ( x)y2 ( x) 或

5、 cyd ,1 ( y)x2 ( y)计算二重积分的步骤(1) 画出积分区域 D 的草图 .(2) 用不等式组表示积分区域 D.(3) 把二重积分表示为二次积分(4) 计算二次积分 .注：计算过程中先化简例 4、（ 0634）计算二重积分y2xydxdy ，其中 D 是由直线 yx, y1, x0D所围成的平面区域 .例 5、计算yx 2 d. D :1x1, 0y1.DD 3D1D 23(2) 利用极坐标计算 d =rdrd计算方法同直角坐标，一般先 r 、后 ，适应于圆形区域或被积函数含有 x 2 y2 的因子；（ i ）极点在区域内：（ ii ） 极点在区域外：（ iii ）极点在区域的

6、边界上：例 6、（ 0612）设区域 D ( x, y) x2y21, x 0 ， 计算二重积分1xy2 dxdy.2yD 1 x例 7、计算 ( x2y 2 )dxdy ，其 D 为由圆 x 2y22y ， x 2y24 y 及直线Dx3 y 0 ， y3 x 0 所围成的平面闭区域 .4计算重积分应注意的技巧：利用重积分的对称性简化计算例 8、计算sin(x 2y2 ) dxdy，D ( x, y) |1x 2y 24Dx 2y2例 9、计算xydxdy =xy1例 10、 计算1 y y ln( x1 x 2 )dxdy , 其中 D: x2y 21, y 0.D1 x2y 25例 11

7、、求 ( x 2y 2y)d ，其中 D 是由圆 x 2y 24和 ( x 1) 2y21 所D围成的平面区域.例 12、计算 I=( x2y2)dxdy , D: x 2y 2R222Dab例 13、（利用对称性证明不等式）设 f(x) 在 a,b 上连续，且 f(x)0.证明：bb1dx (b a) 2f (x)dxaa f ( x)6题型三、几类特殊重积分的计算1、分片函数的重积分x 2 y,1 x2,0 y x， 求f (x, y)dxy, D: x2y22x.例 14、设 f ( x, y)0,其它D例 15、设 D ( x, y) x2y 22 , x0, y0 ，1 x2y 2

8、表示不超过 1 x2y 2的最大整数 . 计算二重积分xy1x 2y 2 dxdy.D2、 含有绝对值的情形例 16、（ 05234）计算二重积分x 2y 2d ，其中1DD( x, y) 0x1,0y1 .7例 17、 计算3x 4 y dxdy , 其中 D : x2y21D3、 交换积分次序的情形1例 18、计算 I12dy142y1yyyex dx1dye x dx2yyxyx28题型四、 广义二重积分的计算例 19、 计算广义二重积分xe y2dxdy , D 是第一象限内在曲线 y=4x2 和 y=9x2D之间的区域。xe y 21yy2dx , 答案： 5 dxdy =0dy 1

9、2yxeD3144例 20、 计算min x, y e ( x2 y2 ) dxdymin x, y e ( x2 y 2 ) dxdy =xe ( x2 y2 ) dxdyye ( x2 y2 ) dxdyxyx y答案：2题型五、利用二重积分计算体积与曲面表面积例 21、求由曲面 zx 2y 2 和 z2x 2y 2 所围成的体积 V 和表面积 S 解zx 2y 2 ,z2x2y2z2zz25z 40z11,z24 ( 舍去 ),所以投影区域为 D：x2y21Vx2y 2x 2y 2dxdy2d1rr 2rdr5 2()( 20)6D0因为 S=1(z ) 2(z) 2 dxdyDxy所以 S1( 2x) 2(2 y)21(x2x) 2(y)2 dxdyDDy2x2y 2=14( x 2y2 )2dxdy2d114r 22)rdr0(D0 1 (55)2.619题型六、综合题例 22、设 f(x) 在0,a 上连续，证明：af ( xy)dxdyxf ( x)