高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)

1、函数单调性的判定和证明方法（一）、定义法步骤：取值 ，设 x x , 并是某个区间上任意二值;12作差 ：；或作商：,0；变形向有利于判断差值符号的方向变形；,0 向有利于判断商的值是否大于1 方向变形；（常用的变形技巧有：1、分解因式，当原函数是多项式 时，作差后进行因式分解； 2、通分，当原函数是分式函数 时，作差后往往进行通分再进行因式分解；3、配方，当原函数是二次函数 时，作差后考虑配方便于判定符号；4、分子有理化，当原函数是根式函数 时，作差后往往考虑分子有理化等）；定号，判断的正负符号，当符号不确定时，需进行分类讨论；下结论，根据函数单调性的定义下结论。作差法：例 1. 判断函数在

2、 ( 1， ) 上的单调性，并证明解： 设 1x1x2，则 f(x 1) f(x 2) 1x1x2 ， x1 x2 0， x2 10.当 a0 时， f(x 1 ) f(x 2)0 ， 即f(x 1 )f(x 2) ，函数 yf(x) 在 ( 1， ) 上单调递增当a0 ， 即 f(x 1)f(x 2) ，函数 yf(x) 在 ( 1， ) 上单调递减例 2.证明函数在区间和上是增函数；在上为减函数。（增两端，减中间）证明：设，则因为，所以,所以，所以所以设则，因为，所以，所以所以同理，可得作商法：例 3.设函数 y=f （ x）定义在 R 上，对于任意实数m，n ，恒有 f（ m+n ）=f

3、 （ m ）?f（ n ）且当 x 0 时， 0 f （ x ） 1（ 1）求证： f （ 0 ） =1 且当 x 0 时， f（ x ） 1（ 2）求证： f （ x ）在 R 上是减函数证明：（ 1）对于任意实数m ， n，恒有 f （ m+n ）=f （ m）?f（ n ），令 m=1 ， n=0 ，可得 f （ 1） =f （ 1）?f（ 0），当 x 0 时， 0 f （ x ） 1 ， f （1 ）0 f （ 0 ） =1 令 m=x 0 ， n=-x 0 ，则 f （ m+n ） =f （0 ） =f （ -x ）?f（x ） =1 ， f （ -x ） f （ x ） =1 ，

4、又 -x 0 时， 0 f （ -x ） 1，f(x)= 1f(-x) 1 （1）设 x1 x2 ，则 x1-x2 0 ，根据 （ 1）可知f （ x1-x2） 1 ， f （ x2 ） 0 f （ x1 ） =f （ x1-x2 ）+x2=f（ x1-x2）?f（ x2 ） f （x2 ），函数 f （ x ）在 R 上单调递减（二）、运算性质法 .函函数表达式单调区间特殊函数图像数一当 k0 时， y 在 R 上是增函数；次函y kx b(k 0) 当 k数0 时， y 在 R 上是减函数。当 a0 时， xb 时 y 单调减 ,2a二 y ax 2 bx c次函(a0,a, b, cR)

5、数反k比y例x函 (k R 且 k 0 )数指数ya x函数 (a 0,a 1)对数ylog a x函数(a0, a 1)x b 时 y 单调增；2a当 a0 时， xb 时 y 单 调增 ，2ax b 时 y 单调减。2a当 k0 时 , y 在 x0 时单调减，在x 0时单调减；当 k0 时 , y 在 x0 时单调增，在x 0时单调增。当 a 1 时， y 在 R 上是增函数；当 0 a 1 ，时 y 在 R 上是减函数。当 a1 时， y 在 (0,) 上是增函数；当 0a1 时， y 在 (0,) 上是减函数。关于函数单调的性质可总结如下几个结论： f (x) 与 f (x) + C

6、 单调性相同。 （ C 为常数）当 k0 时， f ( x) 与 kf (x) 具有相同的单调性；当k0 时，f (x) 与 kf (x) 具有相反的单调性。当 f (x) 恒不等于零时，f ( x) 与1具有相反的单调性。f (x) 当 f ( x) 、 g (x) 在 D 上都是增（减）函数时，则f ( x) g( x) 在 D 上是增（减）函数。当 f (x) 、 g (x) 在 D 上都是增（减）函数且两者都恒大于0 时， f ( x) g (x) 在 D 上是增（减）函数；当 f ( x) 、g (x) 在 D 上都是增（减）函数且两者都恒小于0 时， f ( x) g( x)在 D

7、 上是减（增）函数。设 yf (x) , xD 为严格增（减）函数，则 f 必有反函数f1 ，且 f 1 在其定义域f (D )上也是严格增（减）函数。例 4.判断f( )x x3log2x32x1 (x2 1)5的单调性。x解 :函数 f ( x) 的定义域为(0,) ，由简单函数的单调性知在此定义域内x, x3 , log 2 x 3均为增函数，因为2x 10, x 210由性质 可得 2 x1 ( x21) 也是增函数；由单调函数的性质 知 xx3log 2x 为增函数，再由性质 知函数 f ( x)xx 3log 2 x32x 1 (x 21) 5 在 (0,) 为单调递增函数。例 5

8、.设函数f( )xa (ab0) ，判断f ( x)在其定义域上的单调性。xxb解:函数 f ( x)xa 的定义域为 ( ,b)(b,) .xb先判断 f ( x) 在 ( b,) 内的单调性，由题可把f ( x)xa 转化为 f (x) 1ab ，又 ab0故 ab 0 由性质 可得xbxb1 为减函数；由性质 可得 a b 为减函数；xbxb再由性质 可得 f (x) 1ab 在 ( b,) 内是减函数。xbxa同 理 可 判 断 f ( x) 在 (, b) 内 也 是 减 函 数 。 故 函 数 f (x)在xb(, b)( b,) 内是减函数。（三）、图像法 .根据函数图像的上升或

9、下降判断函数的单调性。例 6. 求函数的单 调区间。解：在同一坐标系下作出函数的图像得所以函数的单调增区间为减区间为.（四）、同增异减法（复合函数法）.定理 1：若函数 yf (u) 在 U 内单调， ug(x) 在 X 内单调， 且集合 u ug( x) ，xX U（ 1）若 yf (u) 是增函数，ug( x) 是增（减）函数，则yf g( x) 是增（减）函数。（ 2）若 yf (u) 是减函数，ug( x) 是增（减）函数，则yf g( x) 是减（增）函数。归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）复合函数单调性的四种情形可列表如下：第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数 u

10、g( x)外层函数 yf (u)复合函数yf g( x)显然对于大于2 次的复合函数此法也成立。推论：若函数 yf ( x) 是 K(K 2), KN ) 个单调函数复合而成其中有m K 个减函数：当 m2k1时，则 y f ( x)是减函数 ；当 m2k时，则 yf ( x)是增函数 。判断复合函数 yf g(x) 的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数y f (u), u g ( x) ；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则yf g(x)为增函数，若为一增一减，则yf g( x)为减函数（同增异减

11、） ；求出相应区间的交集，既是复合函数yf g (x)的单调区间。以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。例 7. 求f( )loga(3x25x2) （ a0 且 a1）的单调区间。x解：由题可得函数f(x)log(3x252) 是由外函数ylog au和内函数axu3x25x2 符合而成。由题知函数f (x) 的定义域是 (, 2)( 1 , ) 。内函数3u3x25x2 在 ( 1 ,) 内为增函数，在 (, 2) 内为减函数。3若 a1，外函数 ylog a u 为增函数，由同增异减法则，故函数f (x) 在 (

12、1 ,)3上是增函数；函数f (x) 在, 2上是减函数。 若 0a1，外函数 ylog a u 为减函数， 由同增异减法则， 故函数 f ( x) 在 ( 1 ,) 上3是减函数；函数f ( x) 在,2上是增函数。例 8.求函数的单调区间解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知是外层函数的单调增区间；令，解得的取值范围为；由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。例 9. 求函数的单调区间 .解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；易知和都是外层函数的单调减区间；令，解得的取值范围为；结合二次函数的图象

13、可知不是内层函数的一个单调区间， 但可以把区间划分成内层函数的两个单调子区间和，其中是其单调减区间，是其单调增区间；于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。综上可知， 原函数的单调增区间是和，单调减区间是和.（五）、含参数函数的单调性问题.例 10.设（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论解： 由题意得原函数的定义域为.），当上为减函数；当上为增函数。（六） 、抽象函数的单调性 .抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题。常采用的方法有：

14、 定义法 .通过 作差 (或者作商 )，根据题目提出的信息进行变形，然后与 0（或者 1）比较大小关系来判断其函数单调性。通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。例 11.已知函数 f (x) 对任意实数 m 、 n 均有 f (m n) f (m)f ( n) ，且当 m 0 时，f ( m) 0 ，试讨论函数 f ( x) 的单调性。此题多种方法解答如下：凑差法： 根据单调函数的定义， 设法从题目中 “凑出”“ f ( x1 )f ( x2 ) ”的形式， 然后比较f ( x1 )f (x2 ) 与 0 的大小关系。解：由题得f (mn) f (m)f (n) ，令 x1mn, x2m ，且

15、x1x2 ， n x1x20又由题意当m 0 时， f (m)0f ( x1 )f (x2 )f (n) 0 ，所以函数 f(x) 为增函数。添项法：采用加减添项或乘除添项，以达到判断 “ f (x2 )f ( x1 ) ”与 0 大小关系的目的。解: 任取 x1 , x2R, x1x2 ，则 x2x10 ，f ( x2 )f (x1 )f ( x2 x1 ) x1 f ( x1 )由题意函数f ( x) 对任意实数 m 、 n 均有 f (m n) f (m)f (n) ，且当 m0时，f (m)0f ( x2 )f ( x1 ) f (x2x1 )0 ，所以函数f ( x) 为增函数。增量

16、法 ：由单调性的定义出发，任取 x1, x2R, x1 x2 设 x2x1 (0) , 然后联系题目提取的信息给出解答。解：任取 x1 , x2R, x1x2 设 x2x1(0) 由题意函数f ( x) 对任意实数 m 、 n 均有f (m n)f (m)f ( n) ，f ( x2 )f ( x1 )f (x1 )f ( x1 )f ( ) ，又由题当 m0时，f (m)0f ( x2 ) f ( x1 )f ()0(0) ，所以函数f ( x) 为增函数。例 13. 已知函数f ( x) 的定义域为（ 0， +），对任意正实数m 、 n 均有f (mn)f (m) f (n) ，且当 m1时 0f (m)1 ，判断函数f ( x) 的单调性 .此题 用放缩法 ，先判断 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系， 从而得 f ( x) 在其定义域内的单调性。解： 设0 x1x21x2 ，则x1又当 m1时 0f (m) 1 ，故 0 f ( x2 ) 1x1再由 f (mn)f (m) f (n) 中令 m1， n1得 f (1) 1当 0x1时， 11，由 f (1)f (x) f ( 1 ) 易知此时 f (x)1，xx故 f (x) 0恒成立。因此 f ( x2 )f ( x2 x1 )f ( x2 ) f ( x1 ) 1 f ( x1 )